2023年高等代數(shù)知識點總結(jié)第三版王萼芳與石生明編

第四章矩陣知識點考點精要一．矩陣及其運(yùn)算1.矩陣的概念(1）由sｎ個數(shù)(ｉ=１,2…s；j＝1，2……n）排成ｎ行n列的數(shù)表,稱為ｓ行n列矩陣,簡記為。（2)矩陣的相等設(shè),,假如m=l,n=k,且，對ｉ=1,2…m;j=1,2……n都成立,則稱A與B相等,記A=B。（3)各種特殊矩陣行矩陣，列矩陣,零矩陣,方陣(上)下三角矩陣，對角矩陣,數(shù)量矩陣,單位矩陣。２.矩陣的運(yùn)算(１）矩陣的加法+=運(yùn)算規(guī)律:i）A+B=B＋Ai)（A+B)＋C=A+(B＋Ｃ)ｉii)A+O=Aiv)A＋(－A)=O(3）數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)律:(k+l）A=kＡ+lA,k（Ａ+B)=ka＋ｋBk（ｌA）=（kl)AlA＝A.(3）矩陣的乘法其中運(yùn)算規(guī)律:i)(AB）C＝A（BC）ｉ)Ａ(Ｂ＋C)=ＡB＋AＣiii)（B+C)A=BA+ＣAiv）k(AB)=A(ｋＢ)=(kA)B一般情況,AＢBＡAＢ=AC,A0Ｂ＝CAＢ=0Ａ=０或B=0(４）矩陣的轉(zhuǎn)置Ａ的轉(zhuǎn)置就是指矩陣運(yùn)算規(guī)律：i)iｉ）iｉｉ)ｉv)（5）方陣的行列式設(shè)方陣Ａ的行列式為運(yùn)算規(guī)律:ｉ)iｉ)iii)，這里A，Ｂ均為n級方陣。二．矩陣的逆1.基本概念(1)矩陣可逆的定義n級方陣A稱為可逆的，假如有n級方陣Ｂ，使得AB＝BA=E，這里E是單位矩陣。（2)隨著矩陣設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式，矩陣稱Ａ的隨著矩陣。２.基本性質(zhì)（１）矩陣Ａ可逆的充足必要條件是A非退化(）,而（2）假如矩陣Ａ,B可逆,那么與AB也可逆,且(３)設(shè)Ａ是sn矩陣，假如Ｐ是ss可逆矩陣,Q是nn可逆矩陣,那么秩(A）＝秩（PA)=秩（ＡＱ）三．分塊矩陣了解分塊矩陣的概念及運(yùn)算，特別是準(zhǔn)對角矩陣的性質(zhì)。對于兩個有相同分塊的準(zhǔn)對角矩陣,假如它們相應(yīng)的分塊是同級的，則（１）(2)（3)（4）A可逆的充要條件是可逆，且此時,四．初等變換與初等方陣１.基本概念（1)初等變換i)用一個非零的數(shù)ｋ乘矩陣的第i行(列）記作 ii)互換矩陣中ｉ,j兩行（列)的位置,記作iii）將第i行(列）的k倍加到第j行（列）上,記作稱為矩陣的三種初等行（列)矩陣。初等行,列變換稱為初等變換所得到的矩陣。(2)初等方陣單位矩陣經(jīng)一次初等變換所得到的矩陣。、2.基本性質(zhì)（1)對一個sn矩陣A作一次初等行變換就相稱于在A的左邊乘上相應(yīng)的ss初等矩陣；對A作一次初等列變換就相稱于在A的右邊乘上相應(yīng)的nn初等矩陣。(２）任意一個sｎ矩陣A都與一形式為的等價,它稱為矩陣Ａ的標(biāo)準(zhǔn)型,主對角線上1的個數(shù)等于A的秩。（3)n級矩陣A為可逆的充足必要條件是，它能表達(dá)成一些初等矩陣的乘積。(４）兩個sn矩陣Ａ，B等價的充足必要條件是，存在可逆的s級矩陣P與可逆的n級矩陣Q，使B＝PAQ。3.用初等變換求逆矩陣的方法把n級矩陣A,E這兩個ｎｎ矩陣湊在一起,得到一個n2n矩陣（ＡE),用初等行變換把它的左邊一半化成E，這時,右邊的一半就是。第五章二次型知識考點精要1．二次型及其矩陣表達(dá)(1）二次型設(shè)P是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域P中的的二次齊次多項式稱為數(shù)域P上的一個n元二次型。（2）二次型矩陣設(shè)是數(shù)域P上的ｎ元二次型，可寫成矩陣形式其中ｘ=,Ａ=。A稱為二次型的矩陣。秩（A）稱為二次型的秩。(3)矩陣的協(xié)議數(shù)域P上nn矩陣A，B稱為協(xié)議的，假如有屬于P上可逆的nn矩陣C，使2.標(biāo)準(zhǔn)型及規(guī)范性定理數(shù)域P上任意一個二次型都可以通過非退化的線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)型用矩陣的語言敘述,即數(shù)域P上任意一個對稱矩陣協(xié)議于一個對角矩陣。定理任意一個復(fù)系數(shù)的二次型通過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶木€性替換化成規(guī)范型且規(guī)范形是唯一的。定理任意一個實系數(shù)的二次型通過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶木€性替換化成規(guī)范型且規(guī)范形是唯一的,其中p稱為此二次型的正慣性指數(shù)，q稱為此二次型的負(fù)慣指數(shù),２p-q稱為此二次型的符號差。3.正定二次型及正定矩陣(1）基本概念i)正定二次型實二次型稱為正定的，假如對于任意一組不全為零的實數(shù),都有ii）正定矩陣實對稱矩陣A稱為正定的,假如二次型正定。iｉi)負(fù)定半正定半負(fù)定不定的二次型設(shè)是一實二次型,對于任意一組不全為零的實數(shù),假如，那么稱為負(fù)定的;假如都有那么稱為半正定的;假如都有,那么稱為半負(fù)定的；假如它既不是半正定的又不是半負(fù)定的，那么就稱為不定的。(2)正定二次型，正定矩陣的鑒定對于實二次型=,其中A是實對稱的,下列條件等價；i）是正定的，ｉ)A是正定的ｉii)的正慣指數(shù)為niv）A與單位矩陣協(xié)議v）A的各階順序主子式大于零第六章線性空間知識點考點精要一．線性空間1．線性空間的定義設(shè)Ｖ是一個非空集合,P是一個數(shù)域。在集合Ｖ的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算；這就是說,給出了一個法則,對于V中的任意兩個元素,在v中都有唯一的一個元素r與它們相應(yīng)，稱為與的和，記為。在數(shù)域P與集合V的元素之間還定義了一種運(yùn)算,叫做數(shù)量乘法；這就是說,對于屬于P中任意數(shù)k與V中任意元素，在V中都有唯一的元素與它們相應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記為。假如加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么Ｖ稱為數(shù)域P上的線性空間。(1)(2)(3）在V中有一元素0,對于V中任意元素都有(具有這個性質(zhì)的元素0稱為V的零元素)；(4）對于V中的每一個元素，都有V中的元素，使得（稱為的負(fù)元素）(5）;(６)（7）（8)２．維數(shù)，基與坐標(biāo)(1）假如在線性空間V中有n個線性無關(guān)的向量。但是沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量,那么V就稱為n維的。假如在V中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量,那么V就稱為無限維的。（2)假如在線性空間V中有n個線性無關(guān)的向量，且V中任歷來量都可以用它們線性表出，那么V是n維的,而就是Ｖ的一組基。（3)在n維線性空間中,n個線性無關(guān)的向量稱為Ｖ的一組基。設(shè)是V中任歷來量，于是，線性相關(guān)，因此可以被基唯一的線性表出，其中系數(shù)稱為在基下的坐標(biāo)，記(）．3．基變換與坐標(biāo)變換（1）設(shè)與是n維線性空間Ｖ中兩組基，假如矩陣稱為到基的過度矩陣。（2）設(shè)與是n維線性空間V中兩組基,由基到基的過度矩陣為A，向量在這兩組基下的坐標(biāo)分別為（）與,則=A。二.線性子空間1．線性子空間(１)數(shù)域Ｐ中線性空間Ｖ的一個非空子集合W稱為Ｖ的一個線性子空間,假如Ｗ對于Ｖ的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間。(2)線性空間V的非空子集W是V的子空間的充足必要條件是W對于V的兩種運(yùn)算封閉。2.子空間的交與和（1）線性空間Ｖ的子空間的交與和,即都是V的子空間。(2)維數(shù)公式假如是線性空間V的兩個子空間，那么維（)+維()=維(）+維(）3．子空間的直和(1)設(shè)是線性空間V的子空間，假如和中的每個向量的分解式,是唯一的,這個和就稱為直和，記為。(2)設(shè)是線性空間V的子空間,下列這些條件是等價的：i)是直和ii）零向量的表達(dá)式是唯一的iｉi）={0}ｉv）維(）＝維（）+維(）。三．線性空間的同構(gòu)1.數(shù)域P上兩個線性空間V與稱為同構(gòu)的,假如由Ｖ到有一個1－--１的映上的映射,具有以下性質(zhì):(1）（2）其中是V中任意向量，ｋ是P中任意數(shù),這樣的映射稱為同構(gòu)映射。2.數(shù)域P兩個有限維數(shù)線性空間同構(gòu)的充足必要條件是它們有相同維數(shù)。第七章線性變換知識點考點精要一.線性變換及其運(yùn)算1.線性變換的定義線性空間V的的一個變換?稱為線性變換,假如對于V中任意元素和數(shù)域P中任意數(shù)ｋ,都有?＝?(）+?()?(K)＝k?（）2．線性變換的運(yùn)算設(shè)?,是數(shù)域P上線性空間Ｖ的兩個線性變換,kP。（１)加法（?+)（)=?(）+(）(2）數(shù)乘（k?)(）＝k?(）（３）乘法(?）（）=?（（）)(4)逆變換V的變換?稱為可逆的,假如有V的變換,使?＝?＝（V的恒等變換）３．設(shè)是數(shù)域P上的n維線性空間V的一組基,?是V中的一個線性變換,基向量的象可以被基線性表出:用矩陣來表達(dá)是A（)=()=（）Ａ（1)其中矩陣Ａ稱為?在基下列矩陣。(2）設(shè)是數(shù)域P上n維向量空間V的一組基,在這組基下,每個線性變換按公式（1）相應(yīng)一個nn矩陣。這個相應(yīng)具有以下性質(zhì):i)線性變換的和相應(yīng)于矩陣的和ii)線性變換的乘積相應(yīng)于矩陣的乘積;iｉi）線性變換的數(shù)量乘積相應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積;ｉｖ)可逆的線性變換與可逆矩陣相應(yīng),且逆變換相應(yīng)于逆矩陣。(3）設(shè)線性變換?在基下的矩陣是A,向量在基下的坐標(biāo)是，則?在基下的坐標(biāo)(）可按公式計算。（4)設(shè)Ａ,Ｂ為數(shù)域P上兩個n級矩陣，假如可以找到數(shù)域P上的n級可逆矩陣Ｘ，使得,就說A相似于B。(５)線性變換在不同基下所相應(yīng)的矩陣是相似的;反過來，假如兩個矩陣相似，那么它們可以看作同一線性變換在兩組基下所相應(yīng)的矩陣。二.特性值與特性向量1.特性值與特性向量的定義設(shè)A是數(shù)域P上線性空間Ｖ的一個線性變換，假如對于數(shù)域P中一數(shù)，存在一非零向量，使得A=,那么稱為A的一個特性值,稱為A的屬于特性值的一個特性向量。2.特性多項式的定義(１）設(shè)Ａ是數(shù)域P上一個n級矩陣,是一個文字,矩陣Ｅ-A的行列式稱為Ａ的特性多項式,這是數(shù)域P上的一個ｎ次多項式,則3．特性值與特性向量的性質(zhì)（１)設(shè)是ｎ級矩陣的全體特性值,則(2)屬于不同特性值的特性向量是線性無關(guān)的。（3)假如是線性變換A的不同的特性值,而是屬于特性值的線性無關(guān)的特性向量，ｉ=1，２…．.，k那么向量組也線性無關(guān)。4.線性變換在某組基下為對角矩陣的條件（1）設(shè)A是n維線性空間Ｖ的一個線性變換,A的矩陣可以在某一組基下為對角矩陣的充要條件是,A有n個線性無關(guān)的特性值。(２)假如在n維線性空間V中的,線性變換A的特性多項式在數(shù)域P中有ｎ個不同的根，即Ａ有n個不同的特性值,那么Ａ在某組基下的矩陣是對角矩陣。（3)在負(fù)數(shù)域上的線性空間中，假如線性變換Ａ的特性多項式?jīng)]有重跟，那么Ａ在某組基下的矩陣是對角矩陣。三.矩陣的相似1.矩陣相似的定義設(shè)A，Ｂ為數(shù)域P上兩個n級矩陣,假如可以找到數(shù)域P上的ｎ級可逆矩陣Ｘ,使得,就說A相似于Ｂ,記為A~B.2.相似矩陣的性質(zhì)(1）相似矩陣有相同的特性多項式.(2)相似矩陣有相同的最小多項式。四．線性變換的值域與核１．設(shè)Ａ是線性空間V的一個線性變換,A的全體象組成的集合稱為Ａ的值域，用AV表達(dá)。AV是V的子空間，維（AV）稱為Ａ的秩,所有被A變成零向量的向量組成的集合稱為A的核，記為。是Ｖ的子空間,維()稱為A的零度。2.設(shè)?是ｎ維線性空間Ｖ的線性變換,是V的一組基。在這組基下?的矩陣是A,則（１）?Ｖ=L（）（2)?的秩=A的秩3.設(shè)A是ｎ維線性空間V的線性變換，則A的秩＋A的零度=ｎ五.不變子空間1.設(shè)Ａ是數(shù)域Ｐ上線性空間V的線性變換,W是V的子空間,假如Ｗ中的向量在A下的象仍在W中，就稱Ｗ是Ａ的不變子空間，簡稱A-子空間。第九章歐幾里得空間知識考點精要一．歐氏空間的基本概念1.設(shè)Ｖ是是數(shù)域R上一線性空間,在V上定義了一個二元實函數(shù),稱為內(nèi)積,記為,特具有一下性質(zhì):(1）；（2）（3）；(4）,當(dāng)且僅當(dāng)=０時=0.這里是V中任意的向量，k是任意實數(shù),這樣的線性空間V稱為歐幾里得空間。2.非負(fù)實數(shù)稱為向量的長度，記為。3．非零向量的夾角規(guī)定為４.假如向量的內(nèi)積為零,即,那么稱為正交或互相垂直，記為。5.設(shè)V是一個n維歐幾里得空間，在V中取一組基令矩陣稱為基的度量矩陣。（1)度量矩陣是正定的;（2）不同基底的度量矩陣是協(xié)議的。6.歐氏空間V中一組非零向量,假如它們兩兩正交，就稱為一正交向量組。在n維歐氏空間中，由n個向量組成的正交向量組稱為正交基；由單位向量組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。二．同構(gòu)1.實數(shù)域R上歐氏空間V與稱為同構(gòu),假如由V到有一個１-１上的映射，適合（1）(2)（3）這里,這樣的映射稱為V到的同構(gòu)映射。2.兩個有限維歐氏空間同構(gòu)的充足條件是它們的維數(shù)相同。三．正交矩陣1.基本概念（１)n級實數(shù)矩陣A稱為正交矩陣，假如。(2)歐氏空間V的線性變換A稱為正交變換，假如它保持向量的內(nèi)積不變,即對任意的都有2．重要結(jié)論設(shè)A是歐氏空間Ｖ的一個線性變換，于是下面4個命題等價:A是正交變換;Ａ保持向量的長度不變，即對于,；假如是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么也是標(biāo)準(zhǔn)正交基;A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。四．正交子空間１.基本概念(1）設(shè)是歐氏空間V中兩個子空間。假如對于任意的恒有=0,則稱為正交的，記。一個向量，假如對于任意的，恒有＝0，則稱與子空間正交，記為。(2)子空間稱為子空間的一個正交補(bǔ),假如,并且＝V。2.重要結(jié)論（1)假如子空間兩兩正交，那么和是直和。（2）歐氏空間V的每一個子空間都有唯一的正交補(bǔ)。(３)恰由所有與正交的向量組成。五.對稱矩陣的性質(zhì)1.實對稱矩陣的性質(zhì)（１)實對稱矩陣的特性值皆為實數(shù)。（2）設(shè)Ａ是n級實對稱矩陣，則中屬于A的不同特性值的特性向量必正交。（3）對于任意一個n級實對稱矩陣A，都存在一個n級正交矩陣T，使成對角矩陣。2.對稱矩陣(１）設(shè)Ａ是歐氏空間Ｖ中的一個線性變換，假如對于任意的，有則稱Ａ為對稱變換。(2)對稱變換的性質(zhì)ｉ)對稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實對稱矩陣。ii）設(shè)A是對稱變換，是A－子空間，則也是A-子空間。iii）設(shè)A是ｎ維歐氏空間V中的對稱變換，則Ｖ中存在一組由A得特性向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。六.向量到子空間的距離,最小二乘法1.長度稱為向量和的距離，記為，且(1）=(2），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立;（3)(三角不等式)2．實系數(shù)線性方程組也許無解,即任何一組實數(shù)都也許使不等于零，尋找實數(shù)組使上式最小,這樣的稱為方程組的最小二乘解。3．線性方程組AX=b的最小二乘解即為滿足方程組的解第十章雙線性函數(shù)知識點考點精要一．線性函數(shù)1.基本概念?(1）設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間,f是V到Ｐ的一個映射,假如f滿足:i）ii)其中是V中任意元素，k是P中任意數(shù)，則稱ｆ為V上的一個線性函數(shù)。（2）設(shè)Ｖ是數(shù)域P上的一個n維線性空間。V上全體線性函數(shù)組成的集合記作Ｌ(V,Ｐ)。用自然數(shù)方法定義Ｌ(V，P）中的加法和數(shù)量乘法,L（Ｖ,P)稱為數(shù)域Ｐ上的線性空間,稱為V的對偶空間。（3)設(shè)數(shù)域P上n維線性空間V的一組基為,作V上n個線性函數(shù),使得則為Ｌ(V,P)的一組基，稱為的對偶基。２.重要結(jié)論(1）設(shè)V是Ｐ上一個n維線性空間，是V的一組基，是P中任意n個數(shù)，存在唯一的V上線性函數(shù)f使，。（２)設(shè)及是線性空間V的兩組基，它們的對偶基分別為及。假如由到的過度矩陣為A，那么由到的過度矩陣為。（３）設(shè)V是Ｐ上一個線性空間,是其對偶空間,取定V中一個向量x，定義的一個函數(shù)如下：容易驗證