有限差分法(新版)

3.7有限差分法

本節(jié)內(nèi)容3.7.0有限差分法的基本思想

3.7.1有限差分方程的推導(dǎo)3.7.2差分方程的求解方法13.7.0有限差分法的基本思想

靜態(tài)場(chǎng)問題

分布型問題：已知場(chǎng)源，求場(chǎng)或求位。邊值問題

解析法數(shù)值法分離變量法（直接法）鏡像法（間接法）有限差分法有限元法矩量法邊界元法2

解析法特點(diǎn)：結(jié)果是電磁場(chǎng)在空間分布的解析表達(dá)式（精確解）

數(shù)值法特點(diǎn)：實(shí)際問題中由于邊界過于復(fù)雜，無法用解析法求解，因此只能用數(shù)值計(jì)算方法；其所得結(jié)果為電磁場(chǎng)在空間離散點(diǎn)上的數(shù)值的集合（近似解）

有限差分法的基本思想將計(jì)算場(chǎng)域劃分成網(wǎng)格，把求解場(chǎng)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布用求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散數(shù)值解來代替；即用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的差分方程近似代替場(chǎng)域內(nèi)的偏微分方程來求解。33.7.1有限差分方程的推導(dǎo)

一、問題引出

求解二維空間內(nèi)，電位函數(shù)的空間分布以第一類邊值問題為例（3.7.1）4正方形網(wǎng)格剖分法二、網(wǎng)格劃分節(jié)點(diǎn)：步距：用表示節(jié)點(diǎn)處的電位值5三、差分方程推導(dǎo)利用二元函數(shù)的泰勒展開公式，可將于節(jié)點(diǎn)直接相鄰的節(jié)點(diǎn)上的電位值表示為：（3.7.3）（3.7.4）（3.7.5）（3.7.6）6將式（3.7.3）與式（3.7.4）相加，并略去h2的更高階項(xiàng)：（3.7.7）（3.7.8）（3.7.9）將式（3.7.5）與式（3.7.6）相加，并略去h2的更高階項(xiàng)：將以上兩式代入（3.7.1）：可得：節(jié)點(diǎn)（xi,yj）處的差分方程7四、差分方程意義83.7.2差分方程的求解1.簡單迭代法先對(duì)場(chǎng)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)賦予初始值，這里上標(biāo)（0）表示第0次近似值，即初始值。然后再按照：（3.7.10）進(jìn)行反復(fù)迭代。若當(dāng)?shù)贜次迭代結(jié)束后，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)相鄰兩次迭代值之間的絕對(duì)誤差小于事先給定的精度，則迭代停止。（3.7.11）9三點(diǎn)注意：

初始值的賦予是任意的；賦予初始值后，請(qǐng)按“從左到右、從下到上”的固定順序依次計(jì)算各節(jié)點(diǎn)值；

當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)都算完一遍后，再用它們的新值代替舊值，即完成一次迭代。101