初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊(cè)第四章三角形4．3探索三角形全等的條件（市一等獎(jiǎng)）

全等三角形專題練習(xí)1．（本題滿分8分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接EB、ED．（1）求證：△BCE≌△DCE；（2）延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若∠DEB＝140o，求∠AFE的度數(shù)．2．（本題滿分7分）如圖，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AD=BE，∠DEC=90°（1）△CDE是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若AD=6，AB=14，請(qǐng)求出BC的長(zhǎng)．3．如圖，在等腰直角三角形ABC和DEC中，∠BCA=∠DCE=90°，點(diǎn)E在邊AB上，ED與AC交于點(diǎn)F，連接AD．（1）求證：△BCE≌△ACD．（2）求證：AB⊥AD．4．（本題滿分10分）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E在邊AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù)；（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=40°，點(diǎn)D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，則∠DCE=；（3）在△ABC中，∠ACB=n°，點(diǎn)D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù)（直接寫出答案，用含的式子表示）．5．在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖⑴的位置時(shí)，求證:DE=AD＋BE（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過(guò)程）．（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過(guò)程）．參考答案1．（1）見(jiàn)解析；（2）65°．【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=DC，∠BCE=∠CDE=45°，根據(jù)CE=CE得出三角形全等；（2）根據(jù)全等得出∠BEC=∠DEC=70°，根據(jù)△BCE的內(nèi)角和得出∠CBE=65°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AFE=∠CBE．試題解析：（1）證明：∵正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45o又∵CE＝CE∴△BCE≌△DCE（SAS）（2）由全等可知，∠BEC=∠DEC=∠DEB=×140o＝70o在△BCE中，∠CBE＝180o―70o―45o＝65o∴在正方形ABCD中，AD∥BC，有∠AFE＝∠CBE＝65o考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)．2．（1）△CDE是等腰直角三角形；（2）BC的長(zhǎng)是8．【解析】試題分析：（1）求出∠A=∠B，∠ADE=∠CEB，得到△DAE≌△EBC，從而DE=EC；（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出AD=BE=6，AE=BC=8．試題解析：（1）△CDE是等腰直角三角形；理由：∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=∠A=90°，又∵∠DEC=90°，∴∠DEA+∠CEB=180°-∠DEC=180°-90°=90°，在Rt△DAE中，∠DEA+∠ADE=90°，∴∠CEB=∠ADE，在△ADE和△BEC中，，∴△DAE≌△EBC，∴DE=CE，∴△CDE是等腰直角三角形；（2）由（1）得△DAE≌△EBC，∴BC=AE，∵AB=AE+BE,∴AB=AD+BC，∴BC=AB-AD=14-6=8．即BC的長(zhǎng)是8．考點(diǎn)：等腰直角三角形3．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】試題分析：（1）根據(jù)∠BCE+∠ECA=∠ECA+∠ACD=90°，得出∠BCE=∠ACD，再利用兩邊且?jiàn)A角相等得出三角形全等；（2）由（1）知，∠B=∠CAD，再得出∠CAD+∠CAE=90°．試題解析：（1）證明：由題意知∠BCE+∠ECA=∠ECA+∠ACD=90°，∴∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD．（2）證明：由（1）知，∠B=∠CAD，又∵∠B+∠CAE=90°，∴∠CAD+∠CAE=90°，即∠DAE=90°，∴AB⊥AD．考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等腰直角三角形．4．（1）45°；（2）110°；（3）∠DCE=90°－或∠DCE=90°＋或∠DCE=．【解析】試題分析：(1)由AD=AC，BC=BE得，∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，從而可分別用含有∠A，∠B的式子表示出∠ACD，∠BCE，由已知右∠ACD+∠BCE-∠DCE=90°，則不難求解；（2）設(shè)∠D=x，∠E=y，由AD=AC，BC=BE得，∠ACD=∠ADC=x，∠BCE=∠BEC=y，而2x+2y+40°=180°，∴x+y=70°，則∠DCE=x+y+40°=110°；（3）分為六種情況討論：①AC<BC<AB，②AC<AB<BC，③AB<AC<BC，④AB<BC<AC，⑤BC<AB<AC，⑥BC<AC<AB．試題解析：（1）∵AD=AC，BC=BE，∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，∴∠ACD=（180°-∠A）÷2①，∠BCE=（180°-∠B）÷2②，∵∠A+∠B=90°，∴①+②-∠DCE得，∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-（∠A+∠B）÷2-∠DCE=180°-45°-∠DCE=135°-∠DCE=90°，∴∠DCE=45°；（2）設(shè)∠D=x，∠E=y，∵AD=AC，BC=BE，∴∠ACD=∠ADC=x，∠BCE=∠BEC=y，2x+2y+40°=180°，∴x+y=70°，則∠DCE=x+y+40°=110°；（3）∠DCE=90°－或∠DCE=90°＋或∠DCE=．考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)．5．（1）證明見(jiàn)解析；（2）DE=AD－BE；（3）DE=BE－AD；【解析】試題分析：（1）利用垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，則根據(jù)互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代換得到DE=AD+BE；（2）與（1）一樣可證明△ADC≌△CEB，則CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE-CD=AD-BE；（3）與（1）一樣可證明△ADC≌△CEB，則CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD-CE=BE-AD．試題解析：（1）∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．∴∠ADC=∠BEC=90∵∠ACB=90∴∠ACD+∠ECB=9