2023屆北京市第十二中學(xué)高三年級上冊學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆北京市第十二中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求解一元二次不等式從而求解集合，再根據(jù)并集的定義求解.【詳解】由，得，結(jié)合，可知.故選：B.2．二項式的展開式中含項的系數(shù)是（

）．A．6 B． C． D．12【答案】C【分析】根據(jù)二項式展開式的通項即可求解.【詳解】因為二項式的展開式通項為，令，則，所以二項式的展開式中含項的系數(shù)為，故選：.3．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】將分別代入各解析式，判斷與的關(guān)系，即可得出非奇非偶函數(shù).【詳解】解：由題意，四個函數(shù)定義域都是在中，，是奇函數(shù)；在中，，是偶函數(shù)；在中，，是偶函數(shù)；在中，，∴既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；故選：D.4．已知點、．若點在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)出點的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計算出點到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點共有三個．故選：C.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題．5．已知函數(shù)，如果關(guān)于x的方程有兩個不同的實根，那么實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)的圖象（如圖），關(guān)于的方程有兩個不同的實根，等價于直線與圖象有兩個不同的交點，所以的取值范圍是，故選B．【解析】零點與方程．6．若P為圓x2＋y2＝1上的一個動點，且A(－1，0)，B(1，0)，則|PA|＋|PB|的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】利用直徑所對圓周角是直角得到，利用基本不等式求得的最大值.【詳解】由題意知為圓的直徑，所以∠APB＝90°，∴，∴(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時取等號)，∴，∴的最大值為.故選：B【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.7．若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以由得因此，從而的最大值為，故選：A.8．已知拋物線的焦點為F，直線l的斜率為且經(jīng)過點F，與拋物線C交于A，B兩點（點A在第一象限），則的值為（

）．A． B． C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)拋物線定義和幾何性質(zhì)得到，根據(jù)直線的斜率為得到，然后利用三角函數(shù)列方程，即可得到.【詳解】如圖，，，分別為，在準(zhǔn)線上的投影，，根據(jù)拋物線的定義和題意可得，，所以，因為直線的斜率為，所以，，整理得.故選：D.9．設(shè)是等差數(shù)列，且公差不為零，其前n項和為．則“，”是“為遞增數(shù)列”的（

）．A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】分別從充分性和必要性進行證明即可判斷.【詳解】充分性：因為數(shù)列是等差數(shù)列，且對，不妨設(shè)，當(dāng)時，，此時，并不能推出為遞增數(shù)列，所以充分性不成立；必要性：因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，由為遞增數(shù)列可得：，則對恒成立，則，因為公差，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當(dāng)時，，則，不合題意；若，則由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對，符合題意，也即，所以必要性成立，則“，”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：.10．長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)＝×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關(guān)于x的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】需滿足四個條件：1.自變量的取值范圍為；2.函數(shù)值域為的子集；3.該函數(shù)在上恒有；4.該函數(shù)為上增函數(shù)；逐一對照分析求解即可.【詳解】①，該函數(shù)在時函數(shù)值為，超過了范圍，不合題意；②為增函數(shù)，且且，則，符合題意；③，當(dāng)時，不合題意④，當(dāng)時，，故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又設(shè)即，易知在上為減函數(shù)由在上連續(xù)，且，，則存在，有當(dāng)，；當(dāng)，；故在遞增，在遞減.，故上即上故④符合題意，所以②④滿足題意，故選：B.二、填空題11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為__________.【答案】【分析】對復(fù)數(shù)進行計算化簡，然后得到其在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為.故答案為：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的計算，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點，屬于簡單題.12．雙曲線的漸近線方程是________．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的方程，得到，再代入漸近線方程求解.【詳解】因為雙曲線，所以，所以，因為焦點在y軸上，所以漸近線方程是，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.13．已知函數(shù)（且），若存在2個零點，則a的一個取值為__________．【答案】2（答案不唯一）【分析】將函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象交點個數(shù)，然后分和兩種情況討論即可.【詳解】函數(shù)的零點個數(shù)可以看成函數(shù)與圖象交點個數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)與圖象只有一個交點，不符合要求；當(dāng)時，，，所以函數(shù)在處切線的斜率為，所以，解得.故答案為：2（答案不唯一）.14．在四邊形中，.若，則=____.【答案】2【詳解】如圖，因為=,所以四邊形AECD為平行四邊形，所以AE=DC=1,所以=2點睛：根據(jù)題意說明四邊形AECD為平行四邊形，從而解題，注意多畫草圖去理解題意，同時要熟練向量的線性運算15．在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P(x，y)不是原點時，定義P的“伴隨點”為；當(dāng)P是原點時，定義P的“伴隨點“為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題：①若點A的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點A②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；③若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其“伴隨曲線”關(guān)于y軸對稱；④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是_____________（寫出所有真命題的序列）.【答案】②③【詳解】試題分析：對于①，若令，則其伴隨點為，而的伴隨點為，而不是，故錯誤；對于②，設(shè)曲線關(guān)于軸對稱，則對曲線表示同一曲線，其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線，又因為其伴隨曲線分別為與的圖象關(guān)于軸對稱，所以正確；③令單位圓上點的坐標(biāo)為其伴隨點為仍在單位圓上，故正確；對于④，直線上取點后得其伴隨點消參后軌跡是圓，故錯誤.所以正確的為序號為②③.【解析】對新定義的理解、函數(shù)的對稱性.三、解答題16．在中，，．(1)求；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①，條件②的周長為，條件③邊的中線長度為．【答案】(1)(2)若選擇①：的存在并不是唯一確定，這樣無法求面積；若選擇②：存在且唯一確定，此時的面積；若選擇③：存在且唯一確定，此時的面積；【分析】(1)根據(jù)題干條件，利用正弦定理即可求解；(2)若選擇①：利用正弦定理可知：的存在并不是唯一確定，這樣無法求面積；若選擇②：由正弦定理結(jié)合三角形的周長可求出各邊長，進而求解面積；若選擇③：由正弦定理和邊的中線長度，再結(jié)合余弦定理求出各邊長，進而求解面積.【詳解】（1）在中，因為，由正弦定理可得：，也即，因為，所以，又因為，所以，.（2）若選擇①：由（1）可知：，則，不知道邊長，則的存在并不是唯一確定，這樣無法求面積；若選擇②：由（1）可知：，則，因為，由正弦定理可知：，所以的周長為，則，，存在且唯一確定，此時的面積,；若選擇③：由（1）可知：，則，因為，如圖，為邊上的中線，且，在中，由余弦定理可得：，也即，所以，則，所以存在且唯一確定，此時的面積；17．首屆以進口為主題的國家級博覽會在中國拉開大幕，本次博覽會包括企業(yè)產(chǎn)品展、國家貿(mào)易投資展．其中企業(yè)產(chǎn)品展分為7個展區(qū)，每個展區(qū)統(tǒng)計了備受關(guān)注百分比，如下表：展區(qū)類型智能及高端裝備消費電子及家電汽車服裝服飾及日用消費品食品及農(nóng)產(chǎn)品醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健服務(wù)貿(mào)易展區(qū)的企業(yè)數(shù)（家）40060706501670300450備受關(guān)注百分比25％20％10％23％18％8％24％備受關(guān)注百分比指：一個展區(qū)中受到所有相關(guān)人士關(guān)注（簡稱備受關(guān)注）的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的企業(yè)數(shù)的比值．(1)從企業(yè)產(chǎn)品展7個展區(qū)的企業(yè)中隨機選取1家，求這家企業(yè)是選自“智能及高端裝備”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率；(2)從“消費電子及家電”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中，任選2家接受記者采訪．記X為這2家企業(yè)中來自于“消費電子及家電”展區(qū)的企業(yè)數(shù)，求隨機變量X的分布列．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)表格分別7個展區(qū)企業(yè)總數(shù)和備受關(guān)注的智能及高端裝備企業(yè)數(shù)，進而即可求解；(2)根據(jù)題意求出的可能取值，并求出每個變量對應(yīng)的概率，列出分布列即可.【詳解】（1）7個展區(qū)企業(yè)數(shù)共有家，其中備受關(guān)注的智能及高端裝備企業(yè)共家，設(shè)從各展區(qū)隨機選1家企業(yè)，這家企業(yè)是備受關(guān)注的智能及高端裝備為事件，所以.（2）由表格可知：消費電子及家電備受關(guān)注的企業(yè)有家，醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健備受關(guān)注的企業(yè)有家，共家.所以的可能取值為.則；；.所以隨機變量的分布列為：18．如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為矩形，點D是棱的中點．(1)求證：平面；(2)若，．（Ⅰ）求直線到平面的距離；（Ⅱ）在棱上是否存在點M，使得直線與平面所成角為，如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)（Ⅰ）（Ⅱ）存在，【分析】（1）通過證明平行于平面內(nèi)的一條直線，即可證明平面（2）（Ⅰ）將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，根據(jù)等體積法，得到點到平面的距離，也就得到直線到平面的距離.（Ⅱ）由幾何關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)線面垂直求出面的法向量，通過直線與平面所成的角的余弦值，即可求出的值【詳解】（1）由題意：連接交于點，∵為矩形∴為中點連接，在△中，為中點，D是棱的中點∴∵，∴平面（2）（Ⅰ）由題意及（1）得平面∴直線到平面的距離與點到平面的距離相等連接，設(shè)點到平面的距離為∵，∴由幾何知識得，，在△中，∴△是直角三角形∴取中點，連接，由幾何知識得，，易得∵∴∴∴直線到平面的距離為（Ⅱ）由題意，（1）及（2）（Ⅰ）得，以點為原點，，，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，,，，∴，設(shè)，為面的一個法向量∴∴即，解得：當(dāng)時，∴面的其中一個法向量19．已知橢圓經(jīng)過點，且右焦點為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線與橢圓交于兩個不同的點，，直線與軸交于點，直線與軸交于點，問以為直徑的圓是否過軸上的定點，若是求出定點坐標(biāo)，若不是說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圖像過的點和右焦點得到，求出，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)出直線的解析式，與橢圓聯(lián)立，得到與的表達式，設(shè)出直線與直線的解析式，得到點與點坐標(biāo)，進而求出圓的方程，即可得到以為直徑的圓過軸上的定點.【詳解】（1）由題意在橢圓中，圖像過點，且右焦點為∴∴∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意及（1）得在中，過點的直線與橢圓交于兩個不同的點，，直線與軸交于點，直線與軸交于點，∴直線斜率存在，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程，得∴，直線的解析式為直線的解析式為∴，圓心為以為直徑的圓的方程為：即∵∴在中，令，得∴以為直徑的圓過軸上的定點20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)若關(guān)于x的不等式在上有解，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若曲線存在兩條互相垂直的切線，求實數(shù)a的取值范圍；（只需直接寫出結(jié)果）【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)；(3)，.【分析】(1)當(dāng)時，，求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可解出單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式在，上有解，即，在，上有解，構(gòu)造兩個函數(shù)，，研究兩個函數(shù)的在，上的單調(diào)性，即可轉(zhuǎn)化出關(guān)于的不等式，從而求得的范圍；(3)由的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，故圖象上存在兩條互相垂直的切線．【詳解】（1）當(dāng)時，，則，令得或；令得．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），即，可變?yōu)椋?，，?dāng)時，在，上，由于的對稱軸為負(fù)，故在，上增，在，上減，欲使有解，則只須(a)(a)，即，解得，故；當(dāng)時，在，上，由于的對稱軸為正，故在，上先減后增，在，上減，欲使有解，只須，即，當(dāng)時，顯然成立．綜上所述，即為符合條件的實數(shù)的取值范圍；（3）的取值范圍是，．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及存在性問題求參數(shù)的范圍，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，分類討論的思想，屬于導(dǎo)數(shù)運用的一類典型題．21．已知數(shù)列滿足：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素