高數(shù)上-d3-5函數(shù)的極值與最值

1其中：介于與之間1.按的冪展開的n階泰勒公式.2.麥克勞林公式請記住以下兩個公式：21.函數(shù)單調(diào)性判別2.曲線凹凸的判別定理2：3.拐點的定義:注：拐點是曲線上的點,是一對有序的實數(shù).溫故知新在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減定理1：3①求的連續(xù)區(qū)間，②求③求導數(shù)等于零的點和不可導點，④用以上的點分割定義區(qū)間,列表判斷.4.求的單調(diào)區(qū)間(判斷單調(diào)性)的步驟:化為積商，單調(diào)性的應(yīng)用有:(1)可以確定某些方程實根的個數(shù).(2)證明不等式.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；求出求的根及不存在的根；列表判斷5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點的步驟如下：凹凸性的應(yīng)用有:(1)證明不等式,(2)求拐點.4說明1:說明2:說明3:求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；求出求的根及不存在的根；列表判斷說明4：求曲線的凹凸區(qū)間及拐點的步驟如下：5證：求拐點方法2:P154T15求拐點方法1:6例解：★曲線的彎曲方向——凹凸性;★改變彎曲方向的點——拐點;凹凸性的判定.求拐點7二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值

第三章8定義:(1)(2)極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點.問：極值點是連續(xù)點嗎？一、函數(shù)的極值及其求法xyo.。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.9注意：極值與最值的區(qū)別：是對整個區(qū)間而言，絕對的、極值：最值：是對某個點的鄰域而言、可以不是唯一的.③極大值不一定都大于極小值.如何求極值？觀察圖形知：可導函數(shù)極值點的導數(shù)是零.是整體的、唯一的.是局部的、相對的、②最值可在區(qū)間端點處取得,而極值只能在區(qū)間的內(nèi)點處取得.10定理1(必要條件)(費馬定理)取得極值注意：1)可導函數(shù)的極值點駐點如：即：｛可導函數(shù)的極值點｝｛駐點｝2)在點連續(xù)但不可導，也可能是極值點.如：卻是極小值點.也不是極值點.3)極值點的可疑點：（在定義域內(nèi)部的）駐點,不可導點.即：｛極值點｝｛駐點,不可導點｝問：如何能快速的說明一個函數(shù)有沒有極值？xyo11定理2

(第一充分條件，極值第一判別法)內(nèi)有導數(shù),(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,(3)“左右符號相同”,左正右負極大左負右正極小左右同號無極值12說明：1)定理中的條件若不連續(xù),即使變號，也未必是極值點.2)該定理適用于是駐點或不可導的連續(xù)點.xyo.。很重要，3)求極值的步驟:(1)求定義區(qū)間，求導數(shù)(2)求駐點以及不可導的點；(3)檢查在駐點及不可導點左右的符號，判斷出極值點；（最好列表）(4)求極值.13解：例1.求函數(shù)的極值.極大值不可導故極大值為：極小值為：極小值14例2.

求函數(shù)的極值.解:1)2)令得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為無導數(shù)不存在的點15定理3(極值第二判別法)二階導數(shù),且證：同理可證(2).由第一判別法知：注意：1.第二充分條件適用于:駐點應(yīng)用第一判別法判別.16例3.

求函數(shù)解:1)2)令得3)計算是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為17例4.

求函數(shù)解:1)求定義域及導數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別故需用第一判別法判別.18試問為何值時,極值？解:

由題意應(yīng)有又取得極大值為例5.并求此極值.它是極大值還是極小值？練習：提示：P163T319觀察：端點的函數(shù)值；駐點的函數(shù)值；不可導點的函數(shù)值.來自于二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法★(2)20例1.

求函數(shù)解:1)求導數(shù)2)求極值可疑點不可導點3)計算是最大點，其最大值為是最小點，其最小值為21例2.

求函數(shù)解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;取最大值20.不可導點為說明:與最值點相同,因此也由于令可通過求最值點.思考：22結(jié)論：思考：23★特別:

當大(小)值就是最大(小)值.常用于解決實際問題

求

如果在區(qū)間內(nèi)可導且只有一個極值點,則這個極xyoabxyabo

對應(yīng)用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.24例1.

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當租金定為每月180元時,公寓會全部租出去.當租金每月增加10元時,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費.試問房租定為多少可獲得最大收入？解：設(shè)房租為每月每月總收入為租出去的房子有（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高.最大收入為三、應(yīng)用舉例25實際問題求最值的步驟:(1)建立目標函數(shù);(2)求最值;注：對于實際問題，大(小)值一定存在，那么可以不必討論是否為極值,就可斷定該點就是若在一定區(qū)間內(nèi)有唯一駐點,且知最而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得，最大(小)值點.26例2.解：如圖,27例3.求數(shù)列的最大項.證:求導得列表判別:因此在處也取最大值.又因內(nèi)只有唯一的極大點P183T1428內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導數(shù)為0或不存在的點x.(2)第一充分條件(3)第二充分條件292.連續(xù)函數(shù)的最值★(2)★特別:

當大(小)值就是最大(小)值.常用于解決實際問題

求

如果在區(qū)間內(nèi)可導且只有一個極值點,則這