2023年自學考試線性代數(shù)試題

全國2023年4月高等教育自學考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198試卷說明：AT表達矩陣A的轉置矩陣，E是單位矩陣，|A|表達方陣A的行列式。第一部分選擇題(共28分)單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目規(guī)定的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式=m，=n，則行列式等于（）A.m+n B.-(m+n)C.n-m D.m-n2.設矩陣A=，則A-1等于（）A. B.C. D.3.設矩陣A=，A*是A的隨著矩陣，則A*中位于（1，2）的元素是（）A.–6 B.6C.2 D.–24.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（）A.A=0 B.BC時A=0C.A0時B=C D.|A|0時B=C5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（）A.1 B.2C.3 D.46.設兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關，則（）A.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs和不全為0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.設矩陣A的秩為r，則A中（）A.所有r-1階子式都不為0 B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個r階子式不等于0 D.所有r階子式都不為08.設Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結論錯誤的是（）A.η1+η2是Ax=0的一個解 B.η1+η2是Ax=b的一個解C.η1-η2是Ax=0的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解9.設n階方陣A不可逆，則必有（）A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1C.A=0 D.方程組Ax=0只有零解10.設A是一個n(≥3)階方陣，下列陳述中對的的是（）A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特性值λ的特性向量B.如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特性值C.A的2個不同的特性值可以有同一個特性向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3個互不相同的特性值，α1，α2，α3依次是A的屬于λ1，λ2，λ3的特性向量，則α1，α2，α3有也許線性相關11.設λ0是矩陣A的特性方程的3重根，A的屬于λ0的線性無關的特性向量的個數(shù)為k，則必有（）A.k≤3 B.k<3C.k=3 D.k>312.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）A.|A|2必為1 B.|A|必為1C.A-1=AT D.A的行（列）向量組是正交單位向量組13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）A.A與B相似B.A與B不等價C.A與B有相同的特性值D.A與B協(xié)議14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）A. B.C. D.第二部分非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將對的的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15..16.設A=，B=.則A+2B=.17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表達|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.設向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=.19.設A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為.20.設A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系中具有解的個數(shù)為.21.設向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內積（α+β，α-β）=.22.設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特性值-1和4，則另一特性值為.23.設矩陣A=，已知α=是它的一個特性向量，則α所相應的特性值為.24.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.設A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.試計算行列式.27.設矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組α1=，α2=，α3=，α4=.試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。29.設矩陣A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣A=的所有特性值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ2是其導出組Ax=0的一個基礎解系.試證明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2線性無關。全國2023年4月高等教育自學考試線性代數(shù)試題參考答案課程代碼：02198一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.616.17.418.–1019.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數(shù)20.n-r21.–522.–223.124.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.解（1）ABT==.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·（-2）=-12826.解==27.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以B=(A-2E)-1A==28.解一所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.29.解對矩陣A施行初等行變換A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解A的屬于特性值λ=1的2個線性無關的特性向量為ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.經正交標準化，得η1=，η2=.λ=-8的一個特性向量為ξ3=，經單位化得η3=所求正交矩陣為T=.對角矩陣D=（也可取T=.）31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.設，即，因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。經此變換即得f(x1，x2，x3)的標準形 y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.證由假設Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1