彈性力學(xué)問題

彈性力學(xué)問題第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日目錄§5.1

彈性力學(xué)基本方程§5.2

問題的提法§5.3

彈性力學(xué)問題的基本解法解的唯一性§5.4

圣文南原理§5.5

疊加原理第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日總結(jié)彈性力學(xué)基本理論；討論已知物理量、基本未知量；以及物理量之間的關(guān)系——基本方程和邊界條件?！?.1

彈性力學(xué)基本方程第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)基本方程1.平衡微分方程2.幾何方程

§5.1基本方程2第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.變形協(xié)調(diào)方程位移作為基本未知量時，變形協(xié)調(diào)方程自然滿足。§5.1基本方程3第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日本構(gòu)方程——廣義胡克定律

應(yīng)力表示

應(yīng)變表示

基本方程：平衡微分方程；幾何方程和本構(gòu)方程以及變形協(xié)調(diào)方程。§5.1基本方程4第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日邊界條件若物體表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz已知則面力邊界條件為：若物體表面的位移已知，則位移邊界條件為

若物體部分表面面力和部分表面位移已知，則為混合邊界條件§5.1基本方程5第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日

總結(jié)：彈性力學(xué)基本方程和邊界條件§5.1基本方程6第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。求解彈性力學(xué)問題時，并不需要同時求解十五個基本未知量，可以做必要的簡化。為簡化求解的難度，僅選取部分未知量作為基本未知量?！?.2

問題的提法第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題，數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問題。按照不同的邊界條件，彈性力學(xué)有三類邊值問題。第一類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz，邊界條件為面力邊界條件。第二類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量，邊界條件為位移邊界條件?！?.2問題提法2第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日第三類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界條件。以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實(shí)際工程問題。若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問題的解是唯一的。§5.2問題提法3第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日位移解法

——以位移函數(shù)作為基本未知量應(yīng)力解法

——以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量混合解法

——以部分位移和部分應(yīng)力分量作為基本未知量§5.2問題提法4第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日§5.3

彈性力學(xué)問題基本解法解的唯一性選取位移函數(shù)作為基本未知量求解的方法稱為位移解法。主要工作：

利用位移函數(shù)u,v,w表達(dá)其他未知量；推導(dǎo)位移函數(shù)描述的基本方程——位移表達(dá)的平衡微分方程第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日位移解法的基本未知量為3個位移函數(shù)基本方程為3個拉梅方程對于位移邊界條件，位移解法是十分的合適的?！?.3基本解法2第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日但是位移函數(shù)表達(dá)的面力邊界條件十分繁雜這一邊界條件幾乎不可能實(shí)現(xiàn)

§5.3基本解法3第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日總之，位移解法以位移為基本未知函數(shù)，歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，可通過幾何方程和物理方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。

§5.3基本解法4第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解的方法稱為應(yīng)力解法應(yīng)力解法的基本方程

1.平衡微分方程

2.變形協(xié)調(diào)方程§5.3基本解法5第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日應(yīng)力解法的基本未知量為6個應(yīng)力分量；基本方程為3個平衡微分方程和6個變形協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力解法適用于面力邊界條件?？偠灾?，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時，歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程組。

§5.3基本解法6第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日混合解法根據(jù)問題性質(zhì)和邊界條件，選擇不同的基本未知量求解稱為混合解法。§5.3基本解法7第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日

解的唯一性原理——彈性體受已知體力作用。在物體的邊界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知。則彈性體平衡時，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變是唯一的，對于后兩種情況，位移也是唯一的。證明1 2§5.3基本解法8第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)的基本未知量位移、應(yīng)力和應(yīng)變等在體力為常量時具有一些特性。掌握這些特性，可以幫助我們分析彈性力學(xué)問題。物理量特性體力為常量時一些物理量的特性§5.3基本解法9第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日體力為常量，體積應(yīng)力和體積應(yīng)變均滿足拉普拉斯（Laplace)方程。體積應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)為調(diào)和函數(shù)。位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量均滿足雙調(diào)和方程，位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量為雙調(diào)和函數(shù)。§5.3基本解法10第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日

局部影響原理——物體任意一個小部分作用一個平衡力系，則該平衡力系在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力分布，僅局限于力系作用的附近區(qū)域。在距離該區(qū)域相當(dāng)遠(yuǎn)處，這種影響便急劇減小。證明1 2§5.4

圣文南原理第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日解的疊加原理——

小變形線彈性條件下，作用于物體的若干組載荷產(chǎn)生的總效應(yīng)（應(yīng)力和變形等），等于每組載荷單獨(dú)作用效應(yīng)的總和?！?.5

疊加原理第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日逆解法——根據(jù)問題的性質(zhì)，確定基本未知量和相應(yīng)的基本方程，并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)。然后在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，其表面將受什么樣的面力作用或者將有什么樣的位移?！?.5疊加原理2第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日半逆解法——對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征和變形特點(diǎn)，或已知簡單結(jié)論，如材料力學(xué)解，假設(shè)部分應(yīng)力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。§5.5疊加原理3