高等代數(shù)第二章 多項(xiàng)式教案

第二章多項(xiàng)式教學(xué)目的要求一元多項(xiàng)式在本章中占有突出的重要位置．它對培養(yǎng)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)是非常必要的.應(yīng)著重掌握以下問題：多項(xiàng)式的確切定義、多項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)、零多項(xiàng)式零次多項(xiàng)式的意義、整除性問題的理論及方法、多項(xiàng)式與方程的聯(lián)系與區(qū)別、多項(xiàng)式的函數(shù)觀點(diǎn)、有里數(shù)域上多項(xiàng)式的有關(guān)問題、實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式、多元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算、對稱多項(xiàng)式的定義及基本定理等．教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算（2學(xué)時）；多項(xiàng)式的整除性（4學(xué)時）；最大公因式（4學(xué)時）；因式分解定理（4學(xué)時）；重因式（4學(xué)時）；多項(xiàng)式函數(shù)及多項(xiàng)式的根（4學(xué)時）；復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式（4學(xué)時）；有理數(shù)域上的多項(xiàng)式（4學(xué)時）多元多項(xiàng)式；對稱多項(xiàng)式（2學(xué)時）；習(xí)題課（2學(xué)時）．重點(diǎn)、難點(diǎn)理解基本概念，掌握一元多項(xiàng)式次數(shù)定理，多項(xiàng)式的乘法消去律；帶余除法定理的證明及應(yīng)用，多項(xiàng)式因式分解的存在唯一性定理，多項(xiàng)式的可約與數(shù)域有關(guān)，多項(xiàng)式?jīng)]有重因式的充分必要條件，余數(shù)定理，綜合除法，代數(shù)基本定理，C、R、Q上多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式的字典排列法，初等對稱多項(xiàng)式表示對稱多項(xiàng)式．教學(xué)手段傳統(tǒng)教學(xué)和多媒體教學(xué)相結(jié)合．2．1一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算教學(xué)目的掌握一元多項(xiàng)式的定義,有關(guān)概念和基本運(yùn)算性質(zhì).重點(diǎn)、難點(diǎn)一元多項(xiàng)式次數(shù)定理，多項(xiàng)式的乘法消去律．教學(xué)過程講授練習(xí)．１.多項(xiàng)式的定義令R是一個數(shù)環(huán),并且R含有數(shù)1,因而R含有全體整數(shù).在這一章里,凡是說到數(shù)環(huán),都作這樣的約定,不再每次重復(fù)先討論R上一元多項(xiàng)式定義1數(shù)環(huán)R上一個文字x的多項(xiàng)式或一元多項(xiàng)式指的是形式表達(dá)式，（１）這里n是非負(fù)整數(shù)而都是R中的數(shù).在多項(xiàng)式(1)中,叫做零次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng),叫做一次項(xiàng),一般,叫做i次項(xiàng),叫做i次項(xiàng)的系數(shù).一元多項(xiàng)式常用符號f(x),g(x),來表示.2.相等多項(xiàng)式:定義2若是數(shù)環(huán)R上兩個一元多項(xiàng)式f(x)和g(x)有完全相同的項(xiàng),或者只差一些系數(shù)為零的項(xiàng),那么f(x)和g(x)說是相等;f(x)=g(x)非負(fù)整數(shù)n叫做多項(xiàng)式,()的次數(shù).系數(shù)全為零的多項(xiàng)式?jīng)]有次數(shù),這個多項(xiàng)式叫做零多項(xiàng)式.按照定義2,零多項(xiàng)式總可以記為0.以后談到多項(xiàng)式f(x)的次數(shù)時,總假定f(x)0.多項(xiàng)式的次數(shù)有時就簡單地記作.3.多項(xiàng)式的運(yùn)算:是數(shù)環(huán)R上兩個多項(xiàng)式，并且設(shè)mn，多項(xiàng)式f(x)與g(x)的和f(x)+g(x)指的是多項(xiàng)式這里當(dāng)m<n時,取多項(xiàng)式f(x)與g(x)的積f(x)g(x)指的是多項(xiàng)式這里我們定義f(x)和g(x)的差f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))多項(xiàng)式加法和乘法的運(yùn)算規(guī)則①加法交換律:f(x)+g(x)=g(x)+f(x)；②加法結(jié)合律:(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x));③乘法交換律:f(x)g(x)=g(x)f(x);④乘法結(jié)合律:(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));⑤乘法對加法的分配律:f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)有時候把一個多項(xiàng)式按"降冪"書寫是方便的，這時將多項(xiàng)式寫成⑵當(dāng)時，叫做多項(xiàng)式⑵的首項(xiàng)5.多項(xiàng)式的運(yùn)算性質(zhì)定理2.1.1設(shè)f(x)和g(x)是數(shù)環(huán)R上兩個多項(xiàng)式,并且f(x)0,g(x)0.那么a)當(dāng)f(x)+g(x)0時,b)證：設(shè)，，并且.那么，⑶，⑷由（3），f(x)+g(x)的次數(shù)顯然不超過n，另一方面，由an0，bm0得anbm0．所以由(5)得f(x)g(x)的次數(shù)是n+m.推論2.1.2f(x)g(x)=0必要且只要f(x)證若是f(x)和g(x)中有一個是零多項(xiàng)式，那么由多項(xiàng)式乘法定義得f(x)g(x)=０(x)0且g(x)0，那么由上面定理的證明得f(x)g(x)．推論2.1.3若是f(x)g(x)=f(x)h(x),且f(x)0，那么h(x)=g(x)證由f(x)g(x)=f(x)h(x)得f(x)(g(x)-h(x))=0．f(x)0，所以由推論2.1.2必有g(shù)(x)-h(x)=0,即g(x)=h(x).由于推論2.1.3成立,我們說,多項(xiàng)式的乘法適合消去法。我們用R[X]來表示數(shù)環(huán)R上一個文字x的多項(xiàng)式的全體，并且把在R中如上定義了加法和乘法運(yùn)算的R[X]叫做數(shù)環(huán)R上的一元多項(xiàng)式環(huán)．作業(yè)P31:1,3.2.2多項(xiàng)式的整除性教學(xué)目的掌握一元多項(xiàng)式整除的概念及其性質(zhì),熟練運(yùn)用帶余除法求以g(x)(g(x)0)除f(x)所得的商式和余式.重點(diǎn)、難點(diǎn)帶余除法定理的證明.教學(xué)過程講授練習(xí).1.多項(xiàng)式整除的概念設(shè)F是一個數(shù)域.F[x]是F上一元多項(xiàng)式環(huán).定義令f(x)和g(x)是數(shù)域F上多項(xiàng)式環(huán)F[x]的兩個多項(xiàng)式.如果存在F[x]的多項(xiàng)式h(x),使g(x)=f(x)h(x),我們就說,f(x)整除(能除盡)g(x),用符號f(x)g(x)表示，f(x)不能整除g(x)，f(x)g(x)時,f(x)說是g(x)的一個因式.2.多項(xiàng)式整除性的一些基本性質(zhì)1)如果f(x)g(x),g(x)h(x),那么f(x)h(x).2)如果h(x)f(x),h(x)g(x),那么h(x)(f(x)g(x)).3)如果h(x)f(x),那么對于F[x]中任意多項(xiàng)式g(x)來說,h(x)f(x)g(x).4)如果,i=1,2,,t,那么對F[x]中任意gi(x),i=1,2,,t,5)零多項(xiàng)式，也就是F中不等于零的數(shù)，整除任一多項(xiàng)式.6)每一個多項(xiàng)式f(x)都能被cf(x)整除，這里c是F中任一不等于零的數(shù).事實(shí)上,f(x)=1/c(cf(x)).7)如果,那么f(x)=cg(x),這里c是F中任一不等于零的數(shù).定理2.2.1設(shè)f(x)和g(x)是F[x]的任意兩個多項(xiàng)式,并且g(x)0.那么在F[x]中可以找到多項(xiàng)式q(x)和r(x),使f(x)=g(x)q(x)+r(x),（3）這里或者r(x)=0,或者r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù).滿足以上條件的多項(xiàng)式q(x)和r(x)只有一對.證先證定理的前一部分.若是f(x)=0,或f(x)的次數(shù)不小于g(x)的次數(shù).那么可以取q(x)=0,r(x)=f(x).現(xiàn)在假定f(x)的次數(shù)不小于g(x)的次數(shù),我們把f(x)和g(x)按降冪寫:這里,并且nm.用中學(xué)代數(shù)中多項(xiàng)式除多項(xiàng)式的方法，自f(x)減去g(x)與的積，那么f(x)的首項(xiàng)被消去，而我們得到F[x]的一個多項(xiàng)式:有以下性質(zhì)：或者=0,或者的次數(shù)小f(x)的次數(shù)n.若是0，并且的次數(shù)仍不小于g(x)的次數(shù)m,那么用同樣的步驟我們可以得到F[x]的一個多項(xiàng)式:這里是的首項(xiàng)系數(shù).有以下性質(zhì)：或者=0，或者的次數(shù)小于的次數(shù).這樣作下去，由于多項(xiàng)式,，的次數(shù)是遞降的，最后一定達(dá)到這樣的一個多項(xiàng)式:而＝0或的次數(shù)小于m.總起來，我們得到等式：………….把這些等式加起來，得這樣，Ｆ［x］的多項(xiàng)式滿足等式（３），并且或者r(x)=0，或者r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)．現(xiàn)在證明定理的后一部分．假定還能找到Ｆ[x]的多項(xiàng)式q(x)和r(x)，使f(x)=g(x)q(x)+r(x),并且或者r(x)＝０，或者r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，那么由等式（３）減去等式（４），得g(x)[q(x)－q(x)]=r(x)－r(x)(4)若是那么q(x)－q(x)也不能等于零．這時等式右邊的次數(shù)將小于g(x)的次數(shù)，而等式左邊的次數(shù)將小于g(x)的次數(shù)．這不可能．因此必然有因而這就是說，q(x)=q(x)，r(x)=r(x)．我們看到，在以上的證明中，對于已給多項(xiàng)式f(x)和g(x)來求出q(x)和r(x)方法正是中學(xué)代數(shù)中多項(xiàng)式除多項(xiàng)式的方法，這種方法叫作帶余除法．多項(xiàng)式q(x)和r(x)分別叫作以g(x)除f(x)所得的商式和余式,若是g(x)=0，那根據(jù)整除的定義，g(x)只能整除零多項(xiàng)式0.若是g(x)?0，那么由以上定理，當(dāng)且僅當(dāng)以g(x)除f(x)所得余式r(x)=0的時候，g(x)能整除f(x).3.系數(shù)所在范圍對整除性的影響設(shè)Ｆ和F是兩個數(shù)域，并且F含有Ｆ，那么多項(xiàng)式環(huán)F［x］含有多項(xiàng)式環(huán)Ｆ[x]．因此Ｆ上的一個多項(xiàng)式f(x)也是F上的一個多項(xiàng)式．設(shè)數(shù)域F含有數(shù)域Ｆ而f(x)和g(x)是Ｆ[x]的兩個多項(xiàng)式．如果在F[x]里g(x)不能整除f(x)，那么在F［x］里g(x)也不能整除f(x)．事實(shí)上，若g(x)＝０，那么由于在Ｆ[x]里g(x)不能整除f(x)，f(x)不能等于0．因此在F［x］里g(x)顯然仍不能整除f(x).假定，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：f(x)=g(x)q(x)+r(x)，并且．但是Ｆ[x]的多項(xiàng)式q(x)和r(x)都是F［x］的多項(xiàng)式，因而在F［x］里，這一等式仍然成立．于是由r(x)的唯一性得出，F(xiàn)［x］里g(x)仍然不能整除f(x).作業(yè)：P38：1，2，3，4，5，7.多項(xiàng)式的最大公因式教學(xué)目的要求掌握兩個(n個)多項(xiàng)式的公因式,最大公因式互素的概念及性質(zhì);熟練地應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法求出(f(x),g(x)),并會求u(x),v(x).使得:f(x)u(x)+g(x)v(x)=(f(x),g(x))，運(yùn)用概念或充要條件判斷問題.重點(diǎn)難點(diǎn)多項(xiàng)式最大公因式的存在唯一性定理.教學(xué)過程講授、練習(xí).1.f(x)與g(x)的最大公因式設(shè)F是一個數(shù)域,Fx是F上一元多項(xiàng)式環(huán).定義一令f(x)和g(x)是Fx的兩個多項(xiàng)式.若是Fx的一個多項(xiàng)式h(x)同時整除f(x)和g(x),那么h(x)叫做f(x)與g(x)的一個公因式.定義二設(shè)d(x)是多項(xiàng)式f(x)與g(x)的一個公因式.若是d(x)能被f(x)與g(x)的每一個公因式整除,那么d(x)叫做f(x)與g(x)的一個最大公因式.定理2.3.1Fx的任意兩個多項(xiàng)式f(x)與g(x)一定有最大公因式.個零次因式外,f(x)與g(x)的最大公因式是唯一確定的,這就是說,若是d(x)是f(x)與g(x)的一個最大公因,那么數(shù)域F的任何一個不為零的數(shù)c與d(x)的乘積cd(x),而且只有這樣的乘積是f(x)與g(x)的最大公因式.證我們可以完全類比著定理1.4.2的證明來證明這個定理.然而為了給出一種實(shí)際求最大公因式的方法,我們另外給出一個證明.先證明定理的前一部分.若是f(x)=g(x)=0,那么根據(jù)定義,f(x)與g(x)的最大公因式就是0.假定f(x)與g(x)不都等于零,比方說,g(x)0.應(yīng)用帶余除法,以g(x)除f(x),得商式q1(x)及余式r1(x).如果r1(x)0,那么再以r1(x)除g(x),得商式q2(x)及余式r2(x).如果r2(x)0,再以r2(x)除r1(x),如此繼續(xù)下去,因?yàn)橛嗍降拇螖?shù)每次降低,所以作了有限次這種除法后,必然得出這樣一個余式rk(x),它整除前一個余式r(x).這樣我們得到一串等式:……我們說,rk(x)就是f(x)與g(x)的一個最大公因式.的最后一個等式說明整除.因此得,整除倒數(shù)第二個等式右端的兩項(xiàng),因而也就整除.同理,由倒數(shù)第三個等式看出也整除.如此逐步往上推，最后得出能整除g(x)與f(x).這就是說,rk(x)是f(x)與g(x)的一個最大公因式.其次,假定h(x)是f(x)與g(x)的任一公因式,那么由(1)的第一個等式,h(x)也一定能整除r1(x)同理,由第二個等式,h(x)也能整除.如此逐步往下推,最后得出h(x)能整除.這樣,的確是f(x)與g(x)的一個最大公因式.定理的后一論斷可由最大公因式的定義以及前一章的性質(zhì)1),6)及7)直接推出.我們不但證明了任意兩個多項(xiàng)式都有最大公因式,并且也獲得了實(shí)際求出這樣一個最大公因式的一種方法.這種方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法.我們也看到,兩個零多項(xiàng)式的最大公因式就是0,它是唯一確定的.兩個不全為零的多項(xiàng)式的最大公因式總是非零多項(xiàng)式,它們之間只有常數(shù)因子的差別.在這一情形我們約定,最大公因式指的是最高次項(xiàng)系數(shù)是1的那一個.這樣,在任何情形,兩個多項(xiàng)式f(x)與g(x)的最大公因式就都唯一確定了.我們以后用符號(f(x),g(x))來表示這樣確定的最大公因式.由于可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩個多項(xiàng)式的最大公因式,我們還可以得出一個結(jié)果.我們知道,若是數(shù)域含有F,那么Fx的多項(xiàng)式f(x)與g(x)可以看作的多項(xiàng)式.我們有以下事實(shí):令是含F(xiàn)的一個數(shù)域,d(x)是這兩個多項(xiàng)式在Fx中最高項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式,而是這個多項(xiàng)式在中最高項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式.那么.這就是說,從數(shù)域F過渡到數(shù)域時,f(x)與g(x)的最大公因式?jīng)]有改變.事實(shí)上,若f(x)=g(x)=0,那么.設(shè)f(x)與g(x)之中至少有一個不等于零.不論我們把f(x)與g(x)看成Fx 或的多項(xiàng)式,在我們對這兩個多項(xiàng)式施行輾轉(zhuǎn)相除法時,總得到同一的最后余式.因此這樣得來的既是f(x)與g(x)在Fx里的也是它們在里的一個最大公因式.令的首項(xiàng)系數(shù)是c.那么由上面的約定例1令F是有理數(shù)域.求Fx的多項(xiàng)式，的最大公因式.把f(x)先乘以2,再用g(x)來除(乘以2)這樣，得到第一余式把乘以3，再用去除：（乘以3）約去公因子56后，得出第二余式且整除∴例2．令F是有理域．求出Ｆ[x]的最大公因式的最大公因式d(x)以及滿足等式（２）的多項(xiàng)式u(x)與v(x)．對f(x)與g(x)施行輾轉(zhuǎn)相除法．但是現(xiàn)在不允許用一個零次多項(xiàng)式或除式．因?yàn)樵谇蠖囗?xiàng)式u(x)與v(x)時，不僅要用到余式，同時也要用到商式．施行除法的結(jié)果，我們得到以下一串等式：由此得出，x-1是f(x)與g(x)的最大公因式，而u(x)=-1/3(x-1)，v(x)=1/3(2x-2x-3)．定義3如果Ｆ[x]的兩個多項(xiàng)式除零次多項(xiàng)式外不再有其它的公因式，我們就說，這兩個多項(xiàng)式互素．顯然，若多項(xiàng)式f(x)與g(x)互素，那么，１是它們的最大公因式；反之，若１是f(x)與g(x)的最大公因式，那么這兩個多項(xiàng)式互素．定理2.3.3F[x]的兩個多項(xiàng)式f(x)與g(x)Ｆ[x]中可以求得多項(xiàng)式u(x)與v(x),使⑷事實(shí)上，若f(x)與g(x)互素，那么它們有最大公因式１，因而由定理2.3.2,可以找u(x)與v(x),使等式(4)成立。反之，由等式（4）可得，f(x)與g(x)的每一公因式都能整除1，因而都是零次多項(xiàng)式.3、互素的性質(zhì)（甲）若多項(xiàng)式f(x)和g(x)都與多項(xiàng)式h(x)互素，那么乘積f(x)g(x)也與h(x)互素。（乙）若多項(xiàng)式h(x)整除多項(xiàng)式f(x)與g(x)的乘積，而h(x)與f(x)互素，那么h(x)一定整除g(x).（丙）若多項(xiàng)式g(x)與h(x)都整除多項(xiàng)式f(x)，而g(x)與h(x)互素，那么乘積g(x)h(x)也一定整除f(x).4、n(n>2)個多項(xiàng)式互素的情形若多項(xiàng)式h(x)整除多項(xiàng)，中的每一個，那么h(x)叫做這n個多項(xiàng)式的一個公因式。若是的公因式d(x)能被這n個多項(xiàng)式的每一個公因式整除，那么d(x)叫做的一個最大公因式.容易推出：若是多項(xiàng)式若是的一個最大公因式，那么與多項(xiàng)式的最大公因式也是多項(xiàng)式若是的最大公因式.這樣，由于兩個多項(xiàng)式的最大公因式總是存在的，所以n個多項(xiàng)式的最大公因式也總是存在的，并且可以累次應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法來求出.與兩個多項(xiàng)式的情形一樣，n個多項(xiàng)式的最大公因式也只有常數(shù)因子的差別。我們約定n個不全為零的多項(xiàng)式的最大公因式指的是最高次項(xiàng)數(shù)是1的那一個。那n個多項(xiàng)式是最大公因式就是唯一確定的.我們用符號（）表示這樣確定的最大公因式.最后，若是多項(xiàng)式除零次多項(xiàng)式外，沒有其它公因式，就說這一組多項(xiàng)式互素。我們要注意，n(n>2)個多項(xiàng)互素時，它們并不一定兩兩互素。例如，多項(xiàng)式是互素的，但作業(yè)：P48：1，2，3，4，5，6，102.4多項(xiàng)式的分解教學(xué)目的掌握有可約的多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)；掌握唯一分解定理；會用兩個多項(xiàng)式的典型分解式求出它們的最大公因式.重點(diǎn)、難點(diǎn)兩條主要定理（唯一因式分解的定理）證明及應(yīng)用；多項(xiàng)式的可約性與數(shù)域有關(guān).教學(xué)過程講授、練習(xí).1.不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)給定F[x]的任何一個多項(xiàng)式f(x),那么F的任何不為零的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c與f(x)的乘積cf(x)也總是f(x)的因式.我們把f(x)的這樣的因式叫做它的平凡因式.任何一個零次多項(xiàng)式顯然只有平凡因式.一個次數(shù)大于零的多頂式可能只有平凡因式，也可能還有其它的因式.定義令f(x)是F[x]的一個次數(shù)大于零的多項(xiàng)式.若是f(x)在F[x]中只有平凡因式，f(x)就說是在數(shù)域F上（或在F[x]中）不可約.若f(x)除平凡因式外，在F[x]中還有其它因式，f(x)就說是在F上（或在F[x]中）可約.如果F[x]的一個n(n>0)次多項(xiàng)式能夠分解成F[x]中兩個次數(shù)都小于n的多項(xiàng)式g(x)與h(x)的積:f(x)=g(x)h(x),（1）那么f(x)在F上可約.若是f(x)在F[x]中的任一個形如（1）的分解式總含有一個零次因式，那么f(x)在F上不可約.根據(jù)以上定義，對于零多項(xiàng)式與零次多項(xiàng)式我們既不能說它們是可約的，也不能說它們是不可約的.在任一多項(xiàng)式環(huán)F[x]中都存在不可約多項(xiàng)式，因?yàn)镕[x]的任何一個一次多項(xiàng)式總是不可約的.注意，我們只能對于給定的數(shù)域來談?wù)摱囗?xiàng)式可約或不可約.因?yàn)橐粋€多項(xiàng)式可能在一個數(shù)域上不可約，但在另一數(shù)域上可約.一般指的是在數(shù)域F上不可約的多項(xiàng)式。（a）如果多項(xiàng)式p(x)不可約，那么F中任一不為零的元素c與p(x)的乘積cp(x)也不可約.（b）設(shè)p(x)是一個不可約多項(xiàng)式而f(x)是一個任意多項(xiàng)式，那么或者p(x)與f(x)互至少，或者P(x)整除f(x).（c）如果多項(xiàng)式f(x)與g(x)的乘積能被不可約多項(xiàng)式p(x)整除，那么至少有一個因式被p(x)整除.(c')如果多項(xiàng)式的乘積能夠被不可約多項(xiàng)式整除，那么至少有一個因式被整除.2.唯一因式分解定理！定理2.4.1F[x]的每一個n(n>0)次多項(xiàng)式f(x)都可以分解成F[x]可約多項(xiàng)式的乘積.證若是多項(xiàng)式f(x理成立，這時可以認(rèn)為f(x)是一個不可約因式的乘積：f(x)=f(x)若f(x)可約，那么f(x)可以分解成兩個次數(shù)較低的多項(xiàng)式的乘積：若因式f1(x)與f2(x)中仍有可約的，那么又可以把出現(xiàn)的每一個可約因式分解成次數(shù)較低的多項(xiàng)式的乘積。如此繼續(xù)下去。在這一分解過程中，因式的個數(shù)逐漸增多，而每一因式的次數(shù)都大于零。但f(x)最多能分解成n個次數(shù)大于零的多項(xiàng)式的乘積，所以管種分解過程作了有限次后必然終止。于是我們得到其中每一都是F[x]中的不可約多項(xiàng)式.定理2.4.2令f(x)是F[x]的一個次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，并且此處與qj(x)(i=1,2,,r;j=1,2,，s)都是F[x]的不可約多項(xiàng)式。那么r=s，并且適當(dāng)調(diào)后使,i=1,2,,r,此處是F的不為零的元素。換句話說，如果不計(jì)零次因式的差異，多項(xiàng)式f（x）分解成不可約因式乘積的分解式是唯一的.證我們對因式的個數(shù)r用數(shù)學(xué)歸納法.對于不可約多項(xiàng)式，也就是對于r=1的情形來說，定理顯然成立.假定對于能分解成r-1個不可約因式的乘積的多項(xiàng)式來說，定理成立.我們證明互不相等，而其它每一因式都等于這t個因式中的一個，并且pi(x)(i=1,2,,t)對于能分解成r個不可約因式的乘積的多項(xiàng)式f(x)來說定理也成立.等式⑵表明，乘積可以被不可約多項(xiàng)式p1(x)整除.因此由性質(zhì)(c')，至少某一qi(x)能被p1(x)整除。適當(dāng)調(diào)換的次序，可以假定p1(x)整除q1(x)，即q1(x)=h(x)p1(x)。但q1(x)是不可約多項(xiàng)式，而p1(x)的次數(shù)不等于零，所以h(x)必須是一個零次多項(xiàng)式：q1(x)=c1p1(x).⑶把q1(x)的表示式代入等式（2）的右端，得從等式兩端去不等于零的多項(xiàng)式p1(x)，得出等式令那么f1(x)是一個能分解成r-1個不可約多項(xiàng)式的乘積的多項(xiàng)式.于是由歸納假定得r-1=s-1，亦即r=s，并且可以假定⑷其中及(i=3,4,,r)都是零次多項(xiàng)式。令由（3）及（4）得這樣定理完全得到證明.由定理一個多項(xiàng)式f(x)唯一分解成：，⑸其中是f(x)的系數(shù)，是不可約多項(xiàng)式.3．F[x]的次數(shù)大于零的典型分解式分解式（5）中不可約多項(xiàng)式，不一定都不相同。若是在分解式（5）中不可約因式p(x)出現(xiàn)k次并且只出現(xiàn)k次，那么p(x)叫做f(x)的一個k重因式。一重因式叫做單因式。重?cái)?shù)大于1的因式叫做重因式。若不可約因式p(x)在f(x)的分解式（5）中不出現(xiàn)，我們就說p(x)是f(x)的一個零重因式.若是在多項(xiàng)式f(x)的分解（5）中有t個因式，例如互不相等，而其它每一因式都等于這t個因式中的一個，并且各是f(x)的ki重因式，那么(5)式可以寫成以下形狀:⑹等式（6）叫做多項(xiàng)式f(x)的典型分解式。每一個多項(xiàng)式的典型分解式都是唯一確定的.4.利用多項(xiàng)式的典型分解式求兩個多項(xiàng)式的最大公因式如果已知兩個多項(xiàng)式的典型分解式，那么我們很容易求出這兩個多項(xiàng)式的最大公因式來.令f(x)與g(x)是F(x)中兩個次數(shù)大于零的多項(xiàng)式.假定它們的典型分解式有r個共同的不可約因式：，其中每一不等于任何，，令是與兩自然數(shù)中較小的一個(i=1,2,,r)，那么就是f(x)與g(x)的最大公因式.事實(shí)上，d(x)顯然是f(x)與g(x)的一個公因式。若是與的任一次數(shù)大于零的公因式，那么由定理2.4.2，出現(xiàn)在d1(x)的典型分解式中的每一不可約因式只能是某一，并且這一不可約因式的重?cái)?shù)不能超過，因此，其中,c是數(shù)域F的一個不為零的元素，從而d1(x)整除d(x).若是f(x)與g(x)的典型分解式?jīng)]有共同的不可約因式，那么f(x)與g(x)的最大因式顯然是零次多項(xiàng)式.例在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式f(x)=x+x-2x-2為不可約因式的乘積.容易看出⑺一次因式x+1自然在有理數(shù)域上不可約，我們證明，二次因式也在有理數(shù)域上不可約，不然的話，將能寫成有理數(shù)域上兩個次數(shù)小于2的因式的乘積，因此將能寫成⑻的形式，這里a和b是有理數(shù)，把等式（8）的右端乘開，并且比較兩端的系數(shù)，將得a+b=0，ab=2，由此將得到，著與a是有理數(shù)的假定矛盾，這樣，（7）給出多項(xiàng)式f（x）的一個不可約因式分解.我們還可以如下證明在有理數(shù)域上不可約，如果（8）式成立，那么它也給出在實(shí)數(shù)域上的一個不可約因式分解，但在實(shí)數(shù)域上因此由一定分解定理就可得出a=±2的矛盾.作業(yè)：P56:1，4，6.2．5重因式教學(xué)目的掌握重因式的概念和性質(zhì),掌握判斷多項(xiàng)式無重因式的方法.重點(diǎn)、難點(diǎn)多項(xiàng)式無重因式的充要條件，多項(xiàng)式的系數(shù)域的擴(kuò)大對是不是有重因式?jīng)]有影響.教學(xué)過程講授、練習(xí).1.多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)及性質(zhì)定義F[x]的多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)指的是F[x]的多項(xiàng)式一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記作,f(x)的n階導(dǎo)數(shù)記多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)有下列性質(zhì)：⑴⑵⑶2.多項(xiàng)式的重因式定理2.5.1設(shè)p(x)是f(x)多項(xiàng)式的一個k()重因式.那么p(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)的一個k-1重因式.特別，多項(xiàng)式f(x)的單因式不是f(x)的導(dǎo)數(shù)的因式.證因?yàn)閜(x)是f(x)的k重因式，所以并且p(x)不能整除g(x).求f(x)的導(dǎo)數(shù)，得.p(x)不能整除括號里的第二項(xiàng).事實(shí)上，的次數(shù)小于p(x)的次數(shù),因而k的次數(shù)也小于p(x)的次數(shù)，所以p(x)不能整除k;又由已知條件，p(x)不能整除g(x).因此根據(jù)不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)?,p(x)不能整除乘積kg(x).但p(x)能整除括號里的第一項(xiàng)。因此p(x)不能整除括號里的和.這就是說p(x)是的一個k-1重因式.定理2.5.2多項(xiàng)式f(x)沒有重因式的充要條件是f(x)與它的導(dǎo)數(shù)互素.證設(shè)f(x)是一個n(n>0)次多項(xiàng)式，而⑷是f(x)的典型分解式.那么由定理2.5.1此處g(x)不能被任何(i=1,2,,t)整除.于是由上一節(jié)末尾求最大公因式的方法，得f(x)與的最大公因式是因此，若是f(x)沒有重因式，亦即那么d(x)=1，而f(x)與'互素.反之，若f(x)與互素.那么f(x)沒有重因式.由定理2.5.2可得下面的結(jié)論：若多項(xiàng)式f(x)在中沒有重因式，那么把f(x)看成含F(xiàn)的某一個數(shù)域G上的多項(xiàng)式時,f(x)也沒有重因式.3多項(xiàng)式重因式的求法：'首先，用以上方法判斷多項(xiàng)式f(x)是否有重因式，即求出（f(x),）=d(x)；其次，用d(x)除f(x)所得商式為，其中g(shù)(x)沒有重因式，g(x)與f(x)含有完全相同的不可約因式；然后,求g(x)的不可約因式，這樣不難求出其在f(x)中的重?cái)?shù).作業(yè)：P59:2，3，4.2.6多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式的根教學(xué)目的掌握數(shù)環(huán)R上的多項(xiàng)式函數(shù),多項(xiàng)式的根k重根的概念.熟練運(yùn)用綜合除法和余式定理判別f(x)是否有一次因式x-c,是否有根c,并求出f(x)的根c的重?cái)?shù).會運(yùn)用拉格朗日插值公式求出f(x),并滿足已給的條件:(I=1,2,?,n+1).重點(diǎn)、難點(diǎn)余數(shù)定理、多項(xiàng)式的根的個數(shù)不超過次數(shù)定理的證明，綜合除法及應(yīng)用.教學(xué)過程講授、練習(xí).多項(xiàng)式函數(shù):設(shè)是R一個數(shù)環(huán)，設(shè)給定的一個多項(xiàng)式和一個數(shù)c?R.那么在德表示式里，把x用c來代替，就得到R得一個這個數(shù)叫做當(dāng)x=c時的f(x)值，并且用f(x)來表示.這個映射是由多項(xiàng)式f(x)所確定的，叫做R上一個多項(xiàng)式函數(shù).余式定理定理2.6.1設(shè)，用x-c除所得的余式等于當(dāng)x=c時的值.證設(shè)f(x)，g(x)?R[x],那么對于任意c?R，由f(x)=g(x)就有f(c)=g(c)，并且若是u(x)=f(x)+g(x),v(x)=f(x)g(x)那么u(c)=f(c)+g(c),v(c)=f(c)g(c)，因此，任意一個由加法和乘法得到的R[x]的一些多項(xiàng)式間的關(guān)系式在用R的數(shù)c代替x后仍然成立.現(xiàn)在設(shè)f(x)?R[x]而c?R.由定理2.2.1后面的注意2，在R[x]里可以x-c用除f(x)，得到的商式核余式仍在R[x]內(nèi).因?yàn)閤-c是一次多項(xiàng)式，所以余式或者是零，或者是一個零次多項(xiàng)式.因此存在q(x)?R[x],r?R,使得f(x)=(x-c)q(x)+r在這個等式兩邊用c代替x，我們得到r=f(c)，于是就得到以下的所謂余式定理.3.綜合除法并且設(shè)f(x)=(x-c)q(x)+r其中比較等式(1)中兩端同次項(xiàng)的系數(shù)，我們得到?！纱说贸觥@樣，欲求系數(shù)bk，只要把前一系數(shù)bk-1乘以c再加上對應(yīng)系數(shù)ak，而余式r也可以按類似的規(guī)律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陸續(xù)求出商式和余式的系數(shù)：C…+……表中的加號通常略去不寫.用x+3除f(x)=x+x+4x-9.作綜合除法：-31014-9-39-3078-310-2669所以商式是g(x)=x-3x+10x-26，而余式r=f(-3)=69.4.多項(xiàng)式的根定義令f(x)是R[x]的一個多項(xiàng)式而c是R的一個數(shù)，若是當(dāng)x=c是f(x)的值f(c)=0，那么c叫作f(x)在數(shù)環(huán)R中的一個根.定理2.6.2數(shù)c是多項(xiàng)式f(x)的根的充分且必要條件是f(x)能被x-c整除.定理2.6.3設(shè)f(x)是R[x]中的一個n30次多項(xiàng)式.那么f(x)在R中最多有n個不同的根.證明如果f(x)是零次多項(xiàng)式，那么f(x)是R中一個不等于零的數(shù)，所以沒有根.因此定理對于n=0成立，于是我們可以對n作數(shù)學(xué)歸納法來證明這一定理，設(shè)c?R是f(x)另一個根，d1c,那么0=f(c)=(d-c)g(d).因?yàn)閐-c10,所以g(d)=0。因?yàn)間(x)的次數(shù)是n-1，由歸納法假說，g(x)在R內(nèi)至多有n-1個不同的根。因此f(x)在R中至多有n個不同的根.定理2.6.4設(shè)f(x)與g(x)是R[x]的兩個多項(xiàng)式，它們的次數(shù)都不大于n,若是以R中n-1個或更多的不同的數(shù)來代替x時，每次所得f(x)與g(x)的值都相等，那么f(x)=g(x).證令u(x)=f(x)-g(x).若f(x)1g(x),換一名話說u(x)10,那么u(x)是一個次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，并且在R中有n+1個或更多的根。這與定理2.6.3矛盾.5.多項(xiàng)式相等與多項(xiàng)式函數(shù)相等定理2.6.5R[x]的兩個多項(xiàng)式f(x)和g(x)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們所定諮的R上多項(xiàng)式函數(shù)相等.證設(shè)f(x)=g(x).那么它們有完全相同的項(xiàng)，因而對R的任何數(shù)c都有f(c)=g(c).這就是說，f(x)和g(x)所確定的函數(shù)相等.反過來設(shè)f(x)和g(x)氫確定的函數(shù)相等.令u(x)=f(x)-g(x).那么對R的任何數(shù)都有u(x)=f(x)-g(x)=0.這就是說，R中的每一個數(shù)都是多項(xiàng)式u(x)的根，但R有無窮多個數(shù)，因此u(x)有無窮多個根.根居定理2.6.3只有零多項(xiàng)式才有這個性質(zhì).因此有u(x)=f(x)-g(x)=0,f(x)=g(x).6.拉格朗日插值公式：定理2.6.4告訴我們，給了一個數(shù)環(huán)R里n+1個互不相同的數(shù)以及任意n+1個數(shù)后，到多存在R[x]的一個次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式f(x)，能使，i=1,2,3,?n+1.如果R還是一個數(shù)域，那么這樣一個多項(xiàng)式的確是存在的，因?yàn)槿菀卓闯?，由以下公式給出的多項(xiàng)式f(x)就是具有上述性質(zhì)：這個公式叫做拉格朗日（Lagrange）插值公式.例2.求次數(shù)小于3的多項(xiàng)式f(x)，使f(1)=1,f(-1)=3,f(2)=3.由拉格朗日插值公式得作業(yè)P65:1,2,3,4,5,6.復(fù)數(shù)和實(shí)域上多項(xiàng)式教學(xué)目的掌握代數(shù)基本定理、根與系數(shù)的關(guān)系.掌握實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的分解.重點(diǎn)、難點(diǎn)代數(shù)基本定理的應(yīng)用，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理.教學(xué)過程講授、練習(xí).1.代數(shù)基本定理定理2.7.1任何n(n>0)次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個根.證略定理2.7.2任何n(n>0)次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有n個根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.證設(shè)f(x)是一個n(n>0)次多項(xiàng)式，那么由定理2.7.1，它在復(fù)數(shù)域C中有一個根a1，因此在C[x]中f(x)=(x-a1)f1(x)，這里f1(x)是C上的一個n-1次多項(xiàng)式。若n-1>0,那么f1(x)在C中有一個根,因而在C[x]中這樣繼續(xù)下去，最后f(x)在C[x]中完全分解成n個一次因式的乘積，而f(x)在C中有n個根.復(fù)數(shù)域C上任一n(n>0)次多項(xiàng)式可以在C[x]里分解為一次因式的乘積。復(fù)數(shù)域上任一次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都是可約的。2.N次多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系：令是一個n(n>0)次多項(xiàng)式，那在復(fù)數(shù)域C中f(x)有n個根因而在C[x]中f(x)完全分解成一次因式的乘積：展開這一等式右端的括號，合并同次項(xiàng)，然后比較所得出的系數(shù)與（1）式右端的系數(shù)，我們得到根與系數(shù)的關(guān)系：，…………，其中第k(k=1,2,?，n)個等式的右端是一切可能的k個根的乘積之和，乘以若是多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù),那么應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系時須先用除所有系數(shù)，這樣作多項(xiàng)式的根并無改變。這時根與系數(shù)的關(guān)系取以下形式：…………利用根與系數(shù)的關(guān)系容易求出有已知根的多項(xiàng)式。例如，求有單根5與-2以及二重根本3的四次多項(xiàng)式。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，我們得到a1=-(5-2+3+3)=-9,a2=5(-2)+5·3++5·3+(-2)3+(-2)3+3·3=17,a3=-[5(-2)3+5(-2)3+5·3·3+(-2)3·3]=33,a4=5(-2)3·3=-90.因此所求多項(xiàng)是，或這里a10.3.系數(shù)多項(xiàng)式的一些性質(zhì)定理2.7.3若是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)有一個非實(shí)的復(fù)數(shù)根a,那么a的共——軛數(shù)也是f(x)的根，并且a與a有同一重?cái)?shù)。換句話說，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的非實(shí)的復(fù)數(shù)根兩兩成對.證令.由假設(shè)把等式兩端都換成它們的共軛數(shù)，得根據(jù)共軛數(shù)的性質(zhì)，并且注意到和0都是實(shí)數(shù)，我們有即也是f(x)的一個根。因此多項(xiàng)式f(x)能被多項(xiàng)式整除.由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)知道g(x)的系數(shù)都是實(shí)數(shù).所以f(x)=g(x)h(x),此處h(x)也是一個實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.若是a是f(x)的重根，那么它一定是h(x)根，因而根據(jù)方才所證明的，——a也是h(x)的一個根。這樣，a也是f(x)的重根。重復(fù)應(yīng)用這個推理方法，容—易看出，a與a重?cái)?shù)相同.由代數(shù)基本定理和定理2.7.3立即得到關(guān)于實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解的以下定理.定理2.7.4實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式，除一次多項(xiàng)式外，只有含非實(shí)共軛復(fù)數(shù)根的二次多項(xiàng)式.定理2.7.5每一個實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可以分解為實(shí)系數(shù)的一次和二次不可約因式的乘積.關(guān)于求多項(xiàng)式f(x)或方程f(x)=0的根的研究，集中在以下兩個問題：1）根的近似求法；2）根號解問題.作業(yè)P71:1,2,3,5.有理數(shù)域上多項(xiàng)式教學(xué)目的理解本原多項(xiàng)式的概念和艾森斯坦因判別法，并能利用這個判別法來判斷某些整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域不可約.掌握多項(xiàng)式有理根的求法并能熟練地求出有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根.重點(diǎn)、難點(diǎn)艾因斯坦判別法，有有里根的必要條件.教學(xué)過程講授、練習(xí).1.本原多項(xiàng)式定義若是一個整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)系數(shù)互素，那么f(x)叫作一個本原多項(xiàng)式。關(guān)于本原多項(xiàng)式，有以下的引理2.8.1兩個本原多項(xiàng)式的乘積仍是一個本原多項(xiàng)式.證設(shè)給了兩個本原多項(xiàng)式并且設(shè)如果f(x)g(x)不是本原多項(xiàng)式，那么一定存在一個素?cái)?shù)p，它能整除所有系數(shù)由于f(x)和g(x)都是本原多項(xiàng)式，所以p不能整除f(x)的所有系數(shù)，也不能整除g(x)所有系數(shù)。令和各是f(x)和g(x)的第一個不能被p整除的系數(shù)。我們考察f(x)g(x)的系數(shù).我們有這等式的左端被p整除。根據(jù)選擇和的條件，所有系數(shù)以及都能被p整除，因而等式右端除這一項(xiàng)外，其它每一項(xiàng)也都能被p整除。因此乘積也必須被p整除。但p是一個素?cái)?shù)，所以p必須整除或.這與假設(shè)矛盾.2.整系數(shù)多項(xiàng)式的分解定理2.8.2若是一個整系數(shù)n(n>0)次多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上可約，那么f(x)總可以分解成次數(shù)都小于n的兩個整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。證設(shè)，這里g1(x)與都是有理數(shù)域上的次數(shù)小于n的多項(xiàng)式.令g1(x)的系數(shù)的公分母是b1.那么,這里h(x)是一個整系數(shù)多項(xiàng)式。又令h(x)的系數(shù)的最大公因數(shù)是.那么，這里是一個有理數(shù)而是一個本原多項(xiàng)式.同理，這里是一個有理數(shù)而是一個本原多項(xiàng)式.于是其中r與s是互素的整數(shù)，并且s>0。由于f(x)是一個整系數(shù)多項(xiàng)式所以多項(xiàng)式的每一系數(shù)與r的乘積都必須被s整除。但r與s互素，所以的每一個系數(shù)必須被s整除，這就是說，s是多項(xiàng)式的每系數(shù)的一個公因數(shù)。但是一個本原多項(xiàng)式，因此s=1,而和顯然各與和有相同的次數(shù)，這樣，f(x)可以分解成次數(shù)都小于n的兩個整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。3.艾森斯坦因判斷法及推廣定理2.8.3設(shè)是一個整系數(shù)多項(xiàng)式。若是能夠找到一個素?cái)?shù)p,使（i）最高次項(xiàng)系數(shù)不能被p整除，（ii）其余各項(xiàng)的系數(shù)都能被p整除，（iii）常數(shù)項(xiàng)不能被p整除，那么多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上不可約。證若是多項(xiàng)式f(x)有理數(shù)域上可約，那由定理2.8.2,f(x)可以分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積：f(x)=g(x)h(x)這里并且k<n,l<n,k+l=n.由此得到因?yàn)楸籶整除，而p是一個素?cái)?shù)，所以或被p整除。但不能被整除，所以與不能同時被p整除.不妨假定被p整除而不能被p整除。g(x)的系數(shù)不能全被p整除，否則f(x)=g(x)h(x)的系數(shù)將被p整除，這與假定矛盾.令g(x)中第一個不能被p整除的系數(shù)是?？疾斓仁接捎谠谶@個等式中都被p整除，所以也必須被p整除.但p是一個素?cái)?shù)，所以與中至少有一個被p整除，這是一個矛盾.我們知道，在復(fù)數(shù)域上只有一次的多項(xiàng)式是不可約的，而在實(shí)數(shù)域上只有一次和一部分二次的多項(xiàng)式是不可約的，然而應(yīng)用艾森斯坦因判斷法我們很容易證明以下事實(shí)：有理數(shù)域上任意次的不可約多項(xiàng)式都存在.艾森斯坦因判斷法不是對于所有整每當(dāng)多項(xiàng)式都能應(yīng)用的，因?yàn)闈M足判斷法中條件的素?cái)?shù)p不總存在。若是對于某一多項(xiàng)式樣f(x)找不到這樣的素?cái)?shù)p，那么f(x)可能在有理數(shù)域上可約也可能不可約.例如，對于多項(xiàng)式與來說，都找不到一個滿足判斷法的條件的素?cái)?shù)p.但顯然前一個多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約，而后一多項(xiàng)式不可約.有時對某一多項(xiàng)式f(x)來說，艾森斯大林坦因判斷法不能直接應(yīng)用，但是把ff(x)適當(dāng)亦形后，就可以應(yīng)用這個判斷法。我們看一個例子，設(shè)p是一個素?cái)?shù)，多項(xiàng)式叫做一個分圓多項(xiàng)式。我們證明，f(x)在Ｑ［x］中不可約。在這里不能直接應(yīng)用艾森斯坦順判斷法。但是如果令x=y+1,那么由于我們得到令g(y)=f(y+1).于是g(y)的最高次項(xiàng)系數(shù)不能被p整除。其余的系數(shù)都是二項(xiàng)式系數(shù)，它們都能被p整除。事實(shí)上，當(dāng)k<p時，.因?yàn)槭且粋€整數(shù)，所以右端的分子能被k!整除。但k!與p互素，所以.因此是p的一個整數(shù).但g(y)的常數(shù)項(xiàng)不能被p整除。這樣，由艾森施坦因判斷法，g(y)在有理數(shù)域上不可約。F(x)也在有理數(shù)域上不可約，因?yàn)槿绻嬖?，使得那么，，這里，.4.求有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根問題定理2.8.4設(shè)是一個整系數(shù)多項(xiàng)式.若是有理數(shù)是的一個根，這里和是互素的整數(shù)，那么v整除f(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)，而u整除f(x)的常數(shù)項(xiàng)，這里q(x)是一個有理系數(shù)多項(xiàng)式。我們有，這是vx-u是一個本原多項(xiàng)式，因?yàn)閡和v互素。另一方面，q(x)可以寫成這里是一個有理數(shù)而f(x)是一個本原多項(xiàng)式：這樣，這里r和s是互素的整數(shù)并且s>0,而vx-u和都是本原多項(xiàng)式。由此，和定理2.8.2的證明一樣，可以推得s=1,而，⑶這里是一個整系數(shù)多項(xiàng)式，令.那么由(3)得比較系數(shù)，得，這就是說n整除而整除另一方面，比較（2）和（3），得q(x)=nq1(x)，所以q(x)也是一個整系數(shù)多項(xiàng)式.給定了一個整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)，設(shè)它的最高次項(xiàng)系數(shù)的因數(shù)是,它的常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)是。那么根據(jù)定理2.8.4，欲求的有理根，我們只需對有限個有理數(shù)用綜合除法來進(jìn)行試驗(yàn)當(dāng)有理數(shù)的個數(shù)很多的時候，對它們逐個進(jìn)行試驗(yàn)還是比較麻煩的.面的討論使我們能夠簡化計(jì)算。首先，1與-1永遠(yuǎn)在有理數(shù)中出現(xiàn)，而計(jì)算f(1)與f(-1)并不困難，另一方面，若是有理數(shù)a(11)是f(x)的根，那由定理2.8.4,f(x)=(x-a)q(x),而q(x)也是一個整系數(shù)多項(xiàng)式。因此商，

都應(yīng)該是整數(shù)。這樣，我們只需對那些使商 都是整數(shù)的來進(jìn)行試驗(yàn)。（我們可以假定f(1)與f(-1)都不等于零。否則可以用(x-1)或(x+1)除f(x)而考慮所得的商式。）例求多項(xiàng)式的有理根.這個多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)3的因數(shù)是1,3,常數(shù)項(xiàng)-2的因數(shù)是1,2所以可能的有理根是1,，我們算出，f(1)=12,f(-1)=-8.所以1與-1都不是f(x)的根。另一方面，由于—8，—8，121+21+2/31+2/3都是整數(shù)，所以有理數(shù)-2,在試驗(yàn)之列。應(yīng)用綜合除法,,：-23515-2-62-623-13-10所以-2是f(x)的一個根。同時我們得到容易看出,-2不是的根，所以它不是f(x)重根。對g(x)應(yīng)用綜合除法：-1/33-13-1-12/33-23（2/3）至此已經(jīng)看到，商式不是系數(shù)多項(xiàng)式，因此不必再除下去就知道，-1/3不是g(x)的根，所以它也不是f(x)的根。再作綜合除法：1/33-13-11013030所以是g(x)的一個根，因而它也是f(x)的一個根，容易看出，不是f(x)的所以1/3是g(x)的一個根，因而它也是f(x)的一個根，容易看出，1/3不是f(x)的重根。這樣，f(x)的有理根是-2和1/3作業(yè)P80:1,2,3,4.多元多項(xiàng)式教學(xué)目的正確理解和掌握多元多項(xiàng)式的概念、運(yùn)算規(guī)則及性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)掌握多元多項(xiàng)式的表示法（字典排序法），熟練掌握多元多項(xiàng)式的運(yùn)算規(guī)則，熟練掌握多元多項(xiàng)式運(yùn)算法則。教學(xué)難點(diǎn)多元多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算、乘積的首項(xiàng)、乘積的次數(shù)。教學(xué)過程設(shè)R是一個數(shù)環(huán)，1R，令是n個文字。1、單項(xiàng)式形式如：的表達(dá)式叫做R上的一個單式。其中是非負(fù)整數(shù)。單項(xiàng)式的記法：如果某一個k0，則x可以不寫；如果a1，則可記為2、多項(xiàng)式的字典排序法、多項(xiàng)式的首項(xiàng)定理2.9.1數(shù)環(huán)R上兩個n元多項(xiàng)式與的乘積的首項(xiàng)等于這兩個多項(xiàng)式首項(xiàng)的乘積。特別，兩個非零多項(xiàng)式的乘積也不等于零。證設(shè)的首項(xiàng)為，的首項(xiàng)為則的首項(xiàng)為（證明的其它的項(xiàng)都小于該項(xiàng)）3、齊式設(shè)是一個n元多項(xiàng)式。如果各項(xiàng)都有同一次數(shù)k，那么就稱它是一個次齊次多項(xiàng)式，簡稱k次齊式。任意一個n元多項(xiàng)式，總可以寫成若干個齊式的和：這里，如果fi0,fi就是一個i次齊式。定理2.9.2數(shù)環(huán)R上兩個不等于零的n元多項(xiàng)式的乘積的次數(shù)等于這兩個多項(xiàng)式的次數(shù)的和.證設(shè)數(shù)環(huán)R上的兩個多項(xiàng)式其中fi,gj或者等于零，或者分別是i，j次齊式（），且fs0,gt0。于是因?yàn)閒sgt0且是st齊式，而其它所有的figj都是ij次齊式，因此4、多元多項(xiàng)式函數(shù)設(shè)是數(shù)環(huán)R上的n元多項(xiàng)式，對于，有唯一確定的，如果，那么數(shù)組叫做的一個零點(diǎn)。給定了R上一個n元多項(xiàng)式，我們可以定義一個函數(shù)（映射）；=+=則對于，都有=+=定理2.9.3設(shè)是數(shù)環(huán)R上一個n元多項(xiàng)式。如果對于任意，都有，那么。證對n作歸納法證明。當(dāng)n＝1時就是定理2.6.3的直接推論。假設(shè)n＞1，并且對于R上的n－1個文字的多項(xiàng)式來說定理成立。當(dāng)n時，設(shè)是R上一個n元多項(xiàng)式，將按xn的升冪形式，表達(dá)：其中是有關(guān)文字（n－1個文字）的多項(xiàng)式。對于，都是有關(guān)文字的一元多項(xiàng)式，這里。如果對于任意的，都有，那么取定任意和cnR，都有因?yàn)閷τ谝辉囗?xiàng)式來說，如果對于任意的cnR，都有g(shù)c(cn)0，則gc(xn)的系數(shù)全為零，即.然而是任意的，由歸納假設(shè)，有從而推論2.9.4設(shè)與是數(shù)環(huán)R上一個n元多項(xiàng)式。如果對于任意都有，那么=推論2.9.3與一元多項(xiàng)式定量2.6.5相同，即兩個多項(xiàng)式（一個文字元，或者是n個文字）相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們所定義的函數(shù)相等證明令=—由于對任意的，都有所以—由定理2.9.3，，即=2.10對稱多項(xiàng)式教學(xué)目的理解對稱多項(xiàng)式的概念，掌握對稱多項(xiàng)式表成初等對稱多項(xiàng)式的方法。教學(xué)重點(diǎn)對稱多項(xiàng)式的概念，對稱多項(xiàng)式表成初等對稱多項(xiàng)式的方法。教學(xué)難點(diǎn)對稱多項(xiàng)式表成初等對稱多項(xiàng)式。教學(xué)過程在這一節(jié)里，我們將討論一下對稱多項(xiàng)式.對稱多項(xiàng)式是一類重要的多元多項(xiàng)式,它的應(yīng)用也比較廣泛回憶一下,在1.2里,我們曾把一個有限集合到自身的雙射叫做這個集合的一個置換.設(shè)I={1,2,,n}是前n個自然數(shù)碼所成的集合.是I的一個置換.記那么仍是1，2,,n這n個數(shù)碼,只不過是排列的次序有所不同.我們把叫做1，2,,n這n個數(shù)碼的一個排列.現(xiàn)在設(shè)是數(shù)環(huán)R上n個文字的一個多項(xiàng)式.指標(biāo)集的置換引起這n個文字所成的集合的一個置換:，仍是R上n個文字的一個多項(xiàng)式,一般來說,.例如,設(shè)而。那么定義1設(shè)是數(shù)環(huán)R上一個n元多項(xiàng)式.如果對于這n個文字的指標(biāo)集{1,2,,n}施行任意一個置換后,都不改變,那么就稱是R上一個n元對稱多項(xiàng)式.例如,是整數(shù)環(huán)上一個n元對稱多項(xiàng)式.是整數(shù)環(huán)上一個三元對稱多項(xiàng)式.不難看出,兩個n元對稱多項(xiàng)式的和、差、積仍是n元對稱多項(xiàng)式.根據(jù)對稱多項(xiàng)式的定義,如果一個對稱多項(xiàng)式含有一項(xiàng)，那么也一定含有一切形如的項(xiàng),這里是1,2,,n的任意一個排列.在對稱多項(xiàng)式的理論中,所謂初等對稱多項(xiàng)式占一個很重要的地位.看以下的n個n元多項(xiàng)式:，………，這里表示中每次取k個所作的一切可能乘積的和,這樣的n個多項(xiàng)式顯然都是n元對稱多項(xiàng)式.我們稱這n個多項(xiàng)式為n元初等對稱多項(xiàng)式.我們以下將要證明,每一個n元對稱多項(xiàng)式都可以唯一地表成初等對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式.這就是所謂的對稱多項(xiàng)式的基本定理.為此,首先證明以下引理2.10.1設(shè)是數(shù)環(huán)R上一個n元多項(xiàng)式.以代替i,1in,得到關(guān)于的一個多項(xiàng)式，如果,那么一切系數(shù)，證假設(shè)不是所有的系數(shù)都等于零.那么至少有一項(xiàng)的系數(shù)不為零.設(shè)是的一項(xiàng).把這一項(xiàng)中表用示式(1)代入,我們得到的一個多項(xiàng)式.根據(jù)定理2.9.1,這個多項(xiàng)式的首項(xiàng)是中兩個非同類項(xiàng)化成的的多項(xiàng)式的首項(xiàng)不會是同類項(xiàng).事實(shí)上,設(shè)是的另外一項(xiàng),且至少有某一i1in,使得kl把這一項(xiàng)寫成的多項(xiàng)式以后,它的首項(xiàng)是如果這一項(xiàng)與是同類項(xiàng),那么必須有，，，由此得出從而導(dǎo)致矛盾.這樣,把多項(xiàng)式中每一個系數(shù)不為零的項(xiàng)展成的多