第三章矩陣的初等變換與線性方程組

第三章初等矩陣與

線性方程組§3-1矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換的定義(一)初等行(列)變換設(shè)則以下三種變換稱為矩陣A的初等行(列)變換(1)交換A的兩行(列)(對(duì)調(diào)兩行記作,對(duì)調(diào)兩列記作)(2)用一個(gè)非零常數(shù)k乘以A的某一行(列)(用非零常數(shù)k乘以矩陣的第i行(列))(3)用一個(gè)數(shù)乘以A的某一行(列)的各元素后再加到A的另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去(二)初等變換：矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。(三)、初等變換的逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換。1、的逆變換就是其本身2、的逆變換為3、變換的逆變換為二、矩陣的等價(jià)關(guān)系(一)定義：1、如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B行等價(jià)，記作2、如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B列等價(jià),記作3、如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價(jià)，記作(二)矩陣的等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)1、反身性2、對(duì)稱性：若則3、傳遞性：若

則三、矩陣的幾種特殊類型(一)行階梯形矩陣特點(diǎn):1.矩陣的所有元素全為0的行(如果存在的話),都集中在矩陣的最下面.2.每行左起第一個(gè)非零元素(稱為首非零元)的下方元素全為0.(即可以在該矩陣中畫出一條階梯線,線的下方全為零,每個(gè)階梯只有一行,階梯數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長(zhǎng)度為一行)后面的第一個(gè)元素即為首非零元.)(二)行最簡(jiǎn)形矩陣特點(diǎn)：行階梯形矩陣非零行首非零元為1，且這些首非零元所在的列的其它元素都為0。(對(duì)任何矩陣,總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它變成行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣)(三)矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣特點(diǎn):矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的左上角是一個(gè)單位矩陣,其余元素全為零,對(duì)于矩陣A,總可經(jīng)過初等變換(行變換和列變換)把它化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形其中是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。例1、設(shè),把化成行最簡(jiǎn)形。四、初等矩陣(一)定義：對(duì)單位矩陣E施行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。(二)初等矩陣的類型1、將單位矩陣兩行(列)對(duì)換得到的矩陣,記作2、以數(shù)乘單位矩陣E的第i行(列)得到的矩陣，記作

3、將單位矩陣E第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到第j列)得到的矩陣稱為初等消去矩陣，記作(三)初等矩陣的性質(zhì)1、初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣

2、初等矩陣均為可逆矩陣,并且其逆矩陣仍為同類型的初等矩陣

(四)初等矩陣在矩陣乘積中的作用1.用m階初等矩陣左乘矩陣得：

相當(dāng)于把矩陣的第行與第行對(duì)調(diào),類似地,以n階初等矩陣右乘矩陣其結(jié)果相當(dāng)于把的第列第列對(duì)調(diào).2.以m階初等矩陣左乘矩陣其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)乘的第,以右乘矩陣,其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)的3、以左乘矩陣,其結(jié)果相當(dāng)于把A的第j行乘k加到第i行上

,以右乘矩陣其結(jié)果相當(dāng)于把的第i列乘k加到

第j列上

例2、設(shè)矩陣求五、定理及推論（一）定理1:用初等矩陣左乘A,相當(dāng)于對(duì)A施行相應(yīng)的初等行變換,用初等矩陣右乘A,相當(dāng)于對(duì)A施行相應(yīng)的初等列變換。（二）定理2

若方陣A可逆,A可以經(jīng)過有限次的初等行變換(初等列變換),化為單位矩陣E,即(三)推論:可逆矩陣A可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積。六、初等變換的應(yīng)用（一）求可逆矩陣A的逆矩陣?yán)?、設(shè)，

求(二)的求法1、對(duì)于n階矩陣A和矩陣B,則A可逆,且2、對(duì)于n階矩陣A和矩陣C,則A可逆,且3、對(duì)于n階矩陣A和矩陣C,則A可逆,且例4、求矩陣X,使其中

例5、解矩陣方程,其中例6、設(shè)

找出相應(yīng)的初等矩陣

例7、求可逆矩陣的逆矩陣。例8、若可逆矩陣A作下列變化,則

相應(yīng)地有怎樣的變化例9、求滿足關(guān)系式

的矩陣A,其中

§3-2矩陣的秩

一、矩陣的秩的概念(一)矩陣A的一個(gè)階子式在矩陣A中,任取列位于這些行、列交叉處的個(gè)元素,不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的階行列式,稱為矩陣A的階子式.矩陣A的階子式共有個(gè)(二)最高階非零子式，矩陣的秩

如果矩陣A中有一個(gè)子式,而所有階子式(如果存在的話)的值全等于0，則稱為矩陣A的一個(gè)最高階非零子式,其階數(shù)稱為矩陣A的秩,記作.例1、求矩陣A和B的秩其中(三)行滿秩矩陣,列滿秩矩陣,滿秩矩陣

設(shè)A為矩陣,當(dāng)時(shí).稱A為行滿秩矩陣,當(dāng)時(shí),稱A為列滿秩矩陣。

若A為n階矩陣,且，則稱A為滿秩矩陣,否則稱降秩矩陣二、矩陣的秩的性質(zhì)1.若矩陣A中有一個(gè)S階非零子式，2.若矩陣A中所有t階子式全為0，3.若A為矩陣,5.n階可逆矩陣A的秩等于階數(shù),即當(dāng)時(shí),,所以可逆矩陣又稱滿秩矩陣,不可逆矩陣又稱降秩矩陣。6.行階梯形矩陣,非零行的行數(shù)等于矩陣的秩。三、用初等變換求矩陣的秩(一)定理1:若A與B是同型矩陣,A與B等價(jià)的充分必要條件是(二)推論:設(shè)有可逆矩陣P,Q,使PAQ=B

則例2、設(shè)求R(A)，并求A的一個(gè)最高階非零子式。(三)定理2設(shè)有任意矩陣A,B,則特別地,當(dāng)B=b為列向量時(shí),有例3、設(shè)已知,求的值例4、設(shè)A為n階矩陣,證明

例5、求矩陣

的秩.例6、設(shè)求例7、設(shè)B是秩為1的3×5矩陣,問矩陣的秩為多少.例8、設(shè)A為5×3矩陣(2)齊次線性方程組(A)無解;(B)有唯一解;(C)有無窮多組解;(D)解不能確定,可能有解;可能無解.例9.以下命題正確的是()且說明理由(1)對(duì)任何矩陣A，均有;(2)A,B,C,D均為n階方陣,若

(3)A,B為階方陣,則

(4)A,B均為可逆矩陣,則AXB=C有唯一解例10、已知A為3階方陣,例11、設(shè)A是n階可逆方陣,將A的第i行和第j行互換后得到的矩陣記為B(1)證明B是可逆矩陣?yán)?2、設(shè)A為矩陣,B為矩陣,當(dāng)時(shí)，證明:(3)齊次線性方程組有非零解.

§3-3線性方程組的消元法一、線性方程組的概念(一)非齊次線性方程組,齊次線性方程組設(shè)有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組

當(dāng)不全為零時(shí),稱方程組(1)為非齊次線性方程組。當(dāng)全為零時(shí),稱方程組叫做齊次線性方程組。其中稱為方程組的系數(shù),稱為這個(gè)方程組的未知量,稱為方程組的常數(shù)項(xiàng),同時(shí)稱線性方程組(2)為與線性方程組(1)相應(yīng)的齊次線性方程組,或線性方程組(1)稱為線性方程組(2)的導(dǎo)出的組。(二)線性方程組寫成矩陣方程的形式如果令則線性方程組(1)可以表示為稱A為這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣,稱是這個(gè)方程組的增廣矩陣.（三）線性方程組的解如果使得方程組(1)中每一個(gè)方程都成立,則稱這n個(gè)數(shù)是方程組(1)的解,或者說是(1)的解(或解向量)

如果線性方程組(1)有解,就稱方程組(1)是相容的,否則,就稱方程組(1)是不相容的。一個(gè)線性方程組的解的全體構(gòu)成的集合,稱為這個(gè)線性方程組的解集合,兩個(gè)具有相同解集合的線性方程組稱為是同解的.

表示線性方程組全部解的表達(dá)式稱為線性方程組的通解。

二、高斯消元法(一)矩陣在高斯消元法中的應(yīng)用利用消元法解線性方程組,可通過線性方程組的增廣矩陣的初等行變換來完成.例1、解線性方程組(二)定理:n元線性方程組

(1)無解的充分必要條件是(2)有唯一解的充分必要條件是(3)有無窮多組解的充分必要條件是(三)求解線性方程組的步驟1、若為n元齊次線性方程組,將系數(shù)矩陣A化成行最簡(jiǎn)形,若只有零解,若有非零解,把行最簡(jiǎn)形中個(gè)非零行的非零首元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取出非自由未知數(shù)，其余個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù)，并令自由未知數(shù)分別等于，由A的行最簡(jiǎn)形即可寫出含個(gè)參數(shù)的通解。例2、解線性方程組2、若為非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣B=(A,b)化成行階梯形矩陣,若,則方程組無解,若,則進(jìn)一步把B化成行最簡(jiǎn)形。3、若,則方程組有唯一解,若則方程組有無窮多組解,把行最簡(jiǎn)形中r個(gè)非零行的的非零首元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)作非自由未知數(shù),并令自由未知數(shù)分別等于，,由B的最簡(jiǎn)形,即可寫出含個(gè)參數(shù)的通解。例