2018版數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題規(guī)范練10“20題、21題”24分練理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精大題規(guī)范練(十）“20題、21題"24分練（時間：30分鐘分值:24分)解答題(本大題共2小題，共24分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20．設(shè)A，B分別是x軸，y軸上的動點，點P在直線AB上，且eq\o（AP，\s\up6(→）)＝eq\f(\r(3)，2)eq\o(PB,\s\up6(→）)，｜eq\o(AB，\s\up6(→)）｜＝2＋eq\r(3).(1）求點P的軌跡E的方程；(2)已知曲線E上的定點K(－2,0）及動點M，N滿足eq\o(KM，\s\up6(→)）·eq\o(KN，\s\up6（→)）＝0，試證：直線MN必過x軸上的定點.【導(dǎo)學(xué)號：07804241】［解］（1）設(shè)P(x，y），A(xA,0），B（0，yB)，則eq\o（AP,\s\up6（→)）＝（x－xA，y）,eq\o(PB，\s\up6(→）)＝(－x，yB－y)，由eq\o(AP，\s\up6(→)）＝eq\f（\r(3）,2）eq\o（PB,\s\up6(→)),得xA＝x＋eq\f(\r(3）,2)x，yB＝y(tǒng)＋eq\f（2，\r(3)）y，由|eq\o（AB，\s\up6（→))|＝2＋eq\r(3），即可求得點P的軌跡E的方程為eq\f(x2,4）＋eq\f（y2，3）＝1.(2）證明：設(shè)直線KM：y＝k(x＋2)(k≠0）與eq\f（x2，4）＋eq\f（y2，3)＝1聯(lián)立,消去y，得(3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－12＝0.設(shè)M（x1，y1）,則－2＋x1＝－eq\f（16k2,3＋4k2),x1＝－eq\f(16k2,3＋4k2)＋2＝eq\f（6－8k2，3＋4k2)，y1＝k(x1＋2）＝eq\f(12k,3＋4k2)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（6－8k2,3＋4k2)，\f（12k，3＋4k2)))，設(shè)直線KN:y＝－eq\f(1,k)（x＋2)(k≠0),同理可得Neq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(6k2－8,3k2＋4),－\f(12k,3k2＋4）))，kMN＝eq\f（yM－yN,xM－xN）＝－eq\f（7k，4k2－1)（k2≠1),則MN：y－eq\f（12k,3＋4k2）＝－eq\f（7k，4k2－1)（x－eq\f(6－8k2，3＋4k2)),化簡可得y＝－eq\f（7k，4k2－1）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（2,7)）),即直線MN過定點eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7），0)），另MN斜率不存在時，也過定點eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(2,7)，0)),∴直線MN必過定點eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(2,7），0））。21．已知函數(shù)f（x）＝（x－1)ex＋ax2有兩個零點．(1）求a的取值范圍;（2)設(shè)x1,x2是f（x)的兩個零點，求證：x1＋x2＜0。[解］（1)f′（x）＝xex＋2ax＝x(ex＋2a(ⅰ)當(dāng)a＞0時,ex＋2a＞0,函數(shù)f(x）在(－∞,0）上單調(diào)遞減,在（0，＋∞）上單調(diào)遞增．因為f(0）＝－1＜0，f（2)＝e2＋4a＞0，取實數(shù)b滿足b＜－2且b＜lna，則f（b）＞a（b－1)＋ab2＝a(b2＋b－1)＞a(4－2－1)＞0，所以f（(ⅱ）若a＝0，則f(x）＝(x－1）ex,故f(x）只有一個零點，不滿足題意．(ⅲ）若a＜0，當(dāng)a≥－eq\f(1,2),則f(x）在(0，＋∞）上單調(diào)遞增，又當(dāng)x≤0時,f(x)＜0，故f(x)不存在兩個零點，不滿足題意;當(dāng)a＜－eq\f(1,2)，則函數(shù)f(x)在（ln（－2a），＋∞)上單調(diào)遞增；在(0，ln（－2a））上單調(diào)遞減．又當(dāng)x≤1時，f(x）＜0，故不存在兩個零點．綜上所述，a的取值范圍是（0,＋∞)．(2）證明:不妨設(shè)x1＜x2.由（1），知x1∈(－∞,0)，x2∈（0,＋∞),－x2∈(－∞,0)，則x1＋x2＜0等價于x1＜－x2.因為函數(shù)f(x）在（－∞，0)上單調(diào)遞減,所以x1＜－x2等價于f（x1）＞f（－x2)，即f(－x2）＜0。由f（x2)＝(x2－1）eeq\s\up7(x2)＋axeq\o\al(2,2)＝0，得axeq\o\al（2，2）＝（1－x2)eeq\s\up7(x2），f（－x2）＝(－x2－1）eeq\s\up6(－x2)＋axeq\o\al（2,2)＝(－x2－1）eeq\s\up6(－x2）＋(1－x2)eeq\s\up7(x2）,令g（x)＝（－x－1）e－x＋（1－x)ex，x∈(0,＋∞)．則g′（x）＝－x（ex－e－x)＜0，故g（x)在(0，＋∞）上單調(diào)遞減,又g（0)＝0，所以g（x)＜0