江西省上饒市德愛中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

江西省上饒市德愛中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線C：的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A2.已知直線與曲線在點P（1，1）處的切線互相垂直，則的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D3.隨機變量X，Y滿足：，，若，則（

）A.5 B.4 C.7 D.9參考答案：B【分析】由，，求出值，由此求出，，再利用，即可得到答案?！驹斀狻坑捎陔S機變量滿足：，，，解得：，即，又隨機變量，滿足：，，故答案選B【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，考查二項分布、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題。4.古詩云：遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增．共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？（）A．2 B．4 C．3 D．5參考答案：C【考點】84：等差數(shù)列的通項公式．【分析】設(shè)尖頭a1盞燈，每層燈數(shù)由上到下形成等比數(shù)列{an}，公比q=2．利用求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)尖頭a1盞燈，每層燈數(shù)由上到下形成等比數(shù)列{an}，公比q=2．∴=381，解得a1=3．故選：C．5.與是定義在上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，若,滿足，則與滿足

A．

B．為常數(shù)函數(shù)

C.

D.為常數(shù)函數(shù)參考答案：B試題分析：由與在上可導(dǎo)，且,滿足，故所以為常數(shù)函數(shù)

考點：

可導(dǎo)函數(shù)的四則運算，常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)6.已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（）A．3 B．2 C．1 D．參考答案：A【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】根據(jù)斜率，對已知函數(shù)求導(dǎo)，解出橫坐標，要注意自變量的取值區(qū)間．【解答】解：設(shè)切點的橫坐標為（x0，y0）∵曲線的一條切線的斜率為，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合題意），即切點的橫坐標為3故選A．7.如果命題p(n)對n＝k成立(n∈N*)，則它對n＝k＋2也成立，若p(n)對n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是(

)．A．p(n)對一切正整數(shù)n都成立

B．p(n)對任何正偶數(shù)n都成立C．p(n)對任何正奇數(shù)n都成立D．p(n)對所有大于1的正整數(shù)n都成立

參考答案：B略8.在區(qū)間[0,1]上任意取兩個實數(shù)x，y，則的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】作出點所在的平面區(qū)域是正方形，滿足的點在線段左上方的陰影部分，利用幾何概型概率公式計算即可得解?！驹斀狻坑深}可得：作出點所表示的平面區(qū)域如下圖的正方形，又滿足的點在線段左上方的陰影部分，所以的概率為.故選：A【點睛】本題主要考查了轉(zhuǎn)化能力及數(shù)形結(jié)合思想，還考查了幾何概型概率計算公式，屬于中檔題。9.若方程表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的標準方程．【分析】先根據(jù)橢圓的標準方程，進而根據(jù)焦點在y軸推斷出2﹣m2＞m＞0，從而求得m的范圍．【解答】解：由題意，∴2﹣m2＞m＞0，解得：0＜m＜1，∴實數(shù)m的取值范圍是0＜m＜1．故選B．10.如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則=()參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列等式：＝2cos，＝2cos，＝2cos，…，請從中歸納出第n個根式＝________．參考答案：12.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為實數(shù)，a≠0)的圖象過點C(t,2)，且與x軸交于A，B兩點，若AC⊥BC，則a的值為________．參考答案：－13.函數(shù)的值域是

參考答案：略14.用秦九韶算法計算多項式

當(dāng)時的值為_________。參考答案：015.如圖，已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點F恰好是拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，且兩曲線的公共點連線AB過F，則雙曲線的離心率是．參考答案：+1【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線方程得到焦點坐標和交點坐標，代入雙曲線，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式兩邊同除以a4，得到關(guān)于離心率e的方程，進而可求得e．【解答】解：由題意，∵兩條曲線交點的連線過點F∴兩條曲線交點為（，p），即（c，p）代入雙曲線方程得化簡得c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故答案為+1．【點評】本題考查由圓錐曲線的方程求焦點、考查雙曲線的三參數(shù)的關(guān)系：c2=a2+b2注意與橢圓的區(qū)別．16.不透明的盒子中有大小、形狀和質(zhì)地都相同的5只球，其中2只白球，3只紅球，現(xiàn)從中隨機取出2只球，則取出的這2只球顏色相同的概率是_________.參考答案：.【分析】根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】從5只球中隨機取出2只球，共有種基本事件,從5只球中取出2只球顏色相同求，共有種基本事件,因此所求概率為17.某班有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布，已知，估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上有

人.參考答案：考點：正態(tài)分布的性質(zhì)及運用．【易錯點晴】正態(tài)分布是隨機變量的概率分布中最有意義最有研究價值的概率分布之一.本題這個分布的是最優(yōu)秀的分布的原因是從正態(tài)分布的圖象來看服從這一分布的數(shù)據(jù)較為集中的分分布在對稱軸的兩邊,而且整個圖象關(guān)于對稱.所以解答這類問題時一定要借助圖象的對稱性及所有概率(面積)之和為這一性質(zhì),否則解題就沒了思路,這一點務(wù)必要學(xué)會并加以應(yīng)用.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，求實數(shù)a的值；（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若對任意兩個不等的正數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若在上存在一點x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得a的方程，解得a即可；（2）由題意可得即為＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0，分離參數(shù)a，由二次函數(shù)的最值，即可得到a的范圍；（3）原不等式等價于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，設(shè)m（x）=x﹣alnx+，求得它的導(dǎo)數(shù)m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三種情況加以討論，分別解關(guān)于a的不等式得到a的取值，最后綜上所述可得實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為x﹣，曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線斜率為k=1﹣a，由切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，對任意兩個不等的正數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，即為＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，則a≥1，即a的取值范圍是上存在一點x0，使得m（x0）＜0．對m（x）求導(dǎo)數(shù)，得m′（x）=1﹣﹣==，因為x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0時，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1時，m（x）在1+a處取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因為1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③當(dāng)1+a＞e，即a＞e﹣1時，m（x）在上單調(diào)遞減，只需m（e）＜0，得a＞，又因為e﹣1﹣=＜0，則a＞．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【點評】本題給出二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，求切線的方程和函數(shù)的單調(diào)性的運用，著重考查了導(dǎo)數(shù)的公式和運算法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)在最大最小值問題中的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．19.（12分）已知直線l過坐標原點O，圓C的方程為.（1）當(dāng)直線l的斜率為時，求l與圓C相交所得的弦長；（2）設(shè)直線l與圓C交于兩點A，B，且A為OB的中點，求直線l的方程．

參考答案：解：（1）由已知，直線l的方程為y=x，圓C圓心為（0，3），半徑為，所以，圓心到直線l的距離為=．…所以，所求弦長為2=2．（2）設(shè)A（x1，y1），因為A為OB的中點，則B（2x1，2y1）．又A，B在圓C上，所以x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．解得y1=1，x1=±1，即A（1，1）或A（﹣1，1）所以，直線l的方程為y=x或y=﹣x．20.遂寧市觀音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：（1）若甲乙兩艘船同時到達港口，雙方約定各派一名代表從1，2,3,4,5中各隨機選一個數(shù)（甲、乙選取的數(shù)互不影響），若兩數(shù)之和為偶數(shù)，則甲先?？?；若兩數(shù)之和為奇數(shù)，則乙先?？?，這種規(guī)則是否公平？請說明理由.（2）根據(jù)以往經(jīng)驗，甲船將于早上7:00?8:00到達，乙船將于早上7:30?8:30到達，請求出甲船先?？康母怕?參考答案：（1）這種規(guī)則是不公平的設(shè)甲勝為事件，乙勝為事件,基本事件總數(shù)為種. 則甲勝即兩編號和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)有13個：，∴甲勝的概率乙勝的概率∴這種游戲規(guī)則不公平. （2）設(shè)甲船先?？繛槭录?甲船到達的時刻為,乙船到達的時刻為，可以看成是平面中的點，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為，這是一個正方形區(qū)域，面積，事件所構(gòu)成的區(qū)域為，，這是一個幾何概型，所以.21.如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=，M為DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求證：AD⊥BM（Ⅱ）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E﹣AM﹣D的余弦值為．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明BM⊥平面ADM即可證明AD⊥BM（Ⅱ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夾角關(guān)系，解方程即可．【解答】（1）證明：∵長方形ABCD中，AB=2，AD=，M為DC的中點，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD?平面ADM∴AD⊥BM；

（2）建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)，則平面AMD的一個法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），設(shè)平面AME的一個法向量為=（x，y，z），則，取y=1，得x=0，z=，則=（0，1，），∵cos＜，＞