初中數(shù)學北師大版八年級下冊第一章三角形的證明本章復習與測試【市一等獎】

專訓1.全等三角形判定的三種類型名師點金：一般三角形全等的判定方法有四種：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一種特殊的三角形，它的判定方法除了上述四種之外，還有一種特殊的方法，即“HL”．具體到某一道題目時，要根據(jù)題目所給出的條件進行觀察、分析，選擇合適的、簡單易行的方法來解題．已知一邊一角型應用1一次全等型1．如圖，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求證：AD平分∠BAC.(第1題)2．如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，連接AD，過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F，且BE＝CF.求證：AD是△ABC的中線．(第2題)應用2二次全等型3．如圖，∠C＝∠D，AC＝AD，求證：BC＝BD.(第3題)4．如圖，D是△ABC中BC邊上一點，E是AD上一點，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求證：∠ABE＝∠ACE.(第4題)已知兩邊型應用1一次全等型5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點F，試通過觀察、測量、猜想等方法來探索BF與AE有何特殊的位置關系，并說明你的猜想的正確性．(第5題)應用2兩次全等型6．如圖，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一點．求證：AE＝CE.(第6題)7．如圖，∠BAC是鈍角，AB＝AC，點D，E分別在AB，AC上，且CD＝BE.求證：∠ADC＝∠AEB.(第7題)已知兩角型應用1一次全等型8．如圖，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于點O，且AO平分∠BAC.求證：OB＝OC.(第8題)應用2兩次全等型9．如圖，在△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分別延長BA與CD交于點F.求證：BF＝CF.(第9題)專訓2.活用“三線合一”巧解題名師點金：等腰三角形“頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線”只要知道其中“一線”，就可以說明是其他“兩線”．運用等腰三角形“三線合一”的性質證明角相等、線段相等或垂直關系，可減少證全等的次數(shù)，簡化解題過程．利用“三線合一”求角1．如圖，房屋頂角∠BAC＝100°，過屋頂A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求頂架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度數(shù)．(第1題)利用“三線合一”求線段2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝BC，DE⊥AB于點E，若CD＝4，且△BDC的周長為24，求AE的長．(第2題)利用“三線合一”證線段(角)相等3．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，如圖，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且BE＝AF，求證：DE＝DF.(第3題)利用“三線合一”證垂直4．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且EA＝EC.求證：EB⊥AB.(第4題)利用“三線合一”證線段的倍數(shù)關系(構造三線法)5．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于點D.試說明：BF＝2CD.(第5題)利用“三線合一”證線段的和差關系(構造三線法)6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，且∠ABC＝2∠C.試說明：CD＝AB＋BD.(第6題)專訓3.等腰三角形中四種常用作輔助線的方法名師點金：幾何圖形中添加輔助線，往往能把分散的條件集中，使隱蔽的條件顯露，將復雜的問題簡單化，例如：作“三線”中的“一線”，作平行線構造等腰(邊)三角形，利用截長補短法證線段和、差關系或求角的度數(shù)，利用加倍折半法證線段的倍分關系．作“三線”中的“一線”1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，過點A作EF∥BC，且AE＝AF，求證：DE＝DF.(第1題)作平行線法2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時，已知點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖①，求證：PD＝QD.(2)如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E，當P，Q在移動的過程中，線段BE，DE，CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．(第2題)截長補短法3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求證：BD＋DC＝AB.(第3題)加倍折半法4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．(第4題)5．如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.(第5題)答案專訓11．證明：∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB.即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠1＝∠2，,BD＝CD，))∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴∠BAD＝∠CAD.∴AD平分∠BAC.2．證明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△DBE≌△DCF.∴BD＝CD.∴D是BC的中點，∴AD是△ABC的中線．(第3題)3．證明：如圖，過點A作AM⊥BC，AN⊥BD，分別交BC，BD的延長線于點M，N.∴∠M＝∠N＝90°.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.在△ACM和△ADN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠M＝∠N，,∠ACM＝∠ADN，,AC＝AD，))∴△ACM≌△ADN(AAS)．∴AM＝AN，CM＝DN.在Rt△ABM和Rt△ABN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AB，,AM＝AN，))∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．∴BM＝BN.∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.(第4題)4．證明：如圖，過E作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，則∠AFE＝∠AGE＝90°.在△AFE和△AGE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFE＝∠AGE，,∠FAE＝∠GAE，,AE＝AE，))∴△AFE≌△AGE(AAS)．∴EF＝EG.在Rt△BFE和Rt△CGE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EB＝EC，,EF＝EG，))∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)．∴∠ABE＝∠ACE.5．解：BF⊥AE.理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACE＝90°.又∵BC＝AC，BD＝AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．∴∠CBD＝∠CAE.又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.6．證明：在△ABD和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,AD＝CD，,BD＝BD，))∴△ABD≌△CBD(SSS)．∴∠ABD＝∠CBD.在△ABE和△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBE，,BE＝BE，))∴△ABE≌△CBE(SAS)．∴AE＝CE.7．證明：如圖，過點B，C分別作CA，BA的垂線，分別交CA，BA的延長線于點F，G.在△ABF和△ACG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFB＝∠AGC＝90°，,∠FAB＝∠GAC，,AB＝AC，))∴△ABF≌△ACG(AAS)．∴BF＝CG.在Rt△BEF和Rt△CDG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝CG，,BE＝CD，))∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL)．∴∠ADC＝∠AEB.(第7題)點撥：判定兩個三角形全等時，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．8．證明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∠BOD＝∠COE，∴∠B＝∠C.∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO.在△AOB和△AOC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠BAO＝∠CAO，,AO＝AO，))∴△AOB≌△AOC(AAS)．∴OB＝OC.9．證明：在△ABC和△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAC＝∠CDB，,∠ACB＝∠DBC，,BC＝CB，))∴△ABC≌△DCB(AAS)．∴AC＝DB.又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.在△FAC和△FDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠F，,∠FAC＝∠FDB，,AC＝DB，))∴△FAC≌△FDB(AAS)．∴BF＝CF.專訓21．解：因為AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，所以∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.2．解：因為△BDC的周長＝BD＋BC＋CD＝24，CD＝4，所以BD＋BC＝20.∵AD＝BD＝BC，∴AD＝BD＝BC＝10.∴AB＝AC＝AD＋DC＝10＋4＝14.又∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝EB＝eq\f(1,2)AB＝7.3．證明：如圖，連接AD.∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°，∴∠B＝∠BAD.∴BD＝AD.又∵BD＝CD，∴AD＝CD.∴∠DAC＝∠C＝45°.∴∠B＝∠DAF.又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴DE＝DF.(第3題)4．證明：如圖，過點E作EF⊥AC于F.∵AE＝EC，∴AF＝eq\f(1,2)AC.又∵AB＝eq\f(1,2)AC，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)．∴∠AFE＝∠ABE＝90°，即EB⊥AB.(第4題)(第5題)5．解：如圖，延長BA，CD交于點E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，∴△BDC≌△BDE.∴BC＝BE.又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.故BF＝2CD.(第6題)6．解：如圖，以A為圓心，AB長為半徑畫弧交CD于點E，連接AE，則AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.因為AD⊥BC，所以AD是BE邊上的中線，即DE＝BD.又因為∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB，故CD＝AB＋BD.專訓31．證明：如圖，連接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.∴∠DAE＝∠DAF.∵AE＝AF，AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴DE＝DF.(第1題)2．(1)證明：如圖①，過點P作PF∥AC交BC于F.∵點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.又∵AB＝AC.∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP.∴FP＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，F(xiàn)P＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)．∴PD＝QD.(2)解：ED的長度保持不變．理由如下：如圖②，過點P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD.∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝eq\f(1,2)BC.∴ED為定值．(第2題)3．證明：如圖，延長BD至E，使BE＝AB，連接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE為等邊三角形．∴∠AEB＝60°.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，即BD＋DC＝AB.(第3題)(第4題)4．解：如圖，在DC上截取DE＝BD，連接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴Rt△ABD≌Rt△AED.∴AB＝AE，∠B＝∠AED.∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.故設∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x.∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，則∠C＝20°.5．證明：如圖，延長CE到點F，使EF＝CE，連接FB，則CF＝2CE.∵CE是△ABC的中線，∴AE＝B