初中數(shù)學北師大版九年級上冊第四章　圖形的相似5　相似三角形判定定理的證明(g)

北師大版數(shù)學九年級上冊第3章第5節(jié)相似三角形判定定理的證明同步檢測一、選擇題1．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、，只有選項B的各邊為1、、與它的各邊對應成比例．故選：B．分析：首先求得△ABC三邊的長，然后分別求得選項A，B，C，D各三角形的三邊的長，最后根據(jù)三組對應邊的比相等的兩個三角形相似，即可求得答案．熟悉三組對應邊的比相等的兩個三角形相似定理是解答此題的關鍵．2．如圖，點P是ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有（）A．0對B．1對C．2對D．3對答案：D解析：解答：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3對相似三角形．故選：D．分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質得出即可．熟練掌握相似三角形的判定方法是解答此題的關鍵．3．如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACBB．∠ADB=∠ABCC．D．答案：D解析：解答：A．∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，所以此選項不合題意；B．∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，所以此選項不合題意；C．∵，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，所以此選項不合題意；D．不能判定△ADB∽△ABC，故此選項符合題意．故選：D．分析：根據(jù)有兩個角對應相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，分別判斷得出正確答案．此題考查了相似三角形的判定．4．下列條件中，能判定兩個等腰三角形相似的是（）A．都含有一個的內角B．都含有一個的內角C．都含有一個的內角D．都含有一個的內角答案：C解析：解答：因為選項A、B、D給出的角，，可能是頂角也可能是底角，不對應，則不能判定兩個等腰三角形相似；所以選項A，B，D錯誤；因為有一個60°的內角的等腰三角形是等邊三角形，所有的等邊三角形相似，所以選項C正確．故選：C．分析：若要判定兩三角形相似，最常用的方法是找兩對對應相等的角，而選項A、選項B、選項D都只能找到一對相等的角，只有選項C可以找出兩對對應相等的角．5．下列兩個圖形：①兩個等腰三角形；②兩個直角三角形；③兩個正方形；④兩個矩形；⑤兩個菱形；⑥兩個正五邊形．其中一定相似的有（）A．2組B．3組C．4組D．5組答案：A解析：解答：①不相似，因為沒有指明相等的角或成比例的邊；②不相似，因為只有一對角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因為其四個角均相等，四條邊都相等，符合相似的條件；④不相似，雖然其四個角均相等，因為沒有指明邊的情況，不符合相似的條件；⑤不相似，因為菱形的角不一定對應相等，不符合相似的條件；⑥相似，因為兩正五邊形的角相等，對應邊成比例，符合相似的條件；所以正確的有③⑥．故選：A．分析：根據(jù)相似多邊形的判定定理對各個選項進行分析，確定最后答案．邊數(shù)相同、各角對應相等、各邊對應成比例的兩個多邊形是相似多邊形．6．如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長線上一點，BE交AD于G，AF⊥BE于F，圖中相似三角形的對數(shù)是（）A．5B．7C．8D．10答案：D解析：解答：∵矩形ABCD∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=∴△EDG∽△ECB∽△BAG∵AF⊥BE∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA∴△GAF∽△GBA∽△ABF∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA∴共有10對故選：D．分析：根據(jù)已知及相似三角形的判定方法找出存在的相似三角形即可得到答案．此題考查了相似三角形的判定：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似；平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．7．如圖，在△ABC中，P為AB上一點，則下列四個條件中，（1）∠ACP=∠B（2）∠APC=∠ACB（3）（4）AB?CP=AP?CB，其中能滿足△APC和△ACB相似的條件有（）A．1個B．2個C．3個D．4個答案：C解析：解答：（1）中，∠ACP=∠B，又有一公共角∠A，所以相似，（1）正確；（2）∠APC=∠ACB，且有一公共角∠A，（2）正確；（3）中AC2=AP?AB，∠A為其夾角，（3）正確；（4）中不是兩組對應邊成比例，夾角相等，所以（4）錯誤．故選：C．分析：兩組對應角相等的三角形是相似三角形；兩組對應邊成比例且夾角相等兩個三角形是相似三角形．由此可求出答案．8．如圖，已知點P是不等邊△ABC的邊BC上的一點，點D在邊AB或AC上，若由點P、D截得的小三角形與△ABC相似，那么D點的位置最多有（）A．2處B．3處C．4處D．5處答案：C解析：解答：①△CPD與△CBA相似；此時△CPD與△CBA共用∠C，P點的位置有兩個：∠CPD=∠B或∠CPD=∠A；②△BPD與△BCA相似；此時△CPD與△CBA共用∠B，P點的位置同樣有兩個：∠BPD=∠C或∠BPD=∠A；所以符合條件的D點位置最多有4處．故選：C．分析：先判斷由點P、D截得的小三角形與△ABC有哪些相等的條件，再根據(jù)相似三角形的判定方法來判斷符合條件的D點有幾個．注意不要漏解．9．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=8，AD=3，BC=4，點P為AB邊上一動點，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個答案：C解析：解答：∵AB⊥BC，∴∠B=．∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠B=，∴∠PAD=∠PBC=．AB=8，AD=3，BC=4，設AP的長為x，則BP長為8-x．若AB邊上存在P點，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：①若△APD∽△BPC，則AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=；②若△APD∽△BCP，則AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．∴滿足條件的點P的個數(shù)是3個，故選：C．分析：因為∠PAD=∠PBC=，所以要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討論：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對應邊的比相等求出AP的長，從而得到P點的個數(shù)．進行分類討論是解答此題的關鍵．10．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（2，0），點C在第一象限，若以A、B、C為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點C的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4答案：D解析：解答：如圖①，∠OAB=∠，∠AOB=∠時，△AOB∽△．如圖②，AO∥BC，BA⊥，則∠=∠OAB，故△AOB∽△；如圖③，∥OB，∠ABC3=，則∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；如圖④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，則△AOB∽△．故選：D．分析：根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)相似三角形的判定定理可得出結論．此題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解答此題的關鍵．11．如圖，銳角△ABC的高CD和BE相交于點O，圖中與△ODB相似的三角形有（）A．1個B．2個C．3個D．4個答案：C解析：解答：∵∠BDO=∠BEA=，∠DBO=∠EBA，∴△BDO∽△BEA，∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=，∴△BDO∽△CEO，∵∠CEO=∠CDA=，∠ECO=∠DCA，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．故選：C．分析：根據(jù)∠BDO=∠BEA=，∠DBO=∠EBA，證得△BDO∽△BEA，同理可證△BDO∽△CEO，△CEO∽△CDA，從而可知．此題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是找出兩個對應角相等．12．下列條件，不能判定△ABC與△DEF相似的是（）A．∠C=∠F=，∠A=，∠D=B．∠C=∠F=，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9C．∠C=∠F=，D．∠B=∠E=，答案：D解析：解答：A．相似：∵∠A=∴∠B=-=∵∠D=∴∠B=∠D∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；B．相似：∵AB=10，BC=6，DE=15，EF=9，則，，∴，又∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；C．相似：∵∠C=∠F=，∴△ABC∽△DEF；D．不相似：∵∠B=∠E=，，有一組角相等兩邊對應成比例，但該組角不是這兩邊的夾角，故不相似．故選：D．分析：根據(jù)相似三角形的判定方法對各個選項進行分析作出正確判斷．此題考查了相似三角形判定的理解及運用．13．下面兩個三角形一定相似的是（）A．兩個等腰三角形B．兩個直角三角形C．兩個鈍角三角形D．兩個等邊三角形答案：D解析：解答：A．等腰三角形的角不一定相等，各邊也不一定對應成比例，所以A不正確；B．兩個直角三角形只有一個直角可以確定相等，其他兩個角度未知，所以B不正確；C．兩個鈍角三角形的對應角不一定相等，各邊也不一定對應成比例，所以C不正確；D．兩個等邊三角形的各角度都為，各邊對應相等，所以D正確．故選：D．分析：按照三角形相似的判定定理逐個分析，確定正確答案．三角形相似的判定定理有：①兩角對應相等的兩個三角形相似；②兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③三邊對應成比例的兩個三角形相似．14．已知△ABC如圖所示．則與△ABC相似的是圖中的（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：∵AB=AC=6，∴∠C=∠B=，∴∠A=，∵，∴與△ABC相似的是選項C．故選：C．分析：由已知圖形，根據(jù)等邊對等角及三角形內角和定理，可得∠A=，△ABC是等腰三角形；根據(jù)有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可求得答案．解題的關鍵是仔細識圖和熟悉相似三角形的判定方法．15．在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）A．兩人都對B．兩人都不對C．甲對，乙不對D．甲不對，乙對答案：A解析：解答：甲：根據(jù)題意得：AB∥，AC∥，BC∥，∴∠A=∠，∠B=∠，∴△ABC∽△，∴甲說法正確；乙：∵根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則==3+2=5，==5+2=7，∴，，∴，∴新矩形與原矩形不相似．∴乙說法正確．故選：A．分析：甲：根據(jù)題意得：AB∥，AC∥，BC∥，可證得∠A=∠，∠B=∠，由兩角對應相等兩三角形相似得△ABC∽△；乙：根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則=C′D′=3+2=5，A′D′==5+2=7，則可得，即新矩形與原矩形不相似．此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定．二、填空題16．如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則等于______答案：解析：解答：∵∠ADO=∠ADO，∠DOA=∠DAE=90°，∴△AOD∽△EAD，∴=．故答案為：．分析：利用兩角對應相等得△AOD∽△EAD，那么．此題考查了相似三角形的判定；把所求的線段的比進行相應的轉移是解決此題的關鍵．17．將一副三角板按圖疊放，則△AOB與△DOC的面積之比等于答案：1：3解析：解答：∵∠ABC=，∠DCB=∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD又∵AB：CD=BC：CD=1：∴△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．故答案為：1：3．分析：一副三角板按圖疊放，則得到兩個相似三角形，且相似比等于1：，相似三角形的性質相似三角形面積的比等于相似比的平方得到△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．18．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，則BC=答案：6解析：解答：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即解得：BC=6．故答案為：6．分析：根據(jù)DE∥BC，判斷△ADE∽△ABC，利用對應邊成比例的知識可得，代入數(shù)據(jù)求出BC．19．如圖，DE∥BC，EF∥AB，且S△ADE=4，S△EFC=9，則△ABC的面積為答案：25解析：解答：∵DE∥BC，EF∥AB∴∠C=∠AED，∠FEC=∠A，∴△EFC∽△ADE，而=4，=9，∴，∴EC：AE=3：2，∴EC：AC=3：5，∴=，∴=9×=25．故答案為25．分析：相似三角形的面積比等于相似比的平方，即對應邊之比的平方，所以先利用△EFC∽△ADE，得出對應線段的比，從而得出面積比，再代入求出其面積．此題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握平行線分線段成比例的性質．20．如圖所示，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，若△AED的面積是4m2，則四邊形DEBC的面積為答案：21解析：解答：∵，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴．∵△AED的面積是，∴，∴=25，∴四邊形DEBC的面積為：25-4=21．故答案為：21．分析：根據(jù)DE∥BC可得出△ADE∽△ACB，可以得出，由可以得出，代入可以求出△ABC的面積，從而求出四邊形DEBC的面積．三、解答題21．已知，在△ABC中，三條邊的長分別為2，3，4，△A′B′C′的兩邊長分別為1，，要使△ABC∽△，求△中的第三邊長．答案：2解析：解答：已知在△ABC中，三條邊的長分別為2，3，4，△的兩邊長分別為1，，可以看出，△的兩邊分別為△ABC的兩邊長的一半，因此要使△ABC∽△需兩三角形各邊對應成比例，則第三邊長就為4的一半即2．故答案為：2．分析：此題主要應用兩三角形相似的判定定理，三邊對應成比例的兩個三角形相似，分析作答即可．22．如圖，ABCD是平行四邊形，點E在邊BC延長線上，連AE交CD于點F，如果∠EAC=∠D，試問：AC?BE與AE?CD是否相等？答案：相等解析：解答：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D=∠B，∵∠EAC=∠D，∴∠EAC=∠B，∵∠E=∠E，∴△ACE∽△BAE，∴AC：AE=AB：BE，即AC?BE=AE?AB，∵AB=CD，∴AC?BE=AE?CD．分析：要證明AC?BE=AE?CD，只要證明這4條線段所在的三角形相似即可，但直接找不到，利用相等的線段代換后，從條件可以得出4條線段所在三角形相似從而得出結論．此題考查了相似三角形的判定和性質，利用相似三角形求出線段比，從而轉化為線段的積．23．如圖，正方形AEFG的頂點E在正方形ABCD的邊CD上，AD的延長線交EF于H點．若E為CD的中點，正方形ABCD的邊長為4，求DH的長．答案：1解析：解答：∵正方形AEFG和正方形ABCD中，∠AEH=∠ADC=∠EDH=，∴∠AED+∠DEH=，∠AED+∠DAE=，∴∠DEH=∠DAE．∵△AED∽△EHD，．∵正方形ABCD的邊長為4，∴AD=CD=4．∵E為CD的中點，∴DE=2．∴，∴DH=1．分析：根據(jù)正方形的性質和等角的余角相等，可得兩個三角形中，有兩個角對應相等，證得兩個三角形相似，在此基礎上，根據(jù)相似三角形的性質進行求解．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C=，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．（1）問：△BDE與△BAC相似嗎