2023屆高三數(shù)學第75練古典概型與幾何概型練習

第75練古典概型與幾何概型訓練目標(1)理解古典概型的概念、會求古典概型的概率；(2)會利用幾何概型的計算公式求幾何概型的概率．訓練題型(1)求簡單古典概型的概率；(2)與其他知識交匯求古典概型的概率及古典概型的應(yīng)用；(3)長度型、面積型、體積型幾何概型；(4)幾何概型的應(yīng)用．解題策略對于古典概型：讀懂題目，抓住解決問題的實質(zhì)，即確定根本領(lǐng)件個數(shù)及所求事件包含根本領(lǐng)件的個數(shù)．對于幾何概型：(1)理解并會應(yīng)用計算公式；(2)利用圖形的幾何性質(zhì)求面積、體積，復雜圖形可利用分割法、補形法.一、選擇題1．(2023·亳州質(zhì)檢)集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點，O為坐標原點，那么直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)2．(2023·青島一模)如下圖，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形，假設(shè)直角三角形中較小的銳角θ＝eq\f(π,6).現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，那么飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是()A.eq\f(2－\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)3.(2023·長沙調(diào)研)如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影局部由曲線f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直線x＝a(a∈(0，π))與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機投擲一點，假設(shè)該點落在陰影局部的概率為eq\f(3,16)，那么a的值為()A.eq\f(7π,12) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)4．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，在長軸A1A2上任取一點M，過M作A1A2的垂線交橢圓的于點P，那么使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))<0的點M的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2\r(6),3) D.eq\f(\r(6),3)5．拋擲兩枚均勻的骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，那么直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k≥－eq\f(1,2)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)6．我們把日均收看體育節(jié)目的時間超過50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷〞．5名“超級體育迷〞中有2名女性，假設(shè)從中任選2名，那么至少有1名女性的概率為()A.eq\f(7,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)7.如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上．假設(shè)在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，那么此點取自陰影局部的概率等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)8．(2023·昆明一模)小明從某書店購置5本不同的教輔資料，其中語文2本，數(shù)學2本，物理1本．假設(shè)將這5本書隨機排并擺放在書架的同一層上，那么同一科目的書都不相鄰的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)二、填空題9．從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數(shù)，那么這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為________．10．正月十六登高是“中國石刻藝術(shù)之鄉(xiāng)〞、“中國民間文化藝術(shù)之鄉(xiāng)〞四川省巴中市沿襲千年的獨特民俗．登高節(jié)前夕，李大伯在家門前的樹上掛了兩串喜慶彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是________．11．平面區(qū)域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|kx－y＋2<0}．在區(qū)域D1內(nèi)隨機選取一點M，假設(shè)點M恰好取自區(qū)域D2的概率為p，且0<p≤eq\f(1,8)，那么k的取值范圍是______________．12.如下圖，在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點P(x，y)，那么點P到原點O的距離小于1的概率是__________.答案精析1．C[易知過點(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的情況無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，由古典概型知概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).]2．A[易知小正方形的邊長為eq\r(3)－1，故小正方形的面積為S1＝(eq\r(3)－1)2＝4－2eq\r(3)，大正方形的面積為S＝2×2＝4，故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4－2\r(3),4)＝eq\f(2－\r(3),2).]3．B[由題意知，陰影局部的面積為eq\i\in(0,a,)sinxdx＝(－cosx)＝－cosa＋cos0＝1－cosa，根據(jù)幾何概型的概率計算公式知eq\f(1－cosa,a·\f(8,a))＝eq\f(3,16)，即cosa＝－eq\f(1,2)，而a∈(0，π)，故a＝eq\f(2π,3)，應(yīng)選B.]4．D[設(shè)P(x，y)，那么eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))<0?(－eq\r(3)－x，－y)·(eq\r(3)－x，－y)<0?x2－3＋y2<0?x2－3＋1－eq\f(x2,4)<0?|x|<eq\f(2\r(6),3)，故所求的概率為eq\f(\f(4\r(6),3),4)＝eq\f(\r(6),3).]5．D[記a，b的取值為數(shù)對(a，b)，由題意知(a，b)的所有可能的取值有36種．由直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k＝－eq\f(b,a)≥－eq\f(1,2)，知eq\f(b,a)≤eq\f(1,2)，那么滿足題意的(a，b)可能的取值為(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9種，所以所求概率為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).]6．A[用ai表示男性，其中i＝1,2,3，bj表示女性，其中j＝1,2.記“選出的2名全都是男性〞為事件A，“選出的2名有1名男性1名女性〞為事件B，“選出的2名全都是女性〞為事件C，那么事件A包含(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3個根本領(lǐng)件，事件B包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6個根本領(lǐng)件，事件C包含(b1，b2)，共1個根本領(lǐng)件．事件A，B，C彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B和C，所以所求事件的概率為eq\f(6＋1,3＋6＋1)＝eq\f(7,10).]7．B[依題意得，點C的坐標為(1,2)，所以點D的坐標為(－2,2)，所以矩形ABCD的面積S矩形ABCD＝3×2＝6，陰影局部的面積S陰影＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，根據(jù)幾何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝eq\f(S陰影,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4)，應(yīng)選B.]8．B[語文、數(shù)學只有一科的兩本書相鄰，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝48(種)擺放方法；語文、數(shù)學兩科的兩本書都相鄰，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24(種)擺放方法；而五本不同的書排成一排總共有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)擺放方法．故所求概率為1－eq\f(48＋24,120)＝eq\f(2,5).應(yīng)選B.]9.eq\f(1,6)解析十個數(shù)中任取七個不同的數(shù)共有Ceq\o\al(7,10)種情況，七個數(shù)的中位數(shù)為6，那么6只能處在中間位置，有Ceq\o\al(3,6)種情況，于是所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(1,6).10.eq\f(3,4)解析設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x，y，∴全部根本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)域為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，))符合題意的區(qū)域為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤y－x≤2，))如下圖，由幾何概型可知，所求概率為P＝1－eq\f(2×\f(1,2)×2×2,16)＝eq\f(3,4).11．[－1,0)∪(0,1]解析如下圖，平面區(qū)域D1是由邊長等于4的正方形內(nèi)部的點構(gòu)成的，其面積為16，直線kx－y＋2＝0恒過定點P(0,2)．由于原點必在區(qū)域D2外，且圖中每個陰影三角形的面積與大正方形的面積之比均為eq\f(1,8)，故當k>0