初中數(shù)學(xué)滬科版九年級(jí)上冊(cè)第22章　相似形2　相似三角形的性質(zhì)(a)

相似三角形的性質(zhì)第1課時(shí)相似三角形性質(zhì)定理1、2及其應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】理解并掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(高、中線、角平分線)之間的關(guān)系,理解并掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比,掌握定理的證明方法,并能靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì),提高分析和推理能力.【過(guò)程與方法】在對(duì)性質(zhì)定理的探究中,學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—論證—?dú)w納”的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究、合作交流的習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度,并在其中體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、勇于探索、勤于思考的數(shù)學(xué)品質(zhì),提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】1.在學(xué)習(xí)和探討的過(guò)程中,體驗(yàn)特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律.2.通過(guò)學(xué)生之間的合作交流使學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅,樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.重點(diǎn)難點(diǎn)【重點(diǎn)】相似三角形性質(zhì)定理的探究及應(yīng)用.【難點(diǎn)】綜合應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定定理探索相似三角形中對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系,理解并掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)回顧師:相似三角形的判定方法有哪些?學(xué)生回答:師:相似三角形有哪些性質(zhì)?生:相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.師:三角形有哪些相關(guān)的線段?生:中線、高和角平分線.二、共同探究,獲取新知教師多媒體課件出示:已知:如圖,△ABC∽△A'B'C',它們的相似比為k,AD、A'D'是對(duì)應(yīng)高.求證:==k.師:這個(gè)題目中已知了哪些條件?生:△ABC和△A'B'C'相似,這兩個(gè)三角形的相似比是k,AD、A'D'分別是它們的高.師:我們要證明的是什么?生:它們的高的比等于它們對(duì)應(yīng)邊的比,等于這兩個(gè)三角形的相似比.師:你是怎樣證明的呢?學(xué)生思考,交流.生:證明△ABD和△A'B'D'相似,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=.師:你怎樣證明△ABD和△A'B'D'相似呢?學(xué)生思考后回答:因?yàn)椤鰽BC和△A'B'C'相似,由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,所以∠B=∠B',∠ADB=∠A'D'B'=90°.根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△ABD和△A'B'D'相似.師:很好!現(xiàn)在請(qǐng)大家寫(xiě)出證明過(guò)程,然后與課本上的對(duì)照,加以修正.學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程.證明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.∵∠BDA=∠B'D'A'=90°,∴Rt△ABD∽R(shí)t△A'B'D',∴==k.師:現(xiàn)在我請(qǐng)兩位同學(xué)分別板演下面的兩道練習(xí)題,其余同學(xué)在下面做.1.已知:如圖,△ABC∽△A'B'C',它們的相似比為k,AD、A'D'是對(duì)應(yīng)的中線.求證:==k.證明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',==k.又∵AD和A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的中線,∴BD=BC,B'D'=B'C',===k,∴△ABD和△A'B'D'相似(兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似),∴==k.2.已知:如圖,△ABC∽△A'B'C',它們的相似比為k,AD、A'D'分別是∠BAC和∠B'A'C'的平分線.求證:==k.證明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠A=∠A'.又∵AD和A'D'分別是∠BAC和∠B'A'C'的平分線,∴∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',∠BAD=∠B'A'D',∴△BAD∽△B'A'D'(兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似),∴==k.師:于是我們就得到了相似三角形的一個(gè)性質(zhì)定理.教師板書(shū):定理相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.探究:如果兩個(gè)三角形相似,它們的周長(zhǎng)之間是什么關(guān)系?如果是兩個(gè)相似多邊形呢?學(xué)生小組自由討論、交流,達(dá)成共識(shí).讓學(xué)生回答結(jié)果,給出評(píng)價(jià).設(shè)△ABC∽△A1B1C1,相似比為k,那么===k?AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1?==k.由此我們可以得到:相似三角形的性質(zhì)2:相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.用類似的方法,還可以得出:相似多邊形的性質(zhì):相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比.三、例題講解,應(yīng)用新知【例1】如圖,AD是△ABC的高,AD=h,點(diǎn)R在AC邊上,點(diǎn)S在AB邊上,SR⊥AD,垂足為E.當(dāng)SR=BC時(shí),求DE的長(zhǎng).如果SR=BC呢?解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴SR∥BC,∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C,∴△ASR∽△ABC(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似),∴=(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比),即=.當(dāng)SR=BC時(shí),得=,解得DE=h.當(dāng)SR=BC時(shí),得=,解得DE=h.【例2】如圖,一塊鐵皮呈銳角三角形,它的邊BC=80cm,高AD=60cm.要把它加工成矩形零件使矩形的長(zhǎng)、寬之比為2∶1,并且矩形長(zhǎng)的一邊位于邊BC上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上.求這個(gè)矩形零件的長(zhǎng)與寬.師:請(qǐng)同學(xué)們思考一下這個(gè)問(wèn)題.學(xué)生思考,計(jì)算,交流.師:我們要怎樣用輔助線呢?教師找一生回答.生:加工成的矩形邊SR在BC上,頂點(diǎn)P、Q分別在AB、AC上,把△ABC的高AD與PQ的交點(diǎn)記為E.教師作圖.師:作出了輔助線后該怎么做呢?我們都已知了哪些條件?生:BC的長(zhǎng)、AD的長(zhǎng)和矩形零件的長(zhǎng)、寬比.師:你打算怎樣由這些條件求出這個(gè)零件的長(zhǎng)和寬呢?生:因?yàn)镻Q∥BC,所以△APQ和△ABC相似,然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成正比例得到一個(gè)等量關(guān)系,設(shè)矩形零件的寬為xcm,長(zhǎng)就為2xcm,代入那個(gè)等量關(guān)系式,就得到了關(guān)于x的一個(gè)方程,解方程即可求出x的值,即矩形的寬,然后根據(jù)長(zhǎng)寬的比求出零件的長(zhǎng).師:很好!你的思路很清晰.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出求解過(guò)程.解:如圖,矩形PQRS為加工后的矩形零件,邊SR在邊BC上,頂點(diǎn)P、Q分別在邊AB、AC上,△ABC的高AD交PQ于點(diǎn)E.設(shè)PS為xcm,則PQ為2xcm.∵PQ∥BC.∴∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB,∴△APQ∽△ABC.∴=,即=.解方程,得x=24,2x=48.答:這個(gè)矩形零件的邊長(zhǎng)分別是48cm和24cm.例3如圖,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周長(zhǎng)是24,求△DEF的周長(zhǎng).解:△ABC和△DEF中,∵AB=2DE,AC=2DF,∴==.又∠A=∠D,∴△ABC∽△DEF,相似比為.∴△DEF的周長(zhǎng)=×24=12,四、課堂小結(jié)師:今天你又學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?學(xué)生回答.教學(xué)反思在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中,我先讓學(xué)生回顧了相似三角形的性質(zhì)即對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比為后面的證明做了鋪墊.在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上用類比化歸的思想去探究新知,讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之