解析三角法證明平面幾何中的多圓問題

(江蘇省蘇州市蘇苑中學 2x2y 在平面幾何問題中,若題設中有兩線 = 又OO2=(r-r-rcos2)2+(rsin2) 角參數(shù)解題我們稱此法為解析三角法別以它們?yōu)閤軸和y軸.例 ⊙O1和⊙O2被包含在⊙O內⊙O1經過點O2,O1O2的兩個O相交于點A和BMAMBO1CD證明CD與⊙O2相切.(40分析:⊙O2的半徑分r、r1、r2.⊙O1x-r2+y2=r2 ⊙O22))2(x-r)2+y2-

=r-r22, r2-2r2(1+cos2)=2rr-2rr(1+cos 2x2y)O2CDα)r1α+r2-r1(1+cos2)=r22Ol1和l2,O1l1A,O于CO2l2B,OD,O1EADBCQ.求證:Q是△CDE的外心. 2x-r1-r1cos2)2y-r1sin2)2-r2 分析2O1Oxα∠O2Ox2 2(2y β,三個圓的半徑分別為Rr1r2 (r),CD

O1((R+r1)cosα(R+r1)sin),,)O2((R+r2)cosβ,-(R+r2)sinβ)2rcosαrx-r1+sin22rcosαrx-r1+sin2·r+r-2r=0 B((R+r2)cosβ,-R),D(Rcosβ,-Rsinβ)1 收稿日期:2003-07-23修改日期:2003-11- R+ R+sin

R-

,cosβ=

tM1M2+)ccsi)R+ R+|O1O2|2=(r1+r2)=(R+r1)2+(R+r2)2-2(R+r1)

由|PM1|=|PM2|(R+r2)(cosαcosβ-sinαsinβ), cc2[cos(ωt+)-cos]2-2x0csc·所以,R2=4r1r2. [cos(ωt+)-s]+csc2sin2(ωt+)-kDH

Rcosβ

-sinβ-= =

si+cc[0 π)+cos]2-2xcscβ[cos(ωt-β+π0 = =1 R

cc2in2 (R+r1)cosα

sin(ωt-β+π)kDH·kOA=-1OAAHO,AD也是切線.同理,BC也是切線.故QC=QD.如果QE

令ωt=π,cαoα+xxx0cotβ-cot.⊙O1的切線,也不 令ωt=π,當x=cotβ-cotα時, QX≠QY.而QX·QEQC2=QD2=QY·QEQX=QY,.因此, 圖是△CDE的外心兩圓連心線與交線互相垂直,故可分別以它們?yōu)閤y軸.3在平面上已知兩相交圓⊙O1⊙O2,A為交點之一M1M2從A,O1O2,A.證明:在平面上存在不動點P,使得點P到M1M2的距離在整個運動過程中每一時(21分析:4OA1∠AO1O2 β,角速度為 P(x0y0),

csc2(sinα+cos)2+2x0csc(inαcos)+ccαoα-20ycotα=cc(osβ-sinβ)2-2x0cscβ(cosβ-sinβ)+ccβoβ+2y0cotβ.y0x0cotβcotαy01時,容易驗證45⊙O1O2ABC的EFGH為,EGFHP求證:直線PABC垂直.(1996,高中數(shù)賽分析:5只須證明OAEGFH共,EGFH的交點P橫坐標為0.而EG和FH的方程依賴ABC故BC為參r1=cscr2=csc所以, 圖

數(shù)設∠Bα, ∠C2βxB=-b xC=cAy,btanα=ctan BO2CO2y=tanα(x+b),y=cotβ·(x-c)btan+ccot b+

m2-r2+ 4R2+ 2 sinβ=rm因為R-r2-O1O244R2+= -2 cotβ-tanα 4R24R2+

=r -2R)>0,0btanαccot,0故 cotβ-tan=-1=-oαHF的方 2α

O2O1內部.因,BD·CE=(AD-AB)(AE-=[2Rcosα+)-mcosβ][2Rcos(β-)y=- x

mcos=4R2(o2-1)+cos2β(4R2-4Rmcos+ 2 m2-

=4 m-r+ 4R+2

-1 m2(1-tan m-r+ 4R+ taβ-

=r2

+分子2btanαtanβ·2tanβ2ctan·-tatanα=)xP0Py軸上.因此,PA⊥BC.R2+r2- 4R2+R2+r2- 4R2+

注R2rO1O2的長有意義6考慮在同一平面上半徑為RrR>r的兩個同心圓設P是小圓周上的一個定點,B是大圓周上的一個動點,直線BPC,PBPRr,O1

,R≥ lA如l與小圓相切于點P,A=P).2rAO1,ABAC分別切小圓⊙O22于點BC分O1于DE.求證BD·CE=r2.R2+m2-(R2+r2- 4R2+r2

(1994,加利亞數(shù)學 圖分析:6,O2Axα∠O2ADβAO2=m,BC2+CA2AB2所取值的集合;AB中點的軌跡.(第29屆IMO) 析如圖建立直角

坐標系,=αA(x1y1)、B(x2y2)、C(x3y3.PB 2 A,A(-x1y1),x1=-rcosα,y1=-rsinα,x2+x3=2xD=-2riα,y2+y3=2yD=2rcosαsin.BCytanα(x+r代入大圓的方程x2+y2=R2得tan2)rtan2xtan2r2tan2r2-R2

直角,OA=1∠BAO=.O到ABAC的距離sinα故只須O到BC的距離也等于sinα即yB=yC=-sin.2R=OA+OK+KD=OA+OK+oα+se 1+o則x2x3 1+taα 1+sin=r2iαR2oα R=2oα =tan2(x+r)(x3+=(r2-R2)in2.

My=1-R

cosα-2sinBC2+CA2+

=(x2-x3)2+((y3-y)2+(

-y)2+(-x)2+(

-x)2-y)

x2 y

cosα-sinα2oα

2oα =4R2+2r2-2(xy1y2+y2y3+y3y1

+x2x3+x3x1 AB的方程ycotαx=4R2+2r2-4r2cosαi2α-2(r2iαR2cos2)αco-2(r2-R2)iα=6R2+2r2ABQxy),7APBB是矩形,x′=2x-r=2y2x2y2=R2,2x +y2=R

yA=1,yB=-sin.故命題成立ABCD是凸四邊,CDAB為直徑的圓的切線證明:BCAD,直線AB是以CD為直徑的圓的切線.(25提示:充分性 為x2+y2=R2因此這是一個以點2,0為圓心、27ABCAB=AC,有一圓內切于ABC的外接,且與ABAC分別

∠FEx=θ(F是切點∠DAB.求出CDAD的方程得切于點P和Q.求證:PQ連線的中點是ABC(第20分析:設O,O∠BAC的平分線AD上.如圖8建 圖

) cosθ-) R.同理,yC (1-cos)sinαcosθ-) ·R2yG|CD|必要性略.平面上已知三個圓Cii1,2,3),其中圓C1AB1C2C1,k1k3C3A,2k.考慮所有線段EF,一端EC2,FC3,且EF含有B問當EB為何值,線段EF的長度B(第16屆數(shù)學

獲得了一塊金牌和兩個三等獎。俄羅斯的金牌標準非常嚴格,在我國赴俄參賽史上還是第一次得席臺一側的中國國旗,成了奧廖爾藍天中翱翔的雄17日晚,為主試和所有領隊舉辦了慶賀閱卷勝利結束的晚宴,我們正副領隊和兩位觀察員應邀參加。晚宴的主辦方特意安排我們的一些和我們坐在一起,意在沖淡由于防控措施給我們帶來的不快。坐在我對面的是我的,十年級閱卷組保爾。他是1992年IMO的金牌得主,無今年的IMO選手?”我說,不但沒有一個今年的IMO選手,甚至沒有一個入選國家集訓隊的隊員。他是IMO允許中國派兩個或是 隊參賽的話, 中,就連團體第二名、第三名也是 感到壓抑了多日的情感得到了釋放,作為一個的民族自豪感在心中升騰而由于我們還想到莫斯科參觀兩天,趕不上閉幕式了。4月18日,請我們到當?shù)氐闹胁宛^吃

晚餐。飯前,就在中餐館門前的空地上為我們舉行了一個儉樸的頒獎儀式,既避免了與俄羅斯學生的過多接觸,又不失禮儀。4月9早,車們往斯。,他們也沒有忘記詢問我們,每天一早都要,回答他們各種各題,這已經成了修的功課。是日下0日我們在莫斯科參觀了克里姆林宮,瞻仰了墓,,,一行人還興致勃勃地采購了禮品。0,場,只不過前往的旅,話,更沒有人受到行李檢查,啪地21晨9時,機達。場,,臉,邊檢人員也都戴著。全國人民已經在新一屆和的堅強有力的帶下,入抵御的張斗。:10EBxθ,θ<π,2OG=1sin2BG=1cos.

⊙O1、⊙O2F,它們的外公切線分O1、⊙O2AB一條平行于AB的O2C,O1DE求證:△ABC與△BDE的外接圓的公共弦經過點F.(20屆俄羅斯數(shù)學)(提示:如圖11,12O、⊙O的半122,BE 1sinθ

分別 r1、r2∠O1O2x.求出 圖 F、CB、O1A的2cosθ,BH2

易證A、F、C共線.由BFAC

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