彈塑性平面問題

彈塑性平面問題第一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)問題的基本方程組和邊界條件共同構(gòu)成彈力學(xué)問題嚴(yán)格而完整的提法。根據(jù)具體問題邊界條件類型的不同，通常將其分為以下三類問題.第一類邊值問題

在全部邊界上給定體力和面力，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場和位移場，稱這類問題為應(yīng)力邊值問題。第二類邊值問題

給定物體力和在物體表面各點(diǎn)的位移，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場和位移場，稱這類問題為位移邊值問題。第三類邊值問題

稱這類問題為混合邊值問題。

問題的提法第二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日求解以上三類邊值問題有相應(yīng)的方法，即位移法(2)應(yīng)力法(3)混合法給定位移邊界條件,宜采用位移法.給定應(yīng)力邊界條件,宜采用應(yīng)力法.含有兩種邊界.逆解法和半逆解法逆解法就是選取一組位移或應(yīng)力的函數(shù)，由此求出應(yīng)變與應(yīng)力，然后驗(yàn)證是否滿足基本方程。不滿足，則求出與之對應(yīng)的邊界上的位移或面力，再與實(shí)際邊界條件比較。如果相同或可認(rèn)為相近，就可把所選取的解作為所要求的解。半逆解法又叫湊合解法，就是在未知量中，先根據(jù)問題的特點(diǎn)假設(shè)一部分為已知，然后在基本方程和邊界條件中，求另一部分。這樣便得到了全部未知量。此外，尚有近似解法、數(shù)值解法等。第三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日塑性力學(xué)問題的提法塑性力學(xué)邊值問題的提法與彈性力學(xué)相同,也必須使定解問題是適用的,即要求滿足:(1)有解;(2)解是惟一的;(3)解是穩(wěn)定的.1).平衡方程對增量理論對全量理論在V內(nèi)在V內(nèi)

2).幾何方程對增量理論對全量理論在V內(nèi)在V內(nèi)第四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日在V內(nèi)對全量理論4).邊界條件對全量理論對增量理論3).本構(gòu)方程

對剛塑性材料增量理論在V內(nèi)對彈塑性材料的增量理論在V內(nèi)第五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第六章

彈塑性平面問題第七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.1平面問題的基本方程6.2應(yīng)力函數(shù)6.3梁的彈性平面彎曲6.4深梁的三角級(jí)數(shù)解法6.5用極坐標(biāo)表示的基本方程6.6厚壁筒的彈塑性解6.7半無限平面體問題6.8圓孔孔邊應(yīng)力集中第六章彈塑性平面問題第八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日任何一個(gè)彈塑性體實(shí)際上都是空間(三維)物體，且一般的載荷嚴(yán)格說來也是空間力系。因此，所有彈塑性力學(xué)問題實(shí)際上都是空間問題，即所有的力學(xué)量都是坐標(biāo)的函數(shù)。但是，當(dāng)所考察的從而使問題得簡化，且所得解答又具有工程所要求的精度。物體(結(jié)構(gòu))及其所承受的載荷具有某些特點(diǎn)時(shí)，則可將它們近似地看作平面(二維)問題，即所有的力學(xué)量都是兩個(gè)坐標(biāo)(如)的函數(shù)，由第二章知，彈塑性力學(xué)平面問題可分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩種，本章主要討論彈塑性平面問題求解的一般方法。第九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.1平面問題的基本方程第十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日由第二章己經(jīng)知道，兩類平面問題的基本未知量雖然是完全相同的，但非零的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量不是完全相同的。1.1平衡方程

無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題，由于在方向自成平衡，因此，兩類問題的平衡方程均為

(6.1-1)1.2幾何方程由于只需要考慮面內(nèi)的幾何關(guān)系，因此，對于兩類平面向題均有

(6.1-2)由式(6.1-2)可得到平面問題的變形協(xié)調(diào)方程為

(6.1-3)幻燈片16第十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日1.3本構(gòu)關(guān)系兩類平面問題的非零應(yīng)力分量和應(yīng)變分量不相同，因此，由廣義虎克定律所得本構(gòu)方程也必然不盡相同。

平面應(yīng)力問題對于平面應(yīng)力問題，因根據(jù)廣義虎克定律顯然有。因此本構(gòu)方程為

(6.1-4a)或

(6.1-4b)幻燈片16第十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日平面應(yīng)變問題對于平面應(yīng)變問題，有，根據(jù)廣義虎克定律，必有

和因此，本構(gòu)關(guān)系為或(6.1-5a)(6.1-5b)

第十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日將上面兩種平面問題的本構(gòu)方程式進(jìn)行比較可以看出，只要將平面應(yīng)力問題本構(gòu)方程式中的換為，換為就可以得到平面應(yīng)變問題的本構(gòu)方程式。平面應(yīng)力問題的本構(gòu)方程式平面應(yīng)變問題的本構(gòu)方程式第十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日1.4應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

如果采用應(yīng)力法求解，還必須將平面問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程(6.1-3)式變換為用應(yīng)力表示。

平面應(yīng)力問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程對于平面應(yīng)力問題，將平衡方程(6.1-1)式中的第一式對x求導(dǎo)，第二式對y求導(dǎo)，有將上式相加后，得因第十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日將平面問題的變形協(xié)調(diào)方程式用本構(gòu)關(guān)系式代入,得

化簡上式，得上式可進(jìn)一步寫為

(6.1-6)如果不計(jì)體力或?yàn)槌ｓw力，則上式可寫為

(6.1-7a)或用拉普拉斯算符簡寫為

(6.1-7b)

用應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，通常稱為納維方程6.1-36.1-4a第十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(2)平面應(yīng)變問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程對于平面應(yīng)變問題，因?yàn)槠胶夥匠掏瑯訛?6.1-1)式，應(yīng)力分量、也只是x,y的函數(shù)，因此應(yīng)用由平面應(yīng)力變換到平面應(yīng)變的對應(yīng)關(guān)系，則平面應(yīng)變問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程可直接從(6.1-6)中得到，即

(6.1-8)注意到，當(dāng)在平面應(yīng)變問題中，如果不計(jì)體力或?yàn)槌ｓw力時(shí)，則(6.1-8)式也簡化為(6.1-7)式，這時(shí)平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程相同。第十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日由以上可見，如果討論的問題為域上的調(diào)和函數(shù)，則平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的應(yīng)力分量，，的分布是相同的，是在區(qū)域上直到二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)。在這種情況下，平面內(nèi)應(yīng)力場一致。也就是說，他們在第十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日1.5邊界條件平面內(nèi)周邊上的應(yīng)力邊界條件為

(6.1-9a)對于平面應(yīng)變問題還有

(6.1-9b)對于平面應(yīng)力問題．由于方向無外力作用，又所以該方向的邊界條件自動(dòng)滿足。從以上的討論中不難發(fā)現(xiàn)，方程(6.1-1)和(6.1-7)以及邊界條件(6.1-9)中均不含材料常數(shù)。由此得出重要結(jié)論：對于全部邊界為力邊界的無(或常)體力的平面問題，無論什么材料，只要它們的幾何條件、載荷條件相同，則不論其為平面應(yīng)力或平面應(yīng)變問題，他們在平面內(nèi)的應(yīng)力分布規(guī)律是相同的。這一結(jié)論，給實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計(jì)，尤其是光彈性實(shí)驗(yàn)提供了理論基礎(chǔ)、并具有很大的靈活性。但需特別注意的是，以上兩種情況的應(yīng)力、應(yīng)變和位移是不相同的。第十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.2應(yīng)力函數(shù)第二十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日當(dāng)邊值問題屬于第一類，即面力已知問題，則采用應(yīng)力法求解時(shí),平面問題的彈性解,要求積分平衡方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,并滿足邊界條件.其基本方程歸結(jié)為(1)當(dāng)體力為常量時(shí)

(6.2-1a)(6.2-1b)(6.2-1c)(2)當(dāng)不計(jì)體力時(shí)(6.2-2a)(6.2-2b)(6.2-1c)

由數(shù)學(xué)上可知，方程(6.2-1a)是一組線性非齊次偏微分方程，它的解答應(yīng)該包含兩部分：任意一組特解和齊次方程(6.2-2a)的通解。第二十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日

非齊次方程(6.2-1a)的特解可取為(a)或取為或取為(c)

(b)

等形式。顯然，這些特解都滿足(6.2-1a)式。對于齊次方程式(6.2-2a)，如果引進(jìn)一個(gè)函數(shù)，使得

(6.2-3)則將(6.2-3)式代人齊次方程(6.2-2a)式，可知恒滿足。函數(shù)稱為平面向題的應(yīng)力函數(shù)，是英國天文學(xué)家艾里(Airy,G..B)于1862年首先提出的，因此也稱它為艾里應(yīng)力函數(shù)。第二十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日

將(6.2-3)式與式(a)式相疊加，就得到(6.2-1a)式的全解為

(6.2-4)為使應(yīng)力表達(dá)式同時(shí)滿足協(xié)調(diào)方程、則應(yīng)力函數(shù)還必須滿足一定的條件。將(6.2-4)式代入調(diào)和方程(6.2-1b)，得第二十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日將展開為(6.2-5a)或采用雙調(diào)和算子簡寫為(6.2-5b)將(6.2-4)式代入(6.2-1c)式，得到相應(yīng)的用應(yīng)力函數(shù)表示的靜力邊界條件為

(6.2-7)

第二十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(3)考慮有體力,且體力是有勢的,即

其中V為勢函數(shù).此時(shí),平衡微分方程變?yōu)?比較上面的方程與無體力的平衡微分方程,令

(a)

將方程(a)代如應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,可以分別的出平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的調(diào)和方程.第二十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力問題:平面應(yīng)變問題:第二十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日實(shí)際上，直接求解彈性力學(xué)問題往住是很困難的，因此有時(shí)不得不采用逆解法或半逆解怯等來求解。

當(dāng)用逆解法時(shí)，需先假定滿足雙調(diào)和方程(6.2-5)式的某種形式的應(yīng)力函數(shù),然后用式(6.2-3)或(6.2-4)求出應(yīng)力分量，，等，可以解什么樣的問題。再根據(jù)邊界條件式(6.2-6)或(6.2-7)來分析所得應(yīng)力分量對應(yīng)于什么樣的面力。由此判定所選應(yīng)力函數(shù)如用半逆解法則針對所要求的問題，假定部分或全部應(yīng)力分量為某種形式的雙調(diào)和函數(shù)，并引入足夠多的待定參數(shù)，從而導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)然后分析所得應(yīng)力函數(shù)是否滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，判斷假定的以及由應(yīng)力函數(shù)導(dǎo)出的應(yīng)力分量是否滿足邊界條件。如不滿足則應(yīng)重新假定。

應(yīng)當(dāng)注意的是，雙調(diào)和方程是四階的或低于四階的多項(xiàng)式都是雙調(diào)和函數(shù)。但必須至少是二次和二次以上，以保證得出非零的應(yīng)力解。第二十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第二十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日把問題歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解雙調(diào)和方程的問題.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向討論如何求應(yīng)力函數(shù)首先用多項(xiàng)式逆解法來解一些具有矩形邊界并不計(jì)體力的平面問題.該解法的基本思路是:分別給出冪次不同并滿足方程.然后考察這些應(yīng)力對應(yīng)于邊界上什么樣的面力,從而知道該應(yīng)力函數(shù)能解決什么樣的問題.考慮:一次多項(xiàng)式,二次多項(xiàng)式,三次多項(xiàng)式,四次多項(xiàng)式,五次多項(xiàng)式.第二十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(1)取一次多項(xiàng)式對應(yīng)的應(yīng)力分量為這對應(yīng)于無應(yīng)力狀態(tài),因此,在任何應(yīng)力函數(shù)中增減一個(gè)x,y的一次函數(shù),并不會(huì)影響應(yīng)力分量的值.第三十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(2)取二次多項(xiàng)式不論系數(shù)取何值,都滿足雙調(diào)和方程,對應(yīng)的應(yīng)力分量為代表均勻應(yīng)力狀態(tài).且如果,則代表雙向均勻拉伸;如則代表純剪.第三十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(3)取三次多項(xiàng)式不論系數(shù)取何值,都滿足雙調(diào)和方程,這里只考慮的情況作為示例,對應(yīng)的應(yīng)力分量為:這是矩形截面梁純彎曲的情況.如果已知作用的矩形窄梁兩端的彎矩M,則由第三十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(4)取四次多項(xiàng)式要使它滿足雙調(diào)和方程,各系數(shù)必須要滿足一定的關(guān)系,代入雙調(diào)和方程,得于是上述應(yīng)力函數(shù)寫成:這時(shí)候,式中的四個(gè)系數(shù)不論取何值,都滿足雙調(diào)和方程.特別的,取則:第三十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日對應(yīng)的應(yīng)力分量為這個(gè)應(yīng)力狀態(tài)由作用于矩形板邊界上的以下三部分外力產(chǎn)生:(1)在邊界上,受有均勻分布的剪應(yīng)力;(2)在邊界上,受有按拋物線分布的剪應(yīng)力;(3)在邊界上,受有按拋物線分布的剪應(yīng)力和靜力上等效于彎矩的正應(yīng)力.幻燈片46第三十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(5)取五次多項(xiàng)式要使它滿足雙調(diào)和方程,各系數(shù)必須要滿足一定的關(guān)系,代入雙調(diào)和方程,得因?yàn)樵摲匠虒λ械膞,y均成立,故必有于是上述多項(xiàng)式變?yōu)?將和用其他的系數(shù)表示:第三十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日此時(shí),式中的四個(gè)系數(shù)不論取何值,均滿足雙調(diào)和方程.特別的,如果則對應(yīng)的應(yīng)力分量為:第三十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日在矩形板的邊界上,應(yīng)力分布如圖幻燈片61第三十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第三十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.3梁的彈性平面彎曲第三十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日3.1懸臂梁的彈性平面彎曲在第五章采用材料力學(xué)初等理論介紹了梁的彈塑性純彎曲，這節(jié)首先應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)法討論高為h,寬為b,跨長為l

，如圖6.1所示的懸臂粱在自由端受集中力F作用，忽略自重時(shí)的平面彎曲.

圖6.1懸臂梁第四十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日對于圖示懸臂梁，其邊界條件為(a)式(a)所列邊界條件表示：懸臂梁自由端沒有軸向水平力，頂部和底部沒有載荷作用，及自由端的切應(yīng)力之和應(yīng)等于F。(a)中第四式的負(fù)號(hào)是因此處切應(yīng)力是作用在外法線方向與軸反向的平面內(nèi)，切應(yīng)力方向又與軸同向，根據(jù)第2章對切應(yīng)力的正負(fù)號(hào)約定應(yīng)為負(fù)。第四十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日圖6.1懸臂梁1)選擇應(yīng)力函數(shù)由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上由因此，可假定為產(chǎn)生的彎矩隨作線性變化，而且截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與成比例.

(b)

式中為常數(shù)。將(b)式對積分兩次，得(c)式(c)中的和為的待定函數(shù)。將(c)式代入雙調(diào)和方程(6.2-5a)可得(d)

幻燈片53第四十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日因和僅為的函數(shù)，而上式中左邊第二項(xiàng)又與無關(guān)，故要使上式成立時(shí)，必有對上面兩式分別積分，得式中系積分常數(shù)。將它們代入式(c)，可得應(yīng)力函數(shù)為

(6.3-1)可得應(yīng)力分量為(e)

第四十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日2)確定系數(shù)根據(jù)邊界條件式(a)中的第2式，有

上式應(yīng)對所有的都應(yīng)成立，因而必有求解此方程組，得(f)第四十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日根據(jù)邊界條件式(a)中的第3式，并注意到式(e)和(f)，則有由上式可得又依據(jù)邊界條件式(a)的第4式，可得由上式可得式中為梁截面對中性軸的慣性矩。第四十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日3)應(yīng)力分量計(jì)算所有常數(shù)均已確定，于是可得懸臂梁中的各應(yīng)力分量為(6.3-2)式(6.3-2)的結(jié)果與材料力學(xué)的結(jié)果完全一致。由此可得出結(jié)淪：如果自由端部的切力按拋物線分布，

在固定端是按線性分布，則這一解是精確解。如果不是這樣，根據(jù)圣維南原理，這一解在梁內(nèi)遠(yuǎn)離端部的截面仍是足夠精確的，其所影響的范圍大約只有截面尺寸大小的長度。這主要是這3個(gè)系數(shù)與應(yīng)力分量無關(guān)。因此，這幾個(gè)系數(shù)確定與否無關(guān)緊要。需注意的是，式(6.3-1)中的系數(shù)并未求出，由上節(jié)已知，第四十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日4)變形計(jì)算當(dāng)應(yīng)力求得后，變形計(jì)算則可根據(jù)應(yīng)變位移幾何關(guān)系和虎克定律進(jìn)行。由式(6.3-2)可得(g)

將式(g)中的第1和第2式分別對積分，有

(h)

將式(h)分別對微分，代入式(g)的第3式，并整理后可得第四十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日上式兩邊分別為與的函數(shù)，因此等式左、右兩邊應(yīng)等于同一常數(shù)，即將上式積分后代入式(h)，可得位移的表達(dá)式為

(k)

(i)

(j)

來確定。下面分兩種情況進(jìn)行討論。式中常數(shù)由阻止梁在面內(nèi)作剛體運(yùn)動(dòng)所必需的三個(gè)約束條件第四十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(1)固定端處()的邊界條件為：這一邊界條件相當(dāng)于在固端處梁的軸線的切線保持水平，現(xiàn)將該邊界條件代入位移表達(dá)式(k)，可得即將坐標(biāo)點(diǎn)的水平微線段固定，這與材料力學(xué)的處理方法相同。將這些系數(shù)代入式(k)，則位移為(6.3-3)

后不再保持為平面，這與材料力學(xué)初等理論所得結(jié)果不同。

由該式可知，均是的非線性函數(shù)，這說明梁的任一截面變形第四十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日如在固定端()處，由式(6.3-3)可得上式表明，由這種固定條件得到鉛垂線元有一繞垂直于平面的軸逆時(shí)針方向的轉(zhuǎn)角(圖6.2)。梁軸線的鉛垂位移由(6.3-3)式可得對于梁自由端()處的撓度，

這與材料力學(xué)的結(jié)果相同。由式(6.3-3)的第2式可得梁第五十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(2)固定端處()的邊界條件為：這表示固定端斷面在()處的鉛垂微線元固定不能轉(zhuǎn)動(dòng)，將該邊界條件代入式(k)，可求得這些系數(shù)代入式(k)，得到一組與(6.3-3)式不同的梁的位移為(6.3-4)同樣可得出在固定端()處的水平線元也有一繞垂直于面平面的軸逆時(shí)針方向的轉(zhuǎn)角(如圖6.3所示)。

由該式可知，均是的非線性函數(shù).

圖6.3固定端轉(zhuǎn)角示意圖第五十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(6.3-4)式可得梁軸的鉛垂位移為自由端的撓度度為顯然，上式等號(hào)右邊第二項(xiàng)是剪力對撓度的影響。而這部分與彎曲的影響之比，為第五十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日梁的撓度主要由于彎曲所引起。由此可見，在材料力學(xué)中得到的結(jié)果，對于細(xì)長梁是精確的。但是，必須指出，在高而短的梁中，以及在梁的高頻振動(dòng)和在波的傳播問題中，切應(yīng)力效應(yīng)是非常重要的。由以上計(jì)算變形可見，在材料力學(xué)中，只是籠統(tǒng)地說梁端“固定”，沒有規(guī)定具體的固定方式。在彈性理論中必須規(guī)定固定的方式，根據(jù)不同的固定方式，得出不同的位移公式。如，則此比值為。所以當(dāng)時(shí)，第五十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日方法二:選擇應(yīng)力函數(shù)采用半逆解法求解：逐步湊取冪次不同的雙調(diào)和多項(xiàng)式函數(shù)直到由此求得的應(yīng)力分量滿足問題的邊界條件為止.考察四次多項(xiàng)式.情況大致與本題是一致的．在端面上，處，外力分布幻燈片38比本問題多出了剪應(yīng)力在上下界面上，處，為了抵消這部分剪應(yīng)力，試在應(yīng)力函數(shù)式上疊加一個(gè)與純剪對應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)幻燈片41第五十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第五十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日3.2簡支梁的彈性平面彎曲現(xiàn)分析如圖6.4所示受均布載荷作用，不計(jì)體力的兩端簡支梁。

q

圖6.4受均布荷重簡支梁第五十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日1)選擇應(yīng)力函數(shù)設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

(a)(a)式滿足雙調(diào)和方程。2)利用邊界條件確定常數(shù)幻燈片41q邊界條件為和根據(jù)應(yīng)力分量及邊界條件式可得

(b)

(c)第五十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(d)

由此可解得系數(shù)為(e)將(e)式代入(a)式(f)得應(yīng)力函數(shù)第五十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日3)應(yīng)力分量計(jì)算將式(f)代入式(6.2-3)，并注意梁的截面慣性矩，求得應(yīng)力分量為

(g)將式(g)的應(yīng)力分量與材料力學(xué)對該問題的解答相比，可以看出：幻燈片63第五十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日上式括號(hào)中的第一項(xiàng)為主要應(yīng)力，第二項(xiàng)反映修正應(yīng)力。一般認(rèn)為當(dāng)時(shí)，材料力學(xué)公式不再適用。(1)(g)中的表達(dá)式包括兩項(xiàng)，第一項(xiàng)與材料力學(xué)解答相同，而第二項(xiàng)與無關(guān)，是對材料力學(xué)解答的修正。且當(dāng)時(shí)，梁的端面有正應(yīng)力，但端面上沒有水平外力，所以的條件，但未能消除兩端的正應(yīng)力。然而這組附加的水平力，即修正項(xiàng)顯然也構(gòu)成平衡力系。根據(jù)圣維南原理，這組附加力的效應(yīng)是局部的，在遠(yuǎn)離兩端部分可認(rèn)為材料力學(xué)的公式是精確的。因此，通常認(rèn)為長而低的細(xì)長粱此項(xiàng)可忽略不計(jì)，但對高梁，即短粗梁這項(xiàng)有顯著影響。如梁中間截面處的最大值為

的表達(dá)式只滿足了兩端彎矩為零第六十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(2)材料力學(xué)對該問題剪應(yīng)力的解答與本精確解完全吻合。，

圖6.5簡支梁截面應(yīng)力分布示意圖但本解答表明，除梁截面的下表面處外，其余部位無關(guān)，因此整個(gè)梁的縱向纖維之間均存在擠壓力。梁中應(yīng)力分布如圖6.5所示。(3)材料力學(xué)假設(shè)梁的縱向纖維之間互不擠壓力，因此且與第六十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日4)位移計(jì)算而垂向位移為，經(jīng)積分后可得對于位移計(jì)算，其方法和步驟與懸臂梁的位移計(jì)算相同，即利用本構(gòu)方程和幾何方程，并假定梁中間截面的形心的水平位移等于零，

(h)

由上面的位移表達(dá)式可以得出三點(diǎn)結(jié)論.第六十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(1)由位移的表達(dá)式可知，梁的中性層并不在梁截面的中間層。在中間層處有水平位移(k)由式(g)知，當(dāng)時(shí)，，因此沿方向引起拉伸應(yīng)變將上式積分，并注意當(dāng)時(shí)，，則得式(k)。幻燈片59第六十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(2)由位移可得梁軸線()的撓曲線方程為(m)假設(shè)在梁中心軸線的兩端()處，垂向位移，則得上式右端括弧中的第一項(xiàng)所反映的撓度與材料力學(xué)根據(jù)平面假設(shè)而得出的結(jié)果相一致，括弧中的第二項(xiàng)反映剪應(yīng)力的影響。第六十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(3)將式(m)對求二階導(dǎo)致，得撓曲線的曲率方程式由該式可知，曲率并不與成正比，方括號(hào)半的第二項(xiàng)是對的修正。材料力學(xué)近似曲率公式必須指出的是，應(yīng)用式(g)也能解答梁兩端固定的問題，為此，須取適當(dāng)?shù)闹ё戳?，并使粱的二端都滿足或的條件。應(yīng)注意，用多項(xiàng)式求解僅對低粱適用，對于高梁，兩端的平衡力系要影響到跨度中部的應(yīng)力。因此，須用其他形式的應(yīng)力函數(shù)，例如三角級(jí)數(shù)的形式。第六十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日q

圖6.4受均布荷重簡支梁考慮用另外一種方法得到應(yīng)力函數(shù).材料力學(xué)中認(rèn)為為零.這個(gè)不會(huì)滿足彈性力學(xué)的全部方程,在梁的上表面，有按照材料力學(xué)方法求解,得到如下應(yīng)力(a)第六十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日因此,要求應(yīng)力滿足彈性力學(xué)方程,將應(yīng)力表達(dá)式(a)寫成更普遍的形式:于是有(b)由(b)的第一式積分,得這里的和均為x的任意函數(shù).將(c)代入式(b)的第二式,則有(c)這里的E為積分常數(shù).代入式(c)后,得到(d)第六十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日將這個(gè)應(yīng)力函數(shù)代入雙調(diào)和方程,發(fā)現(xiàn)不滿足,這說明它不能取做應(yīng)力函數(shù).(d)現(xiàn)在在這個(gè)函數(shù)的基礎(chǔ)上添加一個(gè)任意函數(shù),并略去不影響應(yīng)力的一次項(xiàng)Ey,于是有(e)以滿足雙調(diào)和方程為目標(biāo)來選擇函數(shù).將式(e)代入雙調(diào)和方程,得到所必須滿足的方程.(這里假設(shè)最多是x的三次函數(shù).)(f)第六十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日這個(gè)方程最簡單的解為(g)將(g)代入(f)得到:(h)可以取掉式(h)變成:最后得到應(yīng)力函數(shù)為:應(yīng)力分量為:(i)第六十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日考慮邊界條件:(1)上下兩面:將邊界條件應(yīng)用到式(i)上,有:(j)(k)由(k)式可以看出,要使它們恒成立,只有第七十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(2)端面容易驗(yàn)證第二個(gè)條件已經(jīng)滿足.但第一個(gè)條件無法滿足,因此,利用局部性原理,將邊界條件放松,即已經(jīng)滿足第七十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日得:應(yīng)力分量為:比較第一種方法的結(jié)果第七十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第七十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日3.3懸臂梁受均勻分布載荷作用不計(jì)自重的懸臂梁受到均勻分布的載荷作用,也可以采用多項(xiàng)式的疊加求解,現(xiàn)考慮另外一種方法.qOLyxyh/21h/2zO幻燈片78第七十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日彎曲應(yīng)力主要由彎矩產(chǎn)生的,剪應(yīng)力主要是由剪力Q產(chǎn)生的,而擠壓應(yīng)力主要由載荷q產(chǎn)生的,現(xiàn)因q為常數(shù),所以,可以假定,對于不同的的分布相同,也就是說,僅僅是y的函數(shù),即于是有:而這里的和是y的任意函數(shù).這個(gè)應(yīng)力函數(shù)必須滿足雙調(diào)和方程,所以,代入雙調(diào)和方程后,得(a)第七十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日函數(shù),和必須滿足這是x的二次方程,但是它有無窮個(gè)根(梁內(nèi)所有的x都滿足它),因此,方程的系數(shù)和自由項(xiàng)應(yīng)該等于零,即根據(jù)前面兩個(gè)方程,有根據(jù)第三個(gè)方程,有積分該式(b)第七十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(c)將式(b),(c)代入應(yīng)力函數(shù)(a),得因此得到應(yīng)力分量為這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和協(xié)調(diào)方程.(d)第七十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日邊界條件為:(f)(e)(g)根據(jù)邊界條件(g)的第三式可得根據(jù)邊界條件(e)和(f)可得將系數(shù)代入應(yīng)力分量得幻燈片74第七十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日再由邊界條件(g)的前面兩式可得代入應(yīng)力分量,且有可得第七十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日這個(gè)應(yīng)力表達(dá)式和材料力學(xué)結(jié)果比較,可以發(fā)現(xiàn)剪應(yīng)力與材料力學(xué)一樣,正應(yīng)力增加了一個(gè)修正項(xiàng):第八十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第八十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.4深梁的三角級(jí)數(shù)解法第八十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日前面一節(jié)是用代數(shù)多項(xiàng)式為應(yīng)力函數(shù)求解彈性梁平面問題，對于一端受集中力懸臂梁的彎曲，用三次多項(xiàng)式為應(yīng)力函數(shù)；對于受連續(xù)均布載荷的單跨粱，用五次多項(xiàng)式。增高多項(xiàng)式的冪次，可以求解受載荷更復(fù)雜的問題。

但是整多項(xiàng)式只限于求解梁上載荷的分布是連續(xù)的，而且分布規(guī)律能用代數(shù)整函數(shù)表示的一些簡單問題。如果載荷分布不是連續(xù)的，而且分布規(guī)律不能用代數(shù)整函數(shù)表示(圖6.6)，則可以用三角級(jí)數(shù)求解這類問題。載荷函數(shù)可展開為三角級(jí)數(shù)，應(yīng)力函數(shù)也可以用三角級(jí)數(shù)表示。

圖6.6受非連續(xù)分布載荷深梁示意圖第八十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日4.1應(yīng)力函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表達(dá)對于圖6.6所示梁，取應(yīng)力函數(shù)為

(a)

式中，是任意整數(shù)。將式(a)代入雙調(diào)和方程(6.2-5a)，得常微分方程(b)

該常系數(shù)線性微分方程的通解為將(c)式代入(a)式，得應(yīng)力函數(shù)(c)

(d)

第八十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，由相應(yīng)的應(yīng)力分量為(6.4-1)

由于為任意整數(shù)，因此可得無窮多個(gè)函數(shù)，又因雙調(diào)和方程是線性的，之和也是雙調(diào)和方程(6.2-5a)的解，即所以無窮多個(gè)函數(shù)(6.4-2a)

第八十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日不難證明，如取應(yīng)力函數(shù)為(6.4-2b)

也能滿足雙調(diào)和函數(shù)。因此，式(6.4-2a)和(6.4-2b)之和也能滿足雙調(diào)和函數(shù)，所以應(yīng)力函數(shù)可表示為如下級(jí)數(shù)形式(6.4-2c)式(6.4-2c)中的系數(shù)

和需根據(jù)邊界條件確定。

第八十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日4.2載荷函數(shù)這時(shí)應(yīng)力邊界條件必須展開為無窮級(jí)數(shù)的形式(6.4-3)

由數(shù)學(xué)分析知，將一函數(shù)在區(qū)域[]展開成富里葉(Fourier)級(jí)數(shù)(6.4-3)時(shí)，其系數(shù)(稱作富里葉系數(shù))為(6.4-4)

如果在梁的[]邊界上作用有均布載荷，則富里葉系數(shù)為第八十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(6.4-5)

這樣，對于該邊界(包括上下邊界)有

(6.4-6)

第八十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日hyx2ql2ql2lqo研究有足夠多跨的連續(xù)墻梁的彈性分析.所謂墻梁是指高度與跨度相近的一類墻板結(jié)構(gòu).載荷的作用只在板面以內(nèi),墻梁是深梁的一種.

墻梁的支座往往是一系列的柱,將其反力簡化為集中力.考慮用三角級(jí)數(shù)的應(yīng)力函數(shù)來分析.

第八十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(1)選取應(yīng)力函數(shù)因?yàn)檎液瘮?shù)項(xiàng)是反對稱函數(shù)，而應(yīng)對y軸為對稱,故應(yīng)力函數(shù)應(yīng)取只包含余弦函數(shù)項(xiàng)的級(jí)數(shù).此外為了滿足邊界條件,補(bǔ)充二次多項(xiàng)式,于是應(yīng)力函數(shù)取:此外為常數(shù).由于具有周期性,故研究一跨梁足夠.

第九十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(2)計(jì)算應(yīng)力分量剪應(yīng)力分量應(yīng)為反對稱,故應(yīng)有

第九十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(3)寫出邊界條件與平衡方程(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

對任意豎向截面有第九十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(4)確定常數(shù),求應(yīng)力分布規(guī)律將應(yīng)力代入上面的邊界條件有由于

第九十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(5)求位移分量積分可得各位移分量

應(yīng)力分布圖

第九十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第九十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日例6.1設(shè)一簡支梁的中部上、下兩表面，在范圍內(nèi)對稱地作用均布載荷.(如圖6.7所示)。如此梁的厚度為1個(gè)單位，不計(jì)體力，試求其應(yīng)力分量。圖6.7局部受均布載荷簡支粱

第九十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日解：首先將載荷展開為富里葉級(jí)數(shù)，最普遍的情況下，上部邊界()和下部邊界()的載荷分別表示為(1)

注意載荷實(shí)際作用區(qū)域?yàn)?2)

式中表示整個(gè)梁的均勻分布載荷，式(e)中的全部系數(shù)均可用富里葉系數(shù)的公式求出。第九十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日由圖6.7可知，所示載荷對稱于軸，是的偶函數(shù)，故式(d)的展開式只含及余弦項(xiàng)，其中(3)

而系數(shù)可由載荷展開式運(yùn)用通常求富里葉系數(shù)的辦法，兩邊乘以，并在區(qū)間積分，有由此可得由于為任意整數(shù)，所以可換成，于是得同理也可得。

(4)

第九十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日將代入上式可得

(5)

由于常數(shù)的存在，該問題可理解為上、下分別作用均布載荷，再加上后面的三角級(jí)數(shù)所表示的載荷。

于是，可以分別計(jì)算每一部分載荷所產(chǎn)生的應(yīng)力，然后再疊加。對于上、下面作用均布?jí)嚎s載荷，相應(yīng)的應(yīng)力分量為(6)

而

，這些載荷所產(chǎn)生的應(yīng)力分量，可依據(jù)應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式求得，即第九十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(7)

式中，各個(gè)常數(shù)可由邊界條件確定(參見式(4))，即(8)

將式(8)中的代入式(7)，并注意到雙曲函數(shù)的關(guān)系式第一百頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日，則可得(9)

所以式(7)中的常數(shù)可全部確定，將式(9)代入式(7)，即得相應(yīng)的應(yīng)力分量，再加上式中由均布載荷而產(chǎn)生的應(yīng)力，即得梁總的應(yīng)力分量計(jì)算式。如的表達(dá)式為第一百零一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日如果在該梁上的分布載荷作用范圍不斷縮小，即隨著這短段的縮小達(dá)到極限情況，就得到梁受兩個(gè)相向集中壓力的情形，這種情況下的應(yīng)力沿方向的分布曲線如圖b所這一計(jì)算實(shí)例，可以說明圣維南原理對此也是是正確的。隨示，由該圖可見，的增大而迅速衰減。第一百零二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第一百零三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.5用極坐標(biāo)表示的基本方程第一百零四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日對于圓形或部分圓形(扇形，楔形等)的物體，用極坐標(biāo)求解比較方便。在極坐標(biāo)系中，平面內(nèi)任一點(diǎn)的位置，用徑向坐標(biāo)

及周向坐標(biāo)

來表示(如圖6.9)。極坐標(biāo)系

與直角坐標(biāo)系

之間的關(guān)系為(6.5-1a)

(6.5-1b)

下面推導(dǎo)極坐標(biāo)平面問題的基本微分方程。

第一百零五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日5.1平衡方程在變形物體中，用兩個(gè)同心柱面和兩個(gè)徑向平面截割出—微小單元體(見圖6.10)。設(shè)單元體厚度為1個(gè)單位。沿徑向正應(yīng)力，用表示；沿切向正應(yīng)力，用表示；方向的正應(yīng)力稱為方向的正應(yīng)力稱為周向正應(yīng)力或圖6.10微元應(yīng)力分量

第一百零六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日剪應(yīng)力用及表示。根據(jù)剪應(yīng)力互等定律，各應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定和直角坐標(biāo)系中相同，只是方向?qū)?yīng)方向、方向?qū)?yīng)的體力分量分別用及表示。方向。圖中的應(yīng)力分量都是正值。徑向和周向?qū)卧w所受的力投影到通過其中心的徑向軸上，可建立出單元體徑向平衡方程為第一百零七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日在上式中，因?yàn)槭切×?，因此可取，并略去高階微量后可得第一百零八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日采用同樣的方法，可以列出單元體在周向的平衡方程。則可得極坐標(biāo)系下的平衡方程為(6.5-2)

第一百零九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日類似的還可寫出柱坐標(biāo)系()下和球坐標(biāo)系()下的平衡方程。

(1)柱坐標(biāo)系下的平衡微分方方程(6.5-3)

(2)球坐標(biāo)系下的平衡微分方方程

(6.5-4)

第一百一十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日5.2幾何方程極坐標(biāo)系下的幾何方程，在第三章中巳導(dǎo)出，即(6.5-5)

5.3本構(gòu)關(guān)系極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系都是正交坐標(biāo)系，因此，在彈性狀態(tài)下，極坐標(biāo)下的本構(gòu)方程與直角坐標(biāo)具有同樣的形式。只要將下標(biāo)分別改寫為即可?？紤]平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)力問題幻燈片124參看(Page117)第一百一十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日對于平面應(yīng)力問題

對于平面應(yīng)變問題

(6.5-6)

(6.5-7)

第一百一十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日5.4應(yīng)變協(xié)調(diào)方程采用類似推導(dǎo)直角坐標(biāo)系應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的方法，不難從式(6.5-5)消除位移分量，得出以應(yīng)變分量表示的極坐標(biāo)中的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，即在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)體力為常量或不計(jì)體力時(shí)，平面問題的協(xié)調(diào)方程式為注意到(為不變量)，這樣在極坐標(biāo)系中，平面問題應(yīng)力形式的協(xié)調(diào)方程式為(6.5-9)

式中為極坐標(biāo)下的拉普拉斯算子，即(6.5-10)

第一百一十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日為了得到在極坐標(biāo)系中，用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，可直接由直角坐標(biāo)系應(yīng)變協(xié)調(diào)方程經(jīng)坐標(biāo)變換得到。因?yàn)?第一百一十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日注意，此處的應(yīng)力函數(shù)既是和的函數(shù)，通過坐標(biāo)變換，也是和的函數(shù)，它對和的一階及二階導(dǎo)數(shù)分別為第一百一十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(a)將式(a)相加后得幻燈片119第一百一十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日于是得極坐標(biāo)系下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為(6.5-11)

幻燈片121第一百一十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日5.5應(yīng)力分量極坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量的表達(dá)式，也可由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法求得。由圖6.10可見，當(dāng)把ox軸和oy軸分別轉(zhuǎn)到和的方向，此時(shí)，則應(yīng)力分量分別成為第一百一十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日于是，不計(jì)體力時(shí)，可由式(a)得到極坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量表達(dá)式為(6.5-12)

容易證明，當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程(6.5-2)式。由以上可知，當(dāng)體力可以不計(jì)時(shí)，用極坐標(biāo)求解平面問題，只須從應(yīng)變方程(6.5-11)解出應(yīng)力函數(shù)并使其滿足位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件

，然后由式(6.5-12)求出應(yīng)力分量，幻燈片116幻燈片167第一百一十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日5.6軸對稱問題

如果所研究的問題的物體和外載荷均對稱于經(jīng)過物體中心，且垂直于平面的軸線，此時(shí)，應(yīng)力和位移均與無關(guān)，僅與有關(guān)，這類問題稱為軸對稱問題。因此，軸對稱問題只有正應(yīng)力和，而剪應(yīng)力因?qū)ΨQ性均為零。

(1)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量(2)軸對稱問題的位移第一百二十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(1)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量將上式展開，并注意到僅是的函數(shù)，因此偏于數(shù)可用常導(dǎo)數(shù)代替，得(b)

應(yīng)力表達(dá)式(6.5-12)成為(6.5-13)

根據(jù)軸對稱問題的情況，應(yīng)力函數(shù)也應(yīng)與元關(guān)，所以式(6.5-11)可簡化為

q幻燈片117幻燈片123第一百二十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日方程式(a)是變系數(shù)常微分方程，如令，則，根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)法則，則這方程可簡化為常系數(shù)常微分方程，即上述方程的解為將代入上式可得第一百二十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(6.5-14)

由式，得應(yīng)力分量的表達(dá)式對于平面物體，則在平面內(nèi)必為各方向均勻受拉或均勻受壓狀態(tài)。如果原點(diǎn)處有孔，則問題有各種解答，這將在以后討論。由上式可知，如在坐標(biāo)原點(diǎn)沒有孔，常數(shù)和必須等于零，否則當(dāng)時(shí)應(yīng)力將變?yōu)闊o限大。因此，如在坐標(biāo)原點(diǎn)沒有孔，而且沒有體積和力，唯一可能的應(yīng)力對稱分布是均為常數(shù)。(6.5-13)幻燈片131幻燈片132第一百二十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(2)軸對稱問題的位移當(dāng)沿

方向沒有約束時(shí)，則屬平面應(yīng)力問題。此時(shí)，將應(yīng)力分量式(6.5-14)代入式(6.5-6)，并利用式，得(6.5-5)(c)

對上式中的第一式直接積分可得(d)再由式(c)的第二式解出，并將(d)式代入后，有積分左式，得第一百二十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(e)將式(d)和式(e)代入式(c)中的第三式，并分離變量，則可得此方程左邊為的函數(shù)，而右邊為的函數(shù)，因此兩邊必為同一常數(shù)，于有是(f)

式(f)中的第一式經(jīng)簡單分析可得其通解為(g)

將式(f)中的第二式先對求導(dǎo)一次，然后再積分求得(h)于是由式(f)的第二式和式(h)，可得(i)

第一百二十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日將式(g)、(h)、(i)均代入和的表達(dá)式(e)和(d)中，則得(6.5-15)

式中

可由應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件確定。在應(yīng)力軸對稱時(shí)，如果約束條件也是軸對稱的，則位移也應(yīng)該是軸對稱的。即各點(diǎn)無環(huán)向位移()，即，僅有徑向位移(6.5-16)

對于平面應(yīng)變問題，以上公式(6.5-15)和(6.5-16)也適用，僅需將式中的和分別用和即可?；脽羝?31第一百二十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日極坐標(biāo)系下的雙調(diào)和方程為有了基本方程,可以按下列步驟求解邊值問題:(1)確定體力和面力;(2)確定邊界條件:(3)選擇解題方法;(4)解方程;(5)校核(代回基本方程和邊界條件)).第一百二十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.6厚壁筒的彈塑性解第一百二十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日工程上一般把圓筒分為厚壁筒和薄壁筒。當(dāng)外徑與內(nèi)徑之比小于時(shí)可按薄壁圓筒進(jìn)行分析，當(dāng)大于1.2時(shí)則按厚壁圓筒進(jìn)行分析。厚壁圓筒是彈塑性力學(xué)問題中最簡單的問題之一，即應(yīng)力和應(yīng)變只與一個(gè)坐標(biāo)有關(guān)，而且在塑性階段考慮材料的不可壓縮性后，可以得到封閉形式的解答，本節(jié)討論的受內(nèi)外壓力作用的厚壁圓筒，屬于這類問題。此外還有整球形容器等。第一百二十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.1彈性解設(shè)圖6.11所示厚壁圓筒為理想彈塑性材料，外徑為2b，內(nèi)徑為2a，受到內(nèi)壓為，外壓為作用。并設(shè)圓筒的長度比圓筒的直徑足夠大，以致可以認(rèn)為離兩端足夠遠(yuǎn)處的應(yīng)力和應(yīng)變分布沿筒長方向沒有差異。

第一百三十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(a)將式(a)代入(6.5-14)式，顯然后兩個(gè)條件自然滿足，而由前兩式可得(b)

(c)

任一橫截面變形后仍保持平曲(如圖)。因而，應(yīng)力與應(yīng)變的分布對稱于圓筒的中心軸線。顯然這是一軸對稱問題，則應(yīng)力即為式。式中的三個(gè)常數(shù)由邊界條件確定，即(6.5-14)式(b)兩個(gè)方程不能決定三個(gè)常數(shù)

，補(bǔ)充的條件應(yīng)從位移方面去找，現(xiàn)從環(huán)向位移的表達(dá)式中的第二式(6.5-15)第一百三十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(c)

其中一項(xiàng)是多值的，但環(huán)向位移應(yīng)是單值的，即要求。于是可知，必有，從而由(b)式可得(d)

(6.6-1)幻燈片134將(d)式代入式和式第一式，則得正應(yīng)力分量和位移為(6.5-14)(6.5-15)第一百三十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日如果厚壁圓筒兩端自由，則，而任何橫截面變形時(shí)保持為平面，因此這個(gè)問題屬平面應(yīng)力問題，

由上式可見，厚壁圓筒內(nèi)任何一點(diǎn)的應(yīng)力和之和為常值。常數(shù)，其位移由(6.5-16)式確定。

當(dāng)，即在筒內(nèi)邊緣，由(6.6-1)式，有(6.6-2)第一百三十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(6.6-3)

當(dāng)，即在筒外邊緣，由式，有(6.6-1)(6.6-4)由式(6.6-4)可見，因

，所以周向受拉，徑向受壓，應(yīng)力分布如圖6.12所示。當(dāng)厚壁圓筒僅受內(nèi)壓，此時(shí)因，所以式簡化為(6.6-1)第一百三十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日圖6.12受內(nèi)壓厚壁圓筒的應(yīng)力分布第一百三十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日根據(jù)特雷斯卡屈服條件，由(6.6-4)式可得內(nèi)壁()處，

為，可求得彈性極限內(nèi)壓力)達(dá)到最大值時(shí)，即((6.6-5)

顯然，當(dāng)時(shí)，由此可知，在無限空間物體內(nèi)圓柱形孔洞受內(nèi)壓時(shí)(如壓力隧道)，其壁表面開始屈服時(shí)的壓力值與孔徑無關(guān)。如果采用米澤斯屈服條件式，注意到當(dāng)兩端全自由時(shí)，因,和由廣義虎克定律有，則可得筒內(nèi)邊緣()開始屈服時(shí)，有第一百三十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日(6.6-6a)如取，則上式成為(6.6-6b)

即按米澤斯屈服條件，彈性極限載荷為(6.6-7)

按照特雷斯卡屈服條件第一百三十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.2彈塑性解由上面的分析可知，在厚壁圓筒無外側(cè)壓力()的情況下，當(dāng)，處于彈性狀態(tài)，而當(dāng)且隨著壓力的的增加，塑性區(qū)逐漸向外擴(kuò)展，而外壁附近仍為彈性區(qū)。由于應(yīng)力組合()的軸對性，塑性區(qū)與彈性區(qū)的分界面應(yīng)為圓柱面。

時(shí)，在內(nèi)壁出現(xiàn)塑性區(qū)，筒體處于彈塑性狀態(tài)時(shí)，設(shè)筒體中彈塑性分界面半徑為。為塑性區(qū)，如圖6.13所示，即當(dāng)圖6.13彈性與塑性區(qū)域分界為彈性區(qū)。而當(dāng)?shù)谝话偃隧?，共一百七十八頁?022年，8月28日由于在塑性區(qū)內(nèi)平衡方程仍然成立，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，且因?qū)ΨQ性，平衡方程式簡化為采用屈雷斯加屈服條件，并代入上式可得(e)

積分其中C為待定常數(shù)，由筒壁內(nèi)邊緣處的邊界條件，

可得

,代入(e)式后，得(f)

當(dāng)時(shí)，并記此處的徑向應(yīng)力為，則由上式可得

(g)第一百三十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日這樣問題可化為內(nèi)半徑為()的圓筒受壓力作用的彈性問題。

于是，由式(6.6-5)有對于外層彈性區(qū)域來說，就是作用在該區(qū)域內(nèi)側(cè)的徑向壓力，因在處必須連續(xù)，故可由上式及(g)式消除，可得

(6.6-8)

第一百四十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日上式即為彈塑性交界面處應(yīng)滿足的方程，該式為超越方程，當(dāng)給定時(shí)，可用數(shù)值方法求得值。

綜上所述，塑性區(qū)()的應(yīng)力分量為

(6.6-9)

由式(6.6-9)的導(dǎo)出可知，塑性區(qū)的應(yīng)力分量是靜定的，它僅與內(nèi)壓有關(guān)，與彈性區(qū)的應(yīng)力無關(guān)。而且在塑性區(qū)內(nèi)，。第一百四十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日以上結(jié)果說明，塑性區(qū)的應(yīng)力分量和

的確定沒有使用變形條件和本構(gòu)關(guān)系，而直接由平衡方程和屈服條件獲得。這種問題在塑性力學(xué)中稱為靜定問題。靜定問題的特點(diǎn)是平衡方程和屈服條件的數(shù)目與所求未知量的數(shù)目相等，因而不使用塑性力學(xué)中的非線性本構(gòu)方程便能求出所求的未知量。在求解這類問題時(shí)，一般都采用理想彈塑性力學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算。這類問題不但求解簡便，而且在工程實(shí)際中也經(jīng)常遇到，因此很有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

第一百四十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日當(dāng)塑性區(qū)的前沿一直擴(kuò)展到圓筒的最外邊緣時(shí)，整個(gè)厚壁圓筒將全部處于塑性狀態(tài)，稱這種狀態(tài)為全塑性狀態(tài)，或極限狀態(tài)。在極限狀態(tài)前，因外側(cè)彈性區(qū)的約束，圓筒內(nèi)塑性區(qū)的變形只能與彈性變形同數(shù)量級(jí)。當(dāng)達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)，上述這種約束解除，圓筒將開始產(chǎn)生較大的塑性變形，這種狀態(tài)稱為無約束塑性流動(dòng)。極限狀態(tài)前，可認(rèn)為圓筒能正常工作，進(jìn)入極限狀態(tài)后認(rèn)為喪失正常工作的能力。所以極限狀態(tài)是一種臨界狀態(tài)，與之相應(yīng)的外力稱為極限載荷，并記為，由式(6.6-8)可得(6.6-10)

以上是根據(jù)特雷斯卡屈服條件得到的，當(dāng)采用米澤斯屈服條件時(shí)，則只要將以上有關(guān)式中的用替代即可。

第一百四十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日第一百四十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.7半無限平面體問題第一百四十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日地表面受帶狀載荷作用的問題,可以化為彈性半平面受垂直載荷作用的問題.此外,大尺寸薄板邊界受作用于板的中面,切平行于板面的外力作用時(shí)也是這類問題.不過前者為平面應(yīng)變問題,后者為平面應(yīng)力問題.我們按照平面應(yīng)力問題來討論,對于平面應(yīng)變問題,應(yīng)力分量仍然適用,位移與應(yīng)變部分只要更換一下彈性常數(shù).第一百四十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日1.楔形尖頂承受集中載荷考慮圖示的三角形截面的長柱體在頂端受載荷(單位長度上受到力為F)作用時(shí)的應(yīng)力分布.因此,各應(yīng)力分量中,r只能出現(xiàn)負(fù)一次冪.也就是說,應(yīng)力函數(shù)中r的冪次要比各應(yīng)力分量中r的冪次高兩次.假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為:采用量綱分析來確定這個(gè)問題應(yīng)力函數(shù)的形式.首先,尖劈內(nèi)任何一點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)正比例與力F的大小,并與量相關(guān)聯(lián).由于F的量綱為[力]/[長度],r的量綱為[長度],無量綱,因此,各個(gè)應(yīng)力分量表達(dá)式只能取的形式,這里的N為組成的無量綱的數(shù)量.代入極坐標(biāo)形式的雙調(diào)和方程,得Fyxoaa(a)

第一百四十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日整理得:令解得:Ax+By因此,應(yīng)力分量為:(b)

第一百四十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日本問題的邊界條件:顯然這個(gè)條件已經(jīng)滿足.為了求得常數(shù)C和D,我們考慮尖劈在任一圓柱面以上部分的平衡.由平衡條件(c)

幻燈片150第一百四十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日考慮任一圓柱面上的平衡:Fyxoaa將代入,積分得應(yīng)力分量代入,得到本問題的解答應(yīng)力分量第一百五十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日如果取,則得到如圖的受力情況,應(yīng)力對稱于x軸分布;如,這時(shí),應(yīng)力反對稱于x軸分布.FyxoaaFyxoaa第一百五十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日如果尖端受到集中力偶作用,設(shè)單位厚度內(nèi)的力偶矩為M,則通過量綱分析可知,各應(yīng)力分量中只能出現(xiàn)r的負(fù)二次冪,而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該與r無關(guān),即Myxo代入極坐標(biāo)表示的雙調(diào)和方程,得到函數(shù)f所滿足的方程.求出其通解,再求出應(yīng)力分量,最后利用邊界條件和平衡方程定出常數(shù),可以得到最終解答:第一百五十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日2.集中載荷如令,則得到在彈性半平面邊界上有集中載荷作用的問題的解答.hFryxo討論該應(yīng)力場的特征.第一百五十三頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日hFryxo討論該應(yīng)力場的特征:(3):主應(yīng)力軌跡為一組同心圓和以O(shè)為中心的放射線.(4):最大剪應(yīng)力軌跡為一組與主應(yīng)力軌跡成45度的兩組曲線.最大剪應(yīng)力軌跡為對數(shù)螺線.(1):為主應(yīng)力,大小隨著角度變化.(2):在直徑為h,圓心在Ox軸且相切于O點(diǎn)的圓上,任一點(diǎn)都有,所以正應(yīng)力均為:第一百五十四頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日3.位移計(jì)算將廣義胡克定律代入應(yīng)變位移關(guān)系式得到積分,得代入代入第一百五十五頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日簡化得到可以得到兩個(gè)方程下面考慮邊界條件第一百五十六頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日AOFhxyu=0v=0r(1)沿x軸,r為任意值時(shí)均有(2)在圖中A點(diǎn)有因此,得到各點(diǎn)位移分量為:第一百五十七頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日因此,自由邊界處的位移v為:此處,v以沿正方向?yàn)檎?BhrsyxMOF與實(shí)際情況不符合,因此取自由邊界上一點(diǎn)B作為基點(diǎn),任意點(diǎn)M

對該點(diǎn)的相對位移

為:發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí),得位移v為:對平面應(yīng)變問題,只要替換系數(shù)就可以了.第一百五十八頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日3.半無限平面體邊界上受分布載荷yabr用疊加原理推廣到自由邊有多個(gè)集中力及分布載荷作用的情況,設(shè)在自由邊有分布載荷作用,則于是有：代替應(yīng)力式中的F,第一百五十九頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日可以得到qdy

作用下各點(diǎn)的應(yīng)力．如載荷從a均勻分布到b,則任一點(diǎn)的應(yīng)力由下列公式確定：最大剪應(yīng)力為：如令，則主應(yīng)力為：時(shí)最大剪應(yīng)力達(dá)到極值．第一百六十頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日上面為彈性解．如果外載荷不斷增加，則必將在載荷達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，在介質(zhì)中的某一點(diǎn)處，開始出現(xiàn)塑性區(qū)．材料的屈服首先在a,b兩點(diǎn)發(fā)生．因?yàn)閍,b兩點(diǎn)可能因應(yīng)力集中產(chǎn)生很大的應(yīng)力而導(dǎo)致屈服．第一百六十一頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日6.8圓孔孔邊應(yīng)力集中第一百六十二頁，共一百七十八頁，2022年，8月28日從上節(jié)的分析中已經(jīng)知道，當(dāng)受載物體中有孔時(shí)，孔邊比其它部位產(chǎn)生較大的應(yīng)力。孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔邊較遠(yuǎn)處的應(yīng)力，這種力學(xué)現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中?？走厬?yīng)力集中是局部現(xiàn)象，在距孔徑幾倍遠(yuǎn)處，應(yīng)力的分