初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系本章復(fù)習(xí)與測(cè)試(l)

小專(zhuān)題(二)解直角三角形的應(yīng)用類(lèi)型1單一直角三角形【例1】如圖，某同學(xué)在樓房的A處測(cè)得荷塘的一端B處的俯角為30°，荷塘另一端D與點(diǎn)C、B在同一條直線(xiàn)上，已知AC＝32米，CD＝16米，求荷塘寬BD為多少米？(取eq\r(3)≈，結(jié)果保留整數(shù))【方法歸納】通過(guò)構(gòu)造單一的直角三角形，只要知道其中的一條邊長(zhǎng)和一個(gè)銳角，就可以利用解直角三角形的知識(shí)求出其余各邊的長(zhǎng)．1．某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)開(kāi)展了測(cè)量東江寬度的活動(dòng)．如圖，他們?cè)诤訓(xùn)|岸邊的A點(diǎn)測(cè)得河西岸邊的標(biāo)志物B在它的正西方向，然后從A點(diǎn)出發(fā)沿河岸向正北方向行進(jìn)200米到點(diǎn)C處，測(cè)得B在點(diǎn)C的南偏西60°的方向上，他們測(cè)得東江的寬度是多少米？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈類(lèi)型2背靠背三角形【例2】為促進(jìn)我市經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，加快道路建設(shè)，某高速公路建設(shè)工程中，需修建隧道AB，如圖，在山外一點(diǎn)C測(cè)得BC距離為200m，∠CAB＝54°，∠CBA＝30°，求隧道AB的長(zhǎng)．(參考數(shù)據(jù)：sin54°≈，cos54°≈，tan54°≈，eq\r(3)≈，結(jié)果精確到個(gè)位)【方法歸納】通過(guò)構(gòu)造一個(gè)非直角三角形，已知其中的兩角和一邊，可過(guò)第三個(gè)角的頂點(diǎn)作高，將三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，再利用解直角三角形的知識(shí)求出其余各邊長(zhǎng)．2．(菏澤中考)南沙群島是我國(guó)固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚(yú)作業(yè)，當(dāng)漁船航行至B處時(shí)，測(cè)得該島位于正北方向20(1＋eq\r(3))海里的C處，為了防止某國(guó)巡警干擾，就請(qǐng)求我A處的魚(yú)監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離．3．(漳州中考)將一盒足量的牛奶按如圖1所示倒入一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體容器中，當(dāng)容器中的牛奶剛好接觸到點(diǎn)P時(shí)停止倒入．圖2是它的平面示意圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，求出容器中牛奶的高度．(結(jié)果精確到cm，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈，eq\r(2)≈類(lèi)型3母子三角形【例3】(邵陽(yáng)中考)一艘觀光游船從港口A處以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)．一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里/小時(shí)的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處所需的大約時(shí)間．(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈【方法歸納】如圖，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)容易知道如下結(jié)果：tanβ＝eq\f(h,b)，tanα＝eq\f(h,a＋b)，a＝eq\f(h,tanα)－eq\f(h,tanβ)，b＝eq\f(atanα,tanβ－tanα)，h＝eq\f(atanβtanα,tanβ－tanα).4．(南京中考)如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測(cè)得∠CAO＝45°.輪船甲自西向東勻速行駛，同時(shí)輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h.經(jīng)過(guò)h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D處，測(cè)得∠DBO＝58°，此時(shí)B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)？(參考數(shù)據(jù)：sin58°≈，cos58°≈，tan58°≈

參考答案例1在Rt△ACB中，∠CAB＝60°，CB＝ACtan60°＝32eq\r(3).

∴DB＝CB－CD＝32eq\r(3)－16≈39.答：荷塘寬DB的長(zhǎng)約為39米．例2過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，BC＝200m，

∴CD＝eq\f(1,2)BC＝100，BD＝100eq\r(3).在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，

∴AD＝eq\f(100,tan54°)≈.

∴AB＝AD＋BD＝＋173≈246(m)．答：隧道AB的長(zhǎng)約為246米．例3過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D.由題意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝53°，AC＝80海里，

∴CD＝40海里．在Rt△CBD中，sin53°＝eq\f(CD,CB)，

∴CB＝eq\f(CD,sin53°)≈eq\f(40,＝50(海里)．行駛時(shí)間：eq\f(50,40)＝(小時(shí))．答：海警船到達(dá)C處需小時(shí)．針對(duì)訓(xùn)練1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝200.∵tan60°＝eq\f(AB,AC)，

∴AB＝200×eq\r(3)≈200×≈346(米)．2．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得∠ACD＝45°，∠ABD＝30°.設(shè)CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，在Rt△ABD中，可得BD＝eq\r(3)x，又∵BC＝20(1＋eq\r(3))，CD＋BD＝BC，即x＋eq\r(3)x＝20(1＋eq\r(3))，解得x＝20.

∴AC＝eq\r(2)x＝20eq\r(2)(海里)．答：A、C之間的距離為20eq\r(2)海里．3．過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，由題意可得：∠ABP＝30°，AB＝8cm，則AP＝4cm，BP＝ABcos30°＝4eq\r(3)cm.∵NP·AB＝AP·BP，

∴NP＝eq\f(AP·BP,AB)＝eq\f(4×4\r(3),8)＝2eq\r(3)(cm)．

∴9－2eq\r(3)≈(cm)．答：容器中牛奶的高度約為cm.4．設(shè)B處距離碼頭Oxkm.在Rt△CAO中，∠CAO＝45°，∵tan∠CAO＝eq\f(CO,AO)，

∴CO＝AO·tan∠CAO＝(45×＋x)·tan45°＝＋x.在Rt△DBO中，∠DBO＝58°，∵tan