彈性力學(xué)第二章第三節(jié)

彈性力學(xué)第二章第三節(jié)第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日一.指標(biāo)表示法1.指標(biāo)符號

具有相同性質(zhì)的一組物理量，可以用一個(gè)帶下標(biāo)的字母表示：如：位移分量u、v、w表示為u1

、u2、u

3，縮寫為ui（i=1,2,3）坐標(biāo)x、y、z表示為x1、x2、x3

，縮寫為xi（i=1,2,3）。單位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日應(yīng)力分量：可表示為：縮寫為：同理，應(yīng)變分量可表示為：第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日向量表示為三階線性方程組可表示為縮寫為第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日2.愛因斯坦求和約定

在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)一次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)（簡稱啞標(biāo)）例求和指標(biāo)j求和指標(biāo)i非求和指標(biāo)稱為自由指標(biāo)第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日說明：（1）對于重復(fù)次數(shù)大于1的指標(biāo)，求和約定無效。例：（2）啞標(biāo)的有效范圍僅限于本項(xiàng)。（3）多重求和可采用不同的啞標(biāo)表示。例：（4）啞標(biāo)可局部地成對替換。（5）自由指標(biāo)必須整體換名。（6）當(dāng)自由指標(biāo)恰好在同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)一次，為避免混淆，應(yīng)聲明對該指標(biāo)不求和。例第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日3.求導(dǎo)數(shù)的簡記方法微分算符簡記法例:求和約定第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日4.克羅內(nèi)克(Kroneker)符號第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日具有如下性質(zhì)(1)(2)也稱換名算子同理:第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日4.置換符號表示，有２７個(gè)分量。定義：１２３１２３２３１１２３３１２３２１２１３１３２有兩個(gè)以上的指標(biāo)相同置換符號用于簡化公式的書寫．第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日行列式：第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日二.彈性力學(xué)方程的指數(shù)表示(1)平衡(運(yùn)動)微分方程第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日(2)幾何方程第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日(3)物理方程第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日(4)邊界條件力邊界條件:位移邊界條件:第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日1.迭加原理:

彈性體受幾組外力同時(shí)作用時(shí)的解(應(yīng)力、應(yīng)變和位移)等于每一組外力單獨(dú)作用時(shí)對應(yīng)解的和.§2-8彈性力學(xué)的幾個(gè)基本定義 (1) 迭加原理成立的條件是微分方程和邊界條件是線性的.說明: (2) 對大變形問題,幾何方程將出現(xiàn)二次非線性項(xiàng),平衡方程將受到變形的影響,迭加原理不再適用。 (3) 對非線彈性或彈塑性材料,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非線性,迭加原理不成立。 (4) 對非線性邊界條件,迭加原理也失效。第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日2.解的唯一性定理：

在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變解是唯一的，如物體剛體位移受到約束，則位移解也是唯一的。

無論何方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊界條件，就一定是問題的真解。第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日3.圣維南原理:

提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則 此力系對物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)的部分不產(chǎn)生 影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。提法二：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，該 力系在物體中引起的應(yīng)力將隨離力系作用部分的距離 的增大而迅速衰減，在距離相當(dāng)遠(yuǎn)處，其值很小，可 忽略不計(jì)。提法三：若作用在物體局部表面上的外力，用一個(gè)靜力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，則離此區(qū)域較 遠(yuǎn)的部分所受影響可以忽略不計(jì)。第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日利用圣維南原理可放寬邊界條件，擴(kuò)大彈性力學(xué)的解題范圍。第二十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日例