2023年中考數(shù)學(xué)黃金知識點系列專題16直角三角形

專題16直角三角形聚焦考點☆溫習(xí)理解一、直角三角形1.定義有一個角是直角的三角形叫作直角三角形2.性質(zhì)〔1〕直角三角形兩銳角互余.〔2〕在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；〔3〕在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3.判定〔1〕兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.〔2〕三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.二、勾股定理及逆定理1.勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2;2.勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.三、直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，除了有一般三角形全等的判定方法，還有HL定理〔斜邊、直角邊定理〕：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等〔可簡寫成“斜邊、直角邊〞或“HL〞〕四、互逆命題、互逆定理1.互逆命題如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，我們把風(fēng)這兩個命題叫做互逆命題.把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.互逆定理假設(shè)一個定理的逆命題是正確的，那么它就是這個定理的逆定理，稱這兩個定理為互逆定理.名師點睛☆典例分類考點典例一、直角三角形的判定【例1】〔2023湖北鄂州第15題〕如圖，AB＝6，O是AB的中點，直線l經(jīng)過點O，∠1＝120°，P是直線l上一點。當(dāng)△APB為直角三角形時，AP＝.【答案】3或3或3.【解析】考點：分類討論思想.【舉一反三】以下四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是() A．4,5,6 B．1.5,2，2.5 C．2,3,4 D．1，，3【答案】B．【解析】考點：勾股定理的逆定理．考點典例二、直角三角形的性質(zhì)【例2】〔2023湖北隨州第13題〕如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD=BD，連接DM、DN、MN．假設(shè)AB=6，那么DN=．【答案】3．【解析】考點：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【舉一反三】1.〔2023貴州銅仁第9題〕如圖，∠AOB=30°，P是∠AOB平分線上一點，CP∥OB，交OA于點C，PD⊥OB，垂足為點D，且PC=4，那么PD等于〔〕A．1B．2C．4D．8【答案】B．【解析】試題分析：過點P作PE⊥OA于點E，∵OP是∠AOB的平分線，∴PE=PD．∵PC∥OB，∴∠POD=∠OPC，∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，∴PE=PC=2，∴PD=2．應(yīng)選B．考點：角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．考點典例三、直角三角形斜邊上的中線【例3】〔2023遼寧葫蘆島第9題〕如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，AF⊥BC，垂足為點F，∠ADE=30°，DF=4，那么BF的長為〔〕A．4 B．8 C．2D．4【答案】D．【解析】考點：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線．【點睛】此題主要考查了三角形的中位線定理及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律．【舉一反三】〔2023四川達(dá)州第9題〕如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E．假設(shè)AB=10，BC=16，那么線段EF的長為〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B.【解析】考點：直角三角形斜邊上的中線；平行線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．考點典例四、命題【例4】〔2023年福建龍巖第4題〕以下命題是假命題的是〔〕A．假設(shè)|a|=|b|，那么a=bB．兩直線平行，同位角相等C．對頂角相等D．假設(shè)b2﹣4ac＞0，那么方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有兩個不等的實數(shù)根【答案】A.【解析】試題分析：選項A：假設(shè)a=1，b=-1，那么|a|=|b|，但a≠b，此命題為假命題；選項B：兩直線平行，同位角相等是真命題；選項C：對頂角相等是真命題；選項D：假設(shè)b2﹣4ac＞0，那么方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有兩個不等的實數(shù)根是真命題.應(yīng)選A.考點：命題與定理.【點睛】此題考查了命題與定理的有關(guān)問題，對于假命題舉出反例證明即可.．【舉一反三】〔2023內(nèi)蒙古包頭第10題〕以下命題：①假設(shè)a＞b，那么a2＞b2；②假設(shè)a＞1，那么〔a﹣1〕0=1；③兩個全等的三角形的面積相等；④四條邊相等的四邊形是菱形．其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是〔〕A．4個B．3個C．2個D．1個【答案】D．【解析】試題分析：①當(dāng)a=0，b=﹣1時，a2＜b2，所以命題“假設(shè)a＞b，那么a2＞b2〞為假命題，其逆命題為假設(shè)a2＞b2；，那么a＞b“，此逆命題也是假命題，如a=﹣2，b=﹣1；②假設(shè)a＞1，那么〔a﹣1〕0=1，此命題為真命題，它的逆命題為：假設(shè)〔a﹣1〕0=1，那么a＞1，此逆命題為假命題，因為〔a﹣1〕0=1，那么a≠1；③兩個全等的三角形的④面積相等，此命題為真命題，它的逆命題為面積相等的三角形全等，此逆命題為假命題；四條邊相等的四邊形是菱形，這個命題為真命題，它的逆命題為菱形的四條邊相等，此逆命題為真命題．故答案選D．考點：命題與定理．課時作業(yè)☆能力提升一、選擇題1.〔2023貴州銅仁第6題〕以下命題為真命題的是〔〕A．有公共頂點的兩個角是對頂角B．多項式因式分解的結(jié)果是C．D．一元二次方程無實數(shù)根【答案】D．【解析】考點：命題與定理．2.〔2023湖南岳陽第7題〕以下說法錯誤的選項是〔〕A．角平分線上的點到角的兩邊的距離相等B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C．菱形的對角線相等D．平行四邊形是中心對稱圖形【答案】C.【解析】考點：中心對稱圖形；角平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的性質(zhì)．3.〔2023黑龍江綏化第6題〕如圖，小雅家〔圖中點O處〕門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測得有一水塔〔圖中點A處〕在距她家北偏東60°方向的500米處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是〔〕A．250米B．米C．米D．米【答案】A．【解析】試題分析：由題意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500，∵AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∴AB=AO=250米．應(yīng)選A．考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．4.〔2023四川南充第7題〕如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點D，E分別是直角邊BC，AC的中點，那么DE的長為〔〕A．1B．2C．D．1+【答案】A．【解析】試題分析：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵點D、E分別是AC．BC的中點，∴DE是△ACB的中位線，∴DE=AB=1．應(yīng)選A．考點：三角形中位線定理；含30度角的直角三角形．5.〔2023廣東廣州第7題〕如圖2，三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線，DE交AB于D，連接CD，CD＝()A、3B、4C、4.8D、5【答案】D.【解析】考點：勾股定理及逆定理;中位線定理;中垂線的性質(zhì).二、填空題6.〔2023黑龍江哈爾濱第17題〕在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，點P為邊BC的三等分點，連接AP，那么AP的長為．【答案】或.【解析】試題分析：①如圖1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴，②如圖2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴，AP的長為或.考點：1分類思想；2等腰直角三角形.7.〔2023湖北武漢第16題〕如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，那么BD的長為_______．【答案】2.【解析】考點：相似三角形判定及性質(zhì)；勾股定理.8.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，那么BC=．【答案】．【解析】試題分析：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===，故答案為：．考點：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理．9.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，點E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點B落在AC邊上的點B′處，那么BE的長為．【答案】．【解析】考點：1.折疊的性質(zhì)；2.勾股定理；3.方程思想的應(yīng)用.10.〔2023福建莆田第16題〕魏朝時期，劉徽利用以下圖通過“以盈補虛，出入相補〞的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類〞，證明了勾股定理．假設(shè)圖中BF＝1，CF＝2，那么AE的長為__________．【答案】．【解析】考點：勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．11.〔2023福建泉州第14題〕如圖，在Rt△ABC中，E是斜邊AB的中點，假設(shè)AB=10，那么CE=．【答案】5．【解析】試題分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CE=AB=5.考點：直角三角形斜邊上的中線．三、解答題12.〔2023貴州貴陽第18題〕〔10分〕如圖，點E正方形ABCD外一點，點F是線段AE上一點，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，連接CE、CF．〔1〕求證：△ABF≌△CBE；〔2〕判斷△CEF的形狀，并說明理由．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕△CEF是直角三角形．【解析】考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．13.(2023湖北襄陽第19題)(本小題總分值6分)如圖，在△ABC中．AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．(1)求證：AB=AC；(2)假設(shè)AD=2，∠DAC=30°，求AC的長．【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕4.【解析】試題分析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，再根據(jù)HL證明；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，即可證得AB=AC；〔2〕根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，在Rt?ADC中，AD=2，∠DAC=30°，即可求得AC的長．試題解析：(1)證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF在Rt?ADC中，考點：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)；