廣東省陽江市陽東縣第一高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

廣東省陽江市陽東縣第一高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線的漸近線的方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知橢圓+=1上一點(diǎn)P到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．3 C．5 D．7參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)條件求出a=5；再根據(jù)橢圓定義得到關(guān)于所求距離d的等式即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)所求距離為d，由題得：a=5．根據(jù)橢圓的定義得：2a=3+d?d=2a﹣3=7．故選D．3.設(shè)abc≠0，“ac＞0”是“曲線ax2+by2=c為橢圓”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；橢圓的定義．【分析】要判斷：“ac＞0”是“曲線ax2+by2=c為橢圓”的什么條件，我們要在前提條件abc≠0的情況下，先判斷，“ac＞0”時(shí)“曲線ax2+by2=c是否為橢圓”，然后在判斷“曲線ax2+by2=c為橢圓”時(shí)，“ac＞0”是否成立，然后根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行總結(jié)．【解答】解：若曲線ax2+by2=c為橢圓，則一定有abc≠0，ac＞0；反之，當(dāng)abc≠0，ac＞0時(shí)，可能有a=b，方程表示圓，故“abc≠0，ac＞0”是“曲線ax2+by2=c為橢圓”的必要非充分條件．故選B【點(diǎn)評(píng)】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．4.若橢圓+=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一焦點(diǎn)的距離為（）A．7 B．5 C．3 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a的值，即可得2a=10，由橢圓的定義分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，橢圓的方程為：+=1，則有a==5，即2a=10，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為10，若P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一焦點(diǎn)的距離為10﹣3=7；故選：A．5.函數(shù)在（0,1）內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.已知xy＞0，若+＞m2+3m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m≥﹣1或m≤﹣4 B．m≥4或m≤﹣1 C．﹣4＜m＜1 D．﹣1＜m＜4參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；基本不等式．【分析】，將不等式轉(zhuǎn)化為m2+3m﹣4＜0，解不等式即可【解答】解：∵xy＞0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．的最小值為4．將不等式轉(zhuǎn)化為m2+3m﹣4＜0解得：﹣4＜m＜1．故選：C．7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．12+4 B．12 C． D．8參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖還原原圖形如圖，然后利用三角形面積公式求解．【解答】解：由三視圖可得原幾何體如圖，AB=BC=BE=DF=2，則△AEC與△AFC邊AC上的高為，∴該幾何體的表面積為S==．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的三視圖，由三視圖還原原圖形是關(guān)鍵，是中檔題．8.如圖是一平面圖形的直觀圖，直角邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（▲）A．

B．1

C．

D．參考答案：C9.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)的最小值為

A．

B．－2

C．2

D．4參考答案：A略10.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則f(x)的零點(diǎn)為（

）A.1 B. C.2 D.參考答案：B【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出的值，再解方程可得出函數(shù)零點(diǎn)?！驹斀狻浚?，故的零點(diǎn)為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)的概念，解題的關(guān)鍵在于利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出參數(shù)的值，解題時(shí)要正確把握零點(diǎn)的概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為＿＿＿＿＿參考答案：正方體的棱長(zhǎng)是內(nèi)切球的直徑，正方體的對(duì)角線是外接球的直徑，設(shè)棱長(zhǎng)是

12.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離比它到直線x=﹣2的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡方程為．參考答案：y2=12x【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離等于它到直線x=﹣3的距離，由拋物線的定義可得P的軌跡是以（3，0）為焦點(diǎn)、x=﹣3為準(zhǔn)線的拋物線，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念，即可算出點(diǎn)P的軌跡方程．【解答】解：∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離比它到直線x=﹣2的距離大1，∴將直線x=﹣2向左平移1個(gè)單位，得到直線x=﹣3，可得點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離等于它到直線x=﹣3的距離．因此，點(diǎn)P的軌跡是以（3，0）為焦點(diǎn)、x=﹣3為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p＞0），可得=3，得2p=12∴拋物線的方程為y2=12x，即為點(diǎn)P的軌跡方程．故答案為：y2=12x13.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分別是CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是

．參考答案：90°【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】計(jì)算題．【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求出與夾角求出異面直線A1M與DN所成的角．【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)棱長(zhǎng)為2，則D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）?=0，所以⊥，即A1M⊥DN，異面直線A1M與DN所成的角的大小是90°，故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間異面直線的夾角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空間想象難度，但要注意有關(guān)點(diǎn)，向量坐標(biāo)的準(zhǔn)確．否則容易由于計(jì)算失誤而出錯(cuò)．14.如圖1為某質(zhì)點(diǎn)在3秒鐘內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度函數(shù)的圖象，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程

厘米．參考答案：10略15.如圖，正方體,點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)O是底面的中心，P是上的任意一點(diǎn)，則直線BM與OP所成的角大小為

▲

．

參考答案：略16.

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_________m3.參考答案：17.曲線在點(diǎn)（－1，－3）處的切線方程是________．參考答案：y=x-2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一個(gè)建設(shè)集團(tuán)公司共有個(gè)施工隊(duì)，編號(hào)分別為現(xiàn)有一項(xiàng)建設(shè)工程，因?yàn)楣と藬?shù)量和工作效率的差異，經(jīng)測(cè)算：如果第個(gè)施工隊(duì)每天完成的工作量都相等，則它需要天才能獨(dú)立完成此項(xiàng)工程.（1）求證第個(gè)施工隊(duì)用天完成的工作量不可能大于第個(gè)施工隊(duì)用天完成的工作量；（2）如果該集團(tuán)公司決定由編號(hào)為共個(gè)施工隊(duì)共同完成，求證它們最多不超過兩天即可完成此項(xiàng)工作.參考答案：證明：（1）依題意，第個(gè)施工隊(duì)的工作效率為…1分故本題即是證明當(dāng)且時(shí)，………………3分【法一】當(dāng)且時(shí)，顯然成立，故命題得證.……6分【法二】假設(shè)第個(gè)施工隊(duì)用天完成的工作量大于第個(gè)施工隊(duì)用天完成的工作量，即當(dāng)且時(shí)，從而，從而與矛盾，從而得到原命題成立.…6分【法三】要證明當(dāng)且時(shí)，，故只需證即是證明又從而只需證由題設(shè)可知是成立的，從而原命題成立.…………………6分（2）要證明此命題，即是證明2（＋＋…＋）＞1(n≥2，n∈N*)，也就是證明：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．………9分【法一】：利用數(shù)學(xué)歸納法：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＋＋＋＞，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)不等式成立．即＋＋…＋＞.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)＞＋(3×－)＝.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立，由(1)，(2)知原不等式對(duì)一切n≥2，n∈N*均成立．……14分【法二】利用放縮法：∵n≥2，∴＋＋…＋＞＋＋…＋＝＞.即＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．……14分

略19.南航集團(tuán)與波音公司2018年2月在廣州簽署協(xié)議，雙方合作的客改貨項(xiàng)目落戶廣州空港經(jīng)濟(jì)區(qū)．根據(jù)協(xié)議，雙方將在維修技術(shù)轉(zhuǎn)讓、支持項(xiàng)目、管理培訓(xùn)等方面開展戰(zhàn)略合作．現(xiàn)組織者對(duì)招募的100名服務(wù)志愿者培訓(xùn)后，組織一次知識(shí)競(jìng)賽，將所得成績(jī)制成如下頻率分布直方圖（假定每個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的成績(jī)均勻分布），組織者計(jì)劃對(duì)成績(jī)前20名的參賽者進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．（1）試求受獎(jiǎng)勵(lì)的分?jǐn)?shù)線；（2）從受獎(jiǎng)勵(lì)的20人中利用分層抽樣抽取5人，再從抽取的5人中抽取2人在主會(huì)場(chǎng)服務(wù)，試求2人成績(jī)都在90分以上（含90分）的概率.參考答案：解：（1）由頻率分布直方圖知，競(jìng)賽成績(jī)?cè)诜值娜藬?shù)為，競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，故受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線在之間，設(shè)受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線為，則，解得，故受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線為．（2）由（Ⅰ）知，受獎(jiǎng)勵(lì)的20人中，分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為8，分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為12，利用分層抽樣，可知分?jǐn)?shù)在的抽取2人，分?jǐn)?shù)在的抽取3人，設(shè)分?jǐn)?shù)在的2人分別為，分?jǐn)?shù)在的3人分別為，所有的可能情況有，，，，，，，，，，滿足條件的情況有，，，所求的概率為．

20.（11分）對(duì)于函數(shù)f（x），g（x），記集合Df＞g={x|f（x）＞g（x）}．（1）設(shè)f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求Df＞g；（2）設(shè)f1（x）=x﹣1，f2(x)=()x+a·3x+1，h（x）=0，如果．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（1）直接根據(jù)新定義解不等式即可，（2）方法一：由題意可得則在R上恒成立，分類討論，即可求出a的取值范圍，方法二：夠造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求出a的取值范圍．【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得Df＞g={x|x＜﹣1或x＞3}；（2）方法一：，，由，則在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0時(shí)成立．以下只討論a＜0的情況對(duì)于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，（a＜0）又t＞0，所以，∴=綜上所述：方法二（2），，由a≥0．顯然恒成立，即x∈Ra＜0時(shí)，，在x≤1上恒成立令，，所以，綜上所述：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義和恒成立的問題，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力，分析分析問題的能力，轉(zhuǎn)換能力，屬于難題．21.（本小題滿分8分）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，證明：以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．參考答案：試題分析：（Ⅰ）利用拋物線定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化．本題由可得，可求的值，進(jìn)而確定拋物線方程；（Ⅱ）欲證明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．可證明點(diǎn)到直線和直線的距離相等（此時(shí)需確定兩條直線方程）；也可以證明，可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù)．試題解析：解法一：（I）由拋物線的定義得．因?yàn)?，即，解得，所以拋物線的方程為．……3分（II）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)．

由，可得直線的方程為．由，得，解得或，從而．………5分又，所以，，………7分所以，從而，這表明點(diǎn)到直線，的距離相等，故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．………8分

解法二：（I）同解法一．（II）設(shè)以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的半徑為．因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)．由，可得直線的方程為．由，得，解得或，從而．………5分又，故直線的方程為，從而．又直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離．這表明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．………8分考點(diǎn)：1、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；2、