揭秘若干高考數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)史背景與速解決竅

標(biāo)題、作者揭秘若干高考數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)史背景與速解訣竅

甘大旺2014.3.8.大連湖北省第五批特級(jí)教師浙江省寧波市北侖區(qū)明港中學(xué)浙大《高中數(shù)學(xué)解題專家》撰者1

因?yàn)榇筮B理工大學(xué)的徐利治教授是我國(guó)數(shù)學(xué)方法論研究的首創(chuàng)者，所以大連這座美麗、海濱、開(kāi)放城市也是我國(guó)數(shù)學(xué)方法論研究的發(fā)源地。為此，大連的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該感到自豪！我也很羨慕！

教研員趙文蓮老師、特級(jí)教師金鐘植老師邀請(qǐng)我來(lái)大連作一個(gè)講座，給我提供向大家學(xué)習(xí)與交流的機(jī)會(huì)，讓我感受我國(guó)數(shù)學(xué)方法論研究發(fā)源地的學(xué)術(shù)氛圍，也促使著我把原先在寧波大學(xué)舉辦的高中數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)講稿進(jìn)行翻新和完善（有時(shí)人在外力中更容易進(jìn)步），所以我對(duì)趙文蓮老師、金鐘植老師和各位老師表示感謝！

0.序言2

浙江省嘉興一中特級(jí)教師沈新權(quán)已經(jīng)談到我國(guó)高考數(shù)學(xué)題四大來(lái)源：源自教材、陳題改編、高數(shù)下放、競(jìng)賽背景。讀后，我受益匪淺.

作為高考數(shù)學(xué)題研究的延續(xù)，這里，我芻談若干高考數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)史背景，期望對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)高考備考、豐富專業(yè)涵養(yǎng)能發(fā)揮出拋磚引玉的作用。我本人的觀點(diǎn)不成熟、有偏差，請(qǐng)指正！

1.揭秘若干高考數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)史背景

鏈接31.揭秘若干高考數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)史背景

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)生、發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過(guò)程，而且還探索影響這種過(guò)程的各種因素，以及數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展對(duì)人類文明帶來(lái)的影響。數(shù)學(xué)進(jìn)展的累積性、延續(xù)性不同于其它學(xué)科進(jìn)展的顛覆性、割裂性（例如物理學(xué)的“以太說(shuō)”、化學(xué)的“燃素說(shuō)”、天文學(xué)的“地心說(shuō)”、醫(yī)學(xué)的“抗生素”等），這說(shuō)明學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)史尤其重要。

41.揭秘若干高考數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)史背景

人們研究數(shù)學(xué)史可以研究數(shù)學(xué)思想、方法、理論、概念的演變史；可以研究數(shù)學(xué)科學(xué)與其它學(xué)科、人類社會(huì)的互動(dòng)關(guān)系；可以研究數(shù)學(xué)思想的傳播與交流；可以研究數(shù)學(xué)家的生平；等等。國(guó)際數(shù)學(xué)組織HPM的研究方向是數(shù)學(xué)史及其與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系。作為高中數(shù)學(xué)教師，我們不但可以把數(shù)學(xué)史研究用于編寫數(shù)學(xué)校本教材、改進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，而且更應(yīng)該關(guān)注高考數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)史背景（命題背景、解題背景）。51.1將軍飲馬唐朝詩(shī)人李欣(690--751,四川三臺(tái))的詩(shī)《古從軍行》的開(kāi)頭兩句是：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河.”例1（2013年湖南省高考題）在等腰直角三角形……例2(2013年重慶市高考題)已知兩個(gè)定圓……

鏈接61.2韋達(dá)定理法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Viete，1540-1603）早年在巴黎普瓦捷大學(xué)學(xué)習(xí)法律，后任律師和法官，主業(yè)巔峰時(shí)當(dāng)上法國(guó)最高法院律師，業(yè)余鉆研數(shù)學(xué)，出版《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定理》（1579）、《分析方法入門》（1591）、《各種數(shù)學(xué)解答》（1593）、《論方程的識(shí)別與論證》（1615）、《斜截面》（1615）等數(shù)學(xué)專著，一直到殂后43年的1646年經(jīng)晚輩在荷蘭出版《韋達(dá)全集》后才得到數(shù)學(xué)界的佩服，被公認(rèn)為數(shù)學(xué)符號(hào)化之父。《論方程的識(shí)別與論證》記載了被后人所稱謂的“韋達(dá)定理”。例1(2012年山東省高考理科數(shù)學(xué)試卷的最后一道選擇題）設(shè)函數(shù)……例2（2010年江西省高考題）如果函數(shù)……例3（2008年復(fù)旦大學(xué)自主招生題）設(shè)……是三次方程的三個(gè)根，則行列式……鏈接71.3斐波拉契數(shù)列意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L.Fibona-cci，約1170-1250）在1228年修訂的《算盤全書(shū)》中保留了兔子問(wèn)題：“如果每對(duì)新生的雌雄兔子在第3個(gè)月開(kāi)始每月又能生一對(duì)雌雄兔子，假設(shè)不發(fā)生死亡，那么由一對(duì)初生的雌雄兔子繁殖到50個(gè)月后共有多少對(duì)雌雄兔子？”例1(2012年江西省高考題)觀察下列各式……例2（2009年福建省高考題）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位……鏈接81.4費(fèi)馬點(diǎn)

法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat，1601-1665）出生于法國(guó)南部圖盧茲的一個(gè)皮革商的富貴家庭，從小喜愛(ài)瀏覽多種圖書(shū)，在圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律，畢業(yè)后返回家鄉(xiāng)圖盧茲當(dāng)律師、法官和議員，主業(yè)巔峰時(shí)擔(dān)任法國(guó)大理院法庭法官和天主教聯(lián)盟主席。

雖然鉆研數(shù)學(xué)只是費(fèi)馬的業(yè)余愛(ài)好，但費(fèi)馬在數(shù)學(xué)上的總體造詣卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)同時(shí)代法國(guó)的職業(yè)數(shù)學(xué)家，后世被數(shù)學(xué)界稱為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。在平面幾何中，把到任意的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)F。當(dāng)該三角形的最大內(nèi)角小于120度時(shí)；否則，費(fèi)馬點(diǎn)F重合于最大內(nèi)角的頂點(diǎn)。

例1（2008年江蘇省高考題）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處．……例2(第14屆北京市高中數(shù)學(xué)應(yīng)用初賽題)……ABCDOP1.491.5卡爾達(dá)諾的旋輪問(wèn)題

意大利科學(xué)家、醫(yī)學(xué)博士卡爾達(dá)諾(G.Cardano，1501-1576)出生于一個(gè)法官的家庭，上大學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)取得醫(yī)學(xué)博士學(xué)位，主業(yè)從醫(yī)，33歲時(shí)兼任數(shù)學(xué)教師，42歲又到帕維亞大學(xué)任醫(yī)學(xué)教授并逐漸成為聞名全歐的醫(yī)生，他是醫(yī)學(xué)、哲學(xué)、宗教、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)、占星預(yù)測(cè)、棋類、賭博的雜家和玩家。

卡爾達(dá)諾最重要的數(shù)學(xué)著作是1545年出版的《大術(shù)》，其中包含了一元三次方程、四次方程的求根公式。此外，他提出了著名的旋輪問(wèn)題：“一個(gè)圓盤沿著半徑為其兩倍的另一個(gè)圓盤的內(nèi)緣相切而旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)小圓盤上一個(gè)定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)橢圓”。例1（2011年江西省高考題）一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，……例2（2012年山東省高考題）如圖，一單位圓的圓心的初始位置在……1.5101.6伯努利的裝錯(cuò)信箋

瑞士數(shù)學(xué)家尼?伯努利(DanilBemoulli，1700-1782)提出了裝錯(cuò)信箋問(wèn)題——某人寫了n封不同的信，并在n個(gè)信封上寫下對(duì)應(yīng)的地址，問(wèn)把所有信箋全部裝錯(cuò)的方法共有多少種？

后來(lái)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler，1707-1783)運(yùn)用遞推數(shù)列獨(dú)立地解決了這道組合妙題。例6（2010年浙江省高考題）有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、……例7(2012年全國(guó)高考題)將字母排成三行兩列，要求每行的字母……1.6111.7從阿氏圓，到極點(diǎn)、極線

阿波羅尼(奧)斯(P.Apollonius，約前262-約

前190)是希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，經(jīng)典巨著《圓錐曲線論》領(lǐng)先1800年。目前比較流行的阿波羅尼(奧)斯圓是“與兩定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)(不等于1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓”。

例1(2008年江蘇省高考題)滿足AB=2，AC=……三角形ABC面積的最大值是

。例2(2013年遼寧省高考題19（2）)如圖，拋物線……求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程。

1.7121.8

琴生不等式

丹麥工程師和業(yè)余數(shù)學(xué)家琴生(Jensen，1859-1925）出生于丹麥，跟隨當(dāng)房地產(chǎn)經(jīng)理的父親在瑞典度過(guò)了大部分童年時(shí)光，17歲回國(guó)中斷了在哥本哈根科技學(xué)院的學(xué)業(yè)，24歲成為一家電話公司的工程師，31歲成為技術(shù)主管，沒(méi)有專修數(shù)學(xué)和講授數(shù)學(xué)的歷練，自學(xué)高等數(shù)學(xué)，業(yè)余研究數(shù)學(xué)。著名的琴生不等式不但在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常被運(yùn)用，而且在高考數(shù)學(xué)命題中也常常若隱若現(xiàn)。例1（2011年我國(guó)內(nèi)地招收僑港澳臺(tái)學(xué)生入學(xué)試題）設(shè)三角形ABC為銳角三角形……例2（2011年湖北省高考末題）設(shè)……1.8131.9拉格朗日中值定理

拉格朗日（Lagrange，1736-1813）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)，出生于生于意大利，幼年家境衰落，17歲就喜愛(ài)研讀微積分，19歲時(shí)當(dāng)上都靈皇家炮兵學(xué)院教授，20歲受數(shù)學(xué)家歐（1707-1783）的舉薦被任命為德國(guó)皇家普魯士科學(xué)院通訊院士，30歲受德國(guó)大帝的邀請(qǐng)前往柏林擔(dān)任普魯士科學(xué)院數(shù)學(xué)部主任，51歲以后受法國(guó)國(guó)王的邀請(qǐng)定居巴黎，59歲當(dāng)選法蘭西研究院數(shù)理委員會(huì)主席。例1（2009年遼寧省高考題21）已知函數(shù)…例2（2010年遼寧省高考題21）已知函數(shù)…1.9141.10

(揭秘若干數(shù)學(xué)高考題的數(shù)學(xué)史背景)其它

古希臘的形數(shù)、柯西函數(shù)方程、楊輝三角、阿貝爾求和、歐拉線、蝴蝶、雪花曲線、幻方、阿基米德三角形、四色、七橋、帕斯卡賭金分配、正整數(shù)的二進(jìn)制,級(jí)數(shù)，

彭色列閉形定理、調(diào)和點(diǎn)列，交比，包絡(luò)、高階等差數(shù)列，羨除，…。152.揭秘若干數(shù)學(xué)高考題的速解訣竅

北京師大《數(shù)學(xué)通報(bào)》1997年第2期發(fā)表了我的論文“通法與特技的相對(duì)性及啟示”，受到專家的好評(píng)，這一年我38歲被破格評(píng)為湖北省第5批特級(jí)教師與這篇代表作密切關(guān)聯(lián)。寫這篇學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴論文的初衷只是要鼓勵(lì)數(shù)學(xué)教師樂(lè)于潛心研究解題方法，卻想不到引起了全國(guó)不少中學(xué)數(shù)學(xué)教師的共鳴，后來(lái)者居上，比如東北的特級(jí)教師金鐘植對(duì)數(shù)學(xué)解題通法與特技進(jìn)行了更加系統(tǒng)的研究(/view/2eb84c17eff9aef8941e06a5.html),新穎地提出了通法的概括性、隱蔽性、發(fā)展性、層次性等等特點(diǎn).

在數(shù)學(xué)解題中，通法與特技（妙法），孰優(yōu)孰劣，目前再很少有人去辯論了。再?gòu)?qiáng)調(diào)，無(wú)論是通法還是特技（妙法），易學(xué)且省時(shí)的解法就是好法。2.0162.揭秘若干數(shù)學(xué)高考題的速解訣竅2001年秋季我在陜西師大接受第3期高中數(shù)學(xué)國(guó)家級(jí)骨干教師培訓(xùn)班（兼任學(xué)習(xí)委員），聆聽(tīng)到裘宗滬教授的專題報(bào)告（時(shí)任教務(wù)長(zhǎng)的羅增儒教授主持報(bào)告會(huì)），裘教授直白地說(shuō)道：“熟能生巧”幾乎是數(shù)學(xué)教育的全部，‥‥‥。裘宗滬教授的這種說(shuō)法務(wù)實(shí)求真，與華羅庚先生提倡的“勤能補(bǔ)拙”是一脈相承的。在高考數(shù)學(xué)備考中，教師引導(dǎo)學(xué)生熟悉解題的若干速解技巧、多熟悉幾套解題妙招，學(xué)生就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增加樂(lè)趣、在數(shù)學(xué)高考中增加勝算。172.1函數(shù)圖象的軸對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱

2012年4月，上海市七寶中學(xué)特級(jí)教師文衛(wèi)星委托我為他點(diǎn)評(píng)復(fù)習(xí)課“函數(shù)圖像的對(duì)稱性、周期性”的教學(xué)實(shí)錄,文衛(wèi)星老師的探究成果與在座的多位教師的探究心得可能不謀而合。思考：若函數(shù)圖象有兩條對(duì)稱軸，則周期如何？……

2.1182.2指數(shù)、對(duì)數(shù)的分隔不等式2.22.2192.3不動(dòng)點(diǎn)2.3202.4平面的截距式法向量2.4212.5巧求平均數(shù)、方差鏈接222.6三角法2.6232.7平面幾何幫大忙鏈接242.8居高臨下2.8252.9先猜后證2.9262.10(揭秘若干數(shù)學(xué)高考題的速解訣竅)其它

等積（面積或體積）法，解析法，直觀感悟、分類、分析，逆向思維，經(jīng)典特例，極限化，整體換元，歸納概括，尋找引理（復(fù)合函數(shù)的反函數(shù)、“對(duì)勾”函數(shù)性質(zhì)、空間三直角折線、三角形內(nèi)的向量等式、共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)、圓的根軸、等等），質(zhì)疑辟誤…。

2.1027結(jié)語(yǔ)3.028思考、調(diào)研題

某董事長(zhǎng)的司機(jī)和保鏢兩人某次閑暇時(shí)擲硬幣猜贏，商約先擲出4次正面就歸司機(jī)贏得全部網(wǎng)絡(luò)游戲幣3000元，反之先擲出4次反面就歸保鏢贏得這些游戲幣，擲硬幣最少4次、最多7次就可見(jiàn)分曉。正當(dāng)他們擲出3次正面、2次反面時(shí)，董事長(zhǎng)要這兩人陪同去接見(jiàn)外商，兩人受到“再犯就開(kāi)除”的嚴(yán)厲警告。投擲過(guò)程不能了結(jié)，就委