2018屆數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六章不等式、推理與證明課時作業(yè)39基本不等式（含解析）文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE11學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)39基本不等式一、選擇題1．已知a,b∈R＋且a≠b，x＝eq\f(\r（a)＋\r(b),2），y＝eq\r(a＋b）,則x，y的大小關(guān)系是()A．x<y B．x〉yC．x＝y(tǒng) D．視a，b的值而定解析：由不等式eq\f(a2＋b2,2）≥eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a＋b,2））)2,可得eq\r（\f（a＋b,2))≥eq\f（\r（a）＋\r(b），2)，又因為eq\r（\f（a＋b,2))<eq\r(a＋b），所以可得eq\f(\r(a)＋\r(b）,2)〈eq\r（a＋b），即x〈y。答案：A2．設(shè)函數(shù)f(x）＝x＋eq\f(1,x－1),當(dāng)x>1時,不等式f(x）≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（)A．(－∞,3] B．[3，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞)） D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞,\f（7,2))）解析:當(dāng)x>1時,x－1>0，則f(x）＝x＋eq\f（1，x－1）＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2eq\r（x－1·\f（1,x－1）)＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f（1，x－1)，即x＝2時等號成立，函數(shù)f(x）有最小值3.由不等式f（x)≥a恒成立，得實數(shù)a的取值范圍是（－∞，3］．答案：A3．點（a，b）在直線x＋2y＝3上移動，則2a＋4bA．8 B．6C．4eq\r(2） D．3eq\r（2）解析:由題可得a＋2b＝3，因為2a＋4b＝2a＋22b≥2eq\r（2a＋2b)＝2eq\r（23)＝4eq\r（2），當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b,即a＝eq\f(3，2），b＝eq\f(3,4）時等號成立．答案：C4．已知x>0，y〉0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是()A．3 B．4C。eq\f(9，2） D。eq\f(11,2）解析:∵2xy＝x·2y≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（x＋2y，2)））2,∴8＝x＋2y＋2xy≤(x＋2y)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（x＋2y,2）））2，令x＋2y＝t，則t2＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8(舍去）,∴x＋2y的最小值為4。答案：B5．已知關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2〈0(a〉0）的解集為（x1，x2)，則x1＋x2＋eq\f（a,x1x2）的最小值是（)A。eq\f（\r(6)，3） B。eq\f（2,3）eq\r（3）C。eq\f(2,3）eq\r(6） D。eq\f（4,3）eq\r（3)解析:∵關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2<0（a〉0）的解集為(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2，又a>0，∴Δ>0，∴x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋eq\f(a，x1x2)＝4a＋eq\f（a，3a2）＝4a＋eq\f（1，3a)≥2eq\r(4a·\f（1，3a))＝eq\f（4\r（3），3）,當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f（\r(3),6）時取等號．故x1＋x2＋eq\f（a，x1x2）的最小值是eq\f（4\r(3），3）。答案:D6．若正數(shù)a，b滿足eq\f（1,a)＋eq\f（1，b)＝1，則eq\f（1，a－1)＋eq\f（9,b－1)的最小值為(）A．1 B．6C．9 D．16解析：∵正數(shù)a，b滿足eq\f（1,a)＋eq\f(1，b)＝1，∴b＝eq\f(a，a－1）>0，解得a〉1,同理b〉1，∴eq\f(1,a－1)＋eq\f(9，b－1）＝eq\f(1,a－1)＋eq\f（9,\f(a,a－1）－1）＝eq\f（1,a－1)＋9（a－1）≥2eq\r(\f（1,a－1）·9a－1)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（1,a－1）＝9(a－1），即a＝eq\f（4，3）時等號成立，∴最小值為6.答案：B二、填空題7．y＝eq\r(3－aa＋6)（－6≤a≤3)的最大值為________．解析：由－6≤a≤3，得3－a≥0，a＋6≥0。由基本不等式，得eq\r(3－aa＋6）≤eq\f(3－a＋a＋6，2)＝eq\f（9,2),當(dāng)且僅當(dāng)3－a＝a＋6，即a＝－eq\f（3,2）時，等號成立，故y的最大值為eq\f（9，2）。答案：eq\f（9，2)8．已知直線ax＋by＝1經(jīng)過點(1,2），則2a＋4b解析：由直線ax＋by＝1經(jīng)過點(1,2)，得a＋2b＝1，則2a＋4b≥2eq\r（2a×4b）＝2eq\r（2a＋2b）＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝4b,即a＝eq\f（1,2），b＝eq\f(1，4）時，等號成立，所以2a＋4b的取值范圍是［2eq\r(2),＋∞)．答案：[2eq\r(2），＋∞）9．（2017·湖北襄陽一調(diào))已知x〉－1，y〉0且滿足x＋2y＝1，則eq\f（1，x＋1）＋eq\f(2，y)的最小值為________．解析：∵x〉－1，y〉0且滿足x＋2y＝1，∴x＋1>0，且（x＋1)＋2y＝2，∴eq\f(1，x＋1)＋eq\f(2,y）＝eq\f（1，2)[（x＋1）＋2y］eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，x＋1)＋\f(2，y))）＝eq\f(5,2)＋eq\f（1,2）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2y，x＋1）＋\f(2x＋1，y)））≥eq\f（5,2）＋eq\f(1,2)×2eq\r(\f（2y,x＋1)·\f(2x＋1,y）)＝eq\f(9，2),當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(2y,x＋1）＝\f（2x＋1,y），，x＋2y＝1，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f（1，3），，y＝\f（2，3））)時取等號，故eq\f（1,x＋1）＋eq\f（2，y）的最小值為eq\f(9，2),所以答案應(yīng)填eq\f（9，2）.答案:eq\f（9,2)三、解答題10．已知x〉0，y>0,且2x＋8y－xy＝0，求（1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：（1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f（8,x）＋eq\f(2，y）＝1，又x>0，y〉0，則1＝eq\f(8,x)＋eq\f（2，y）≥2eq\r（\f(8,x)·\f(2,y）)＝eq\f（8,\r（xy)）,得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時，等號成立．所以xy的最小值為64.（2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f（8，x）＋eq\f（2,y）＝1,則x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（8，x)＋\f(2,y)））·（x＋y）＝10＋eq\f(2x，y）＋eq\f(8y，x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y，x）)＝18.當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時等號成立,∴x＋y的最小值為18.11．已知a〉0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f（1,b)＝eq\r(ab)。(1）求a3＋b3的最小值；（2）是否存在a,b，使得2a＋3b解：(1)∵a>0，b〉0,∴eq\f（1，a)＋eq\f（1,b)≥2eq\r（\f(1,ab）），即eq\r（ab)≥2eq\r（\f（1，ab)），由此得ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\r(2）時取等號，又a3＋b3≥2eq\r(a3b3）≥2eq\r(23)＝4eq\r(2），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\r（2）時取等號，∴a3＋b3的最小值是4eq\r（2）。(2）由（1)得ab≥2（a＝b＝eq\r(2）時取等號）,∴2a＋3b≥2eq\r（2a·3b）＝2eq\r(6ab)，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b故2a＋3b≥2eq\r(6ab）〉4eq\r（3）〉6，故不存在a,b，使得2a＋3b1．設(shè)正實數(shù)x,y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq\f(xy，z）取得最大值時，eq\f（2,x）＋eq\f（1,y）－eq\f(2,z）的最大值是(）A．0 B．1C。eq\f（9,4） D．3解析：eq\f（xy，z)＝eq\f(xy，x2－3xy＋4y2）＝eq\f（1,\f（x,y）＋\f(4y，x）－3）≤eq\f(1，4－3)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時等號成立,此時z＝2y2，eq\f(2，x)＋eq\f(1，y）－eq\f（2,z)＝－eq\f(1,y2)＋eq\f（2,y)＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,y）－1）)2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時等號成立，故所求的最大值為1.答案：B2．(2017·銀川模擬）若直線2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圓x2＋y2－2x－4y－6＝0，則eq\f(2,a）＋eq\f(1，b)的最小值是（）A．2－eq\r(2) B。eq\r(2)－1C．3＋2eq\r（2） D．3－2eq\r（2)解析：∵圓心為（1，2）在直線2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1,∴eq\f(2,a）＋eq\f(1,b）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,a）＋\f（1，b))）·（a＋b)＝3＋eq\f(2b,a）＋eq\f（a,b）≥3＋2eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b，a）＝eq\f（a,b)，即a＝2－eq\r(2)，b＝eq\r（2)－1時等號成立．答案：C3．若實數(shù)a，b滿足ab－4a－b＋1＝0(a>1）,則（a＋1）（b解析：因為ab－4a－b＋1＝0，所以b＝eq\f(4a－1，a－1）.又a>1，所以b〉0，所以（a＋1)(b＋2）＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋eq\f（6,a－1）＋1＝6(a－1)＋eq\f（6,a－1）＋15.因為a－1〉0，所以6(a－1）＋eq\f（6,a－1）＋15≥2eq\r(6a－1×\f（6,a－1）)＋15＝27，當(dāng)且僅當(dāng)6(a－1)＝eq\f(6,a－1)(a>1），即a＝2時等號成立，故（a＋1)·(b＋2）的最小值為27。答案：274．某地需要修建一條大型輸油管道通過240km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站)．經(jīng)預(yù)算，修建一個增壓站的費用為400萬元，鋪設(shè)距離為xkm的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費用為x2＋x萬元．設(shè)余下工程的總費用為y萬元．（1)試將y表示成x的函數(shù)；(2）需要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少?解：（1）設(shè)需要修建k個增壓站，則（k＋1）x＝240，即k＝eq\f(240,x)－1.所以y＝400k＋(k＋1)（x2＋x）＝400eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（240，x)－1）)＋eq\f（240,x）（x2＋x）＝eq\f(96000,x）＋240x－160.因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0〈x<240.故y與x的函數(shù)關(guān)系是y＝eq\f(96000,x）＋240x－160(0<x〈240）．（2)y＝eq\