語言與核密估計(jì)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)詳解演示文稿

語言與核密度估計(jì)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)詳解演示文稿第一頁，共二十四頁。優(yōu)選語言與核密度估計(jì)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)第二頁，共二十四頁。

核密度估計(jì)的原理其實(shí)是很簡單的。在我們對某一事物的概率分布的情況下。如果某一個(gè)數(shù)在觀察中出現(xiàn)了，我們可以認(rèn)為這個(gè)數(shù)的概率密度很大，和這個(gè)數(shù)比較近的數(shù)的概率密度也會(huì)比較大，而那些離這個(gè)數(shù)遠(yuǎn)的數(shù)的概率密度會(huì)比較小。基于這種想法，針對觀察中的第一個(gè)數(shù)，我們都可以f(x-xi)去擬合我們想象中的那個(gè)遠(yuǎn)小近大概率密度。當(dāng)然其實(shí)也可以用其他對稱的函數(shù)。針對每一個(gè)觀察中出現(xiàn)的數(shù)擬合出多個(gè)概率密度分布函數(shù)之后，取平均。如果某些數(shù)是比較重要，某些數(shù)反之，則可以取加權(quán)平均。第三頁，共二十四頁。

但是核密度的估計(jì)并不是，也不能夠找到真正的分布函數(shù)。我們可以舉一個(gè)極端的例子：在R中輸入：plot(density(rep(0,

1000)))

可以看到它得到了正態(tài)分布的曲線，但實(shí)際上呢？從數(shù)據(jù)上判斷，它更有可能是一個(gè)退化的單點(diǎn)分布。第四頁，共二十四頁。但是這并不意味著核密度估計(jì)是不可取的，至少他可以解決許多模擬中存在的異方差問題。比如說我們要估計(jì)一下下面的一組數(shù)據(jù)：set.seed(10)

dat<c(rgamma(300,shape=2,scale=2),rgamma(100,shape=10,scale=2))

第五頁，共二十四頁。第六頁，共二十四頁?？梢钥闯鏊怯?00個(gè)服從gamma（2,2）與100個(gè)gamma（10,2）的隨機(jī)數(shù)構(gòu)成的，他用參數(shù)統(tǒng)計(jì)的辦法是沒有辦法得到一個(gè)好的估計(jì)的。那么我們嘗試使用核密度估計(jì)：plot(density(dat),ylim=c(0,0.2))

第七頁，共二十四頁。將利用正態(tài)核密度與標(biāo)準(zhǔn)密度函數(shù)作對比dfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){

a*dgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1-a)*dgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)}

pfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){

a*pgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1-a)*pgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)}

curve(dfn(x,0.75,2,10,2),add=T,col="red")

第八頁，共二十四頁。得到下圖：（紅色的曲線為真實(shí)密度曲線）第九頁，共二十四頁。可以看出核密度與真實(shí)密度相比，得到大致的估計(jì)是不成問題的。至少趨勢是得到了的。如果換用gamma分布的核效果無疑會(huì)更好，但是遺憾的是r中并沒有提供那么多的核供我們挑選（其實(shí)我們知道核的選擇遠(yuǎn)沒有窗寬的選擇來得重要），所以也無需介懷。R中提供的核：kernel=c("gaussian","epanechnikov","rectangular",

"triangular","biweight","cosine","optcosine")。第十頁，共二十四頁。我們先來看看窗寬的選擇對核密度估計(jì)的影響：dfn1<-function(x){

0.5*dnorm(x,3,1)+0.5*dnorm(x,-3,1)}

par(mfrow=c(2,2))

curve(dfn1(x),from=-6,to=6)

data<-c(rnorm(200,3,1),rnorm(200,-3,1))

plot(density(data,bw=8))

plot(density(data,bw=0.8))

plot(density(data,bw=0.08))

第十一頁，共二十四頁。得到下圖，我們可以清楚的看到帶寬為0.8恰好合適，其余的不是擬合不足便是過擬合。第十二頁，共二十四頁。第十三頁，共二十四頁。窗寬究竟該如何選擇呢？我們這里不加證明的給出最佳窗寬選擇公式：

第十四頁，共二十四頁。(這個(gè)基于積分均方誤差最小的角度得到的)這里介紹兩個(gè)可操作的窗寬估計(jì)辦法：(這兩種方法都比較容易導(dǎo)致過分光滑)1、

Silverman大拇指法則這里使用R(phi’’)/sigma^5估計(jì)R（f’’），phi代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，得到h的表達(dá)式：h=(4/(3n))^(*1/5)*sigma2、

極大光滑原則h=3*(R(K)/(35n))^(1/5)*sigma當(dāng)然也有比較麻煩的窗寬估計(jì)辦法，比如缺一交叉驗(yàn)證，插入法等，可以參閱《computationalstatistics》一書第十五頁，共二十四頁。我們用上面的兩種辦法得到的窗寬是多少，他的核密度估計(jì)效果好嗎？我們還是以上面的混合正態(tài)數(shù)據(jù)為例來看看效果。使用大拇指法則，將數(shù)據(jù)n=400,sigma=3.030658,帶入公式，h=0.9685291使用極大光滑原則，假設(shè)K為正態(tài)核，R(K)=1/(sqrt(2*pi))，h=1.121023可以看出他們都比我們認(rèn)為的h=0.8要大一些，作圖如下：第十六頁，共二十四頁。plot(density(data,bw=0.9685))

plot(density(data,bw=1.1210))

第十七頁，共二十四頁。由我們給出的以Gauss核為例做核密度估計(jì)用Gauss核做核密度估計(jì)的R程序如下（還是使用我們的混合正態(tài)密度的例子）：第十八頁，共二十四頁。ker.density=function(x,h){

x=sort(x)

n=length(x);s=0;t=0;y=0

for(i

in

2:n)

s[i]=0

for(i

in

1:n){

for(j

in

1:n)

s[i]=s[i]+exp(-((x[i]-x[j])^2)/(2*h*h))

t[i]=s[i]

}

for(i

in

1:n)

y[i]=t[i]/(n*h*sqrt(2*pi))

z=complex(re=x,im=y)

hist(x,freq=FALSE)

lines(z)

}

ker.density(data,0.8)

第十九頁，共二十四頁。作圖如下：第二十頁，共二十四頁。最后說一個(gè)R的內(nèi)置函數(shù)density（）。其實(shí)我覺得如果不是為了簡要介紹核密度估計(jì)的一些常識(shí)我們完全可以只學(xué)會(huì)這個(gè)函數(shù)先看看函數(shù)的基本用法：density(x,...)##DefaultS3method:第二十一頁，共二十四頁。density(x,bw="nrd0",adjust=1,

kernel=c("gaussian","epanechnikov","rectangular",

"triangular","biweight",

"cosine","optcosine"),

weights=NULL,window=kernel,width,

give.Rkern=FALSE,

n=512,from,to,cut=3,na.rm=FALSE,...)

第二十二頁，共二十四頁。對重要參數(shù)做出較為詳細(xì)的說明：X:我們要進(jìn)行核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)Bw:窗寬，這里可以由我們自己制定，也可以使用默認(rèn)的辦法nrd0:BandwidthselectorsforGaussiankernels。我們還可以使用bw.SJ(x,nb=1000,lower=0.1*hmax,upper=hmax,

method=c("ste","dpi"),tol=0.1*lower)，這里的method=”dpi”就是前面提到過的插入