2023屆北京市西城區(qū)高三年級上冊學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題【含答案】

2023屆北京市西城區(qū)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題一、單選題1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合A用列舉法進行表示，從而可以確定.【詳解】集合，，，故選：B.2．設(shè)復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則,將求出,即可得該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標.【詳解】解:由題知,,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是.故選:A3．己知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】C【分析】求出函數(shù)定義域，求出的表達式即可判斷奇偶性.當，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得出答案.【詳解】由已知可得，的定義域為，關(guān)于原點對稱.又，所以為偶函數(shù).當，，因為在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù).故選：C.4．已知雙曲線,則C的焦點到其漸近線的距離為（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】求出雙曲線的焦點坐標及漸近線方程,根據(jù)雙曲線的對稱性,取其中一個焦點坐標和漸近線即可,根據(jù)點到直線的距離公式求出結(jié)果即可.【詳解】解:由題知雙曲線,即,故焦點坐標為,漸近線方程為:,即,由雙曲線的對稱性,不妨取焦點到漸近線的距離,故焦點到其漸近線的距離為.故選:B5．設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】（1）利用冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷A，利用正切函數(shù)單調(diào)性即可判斷B，舉例，即可判斷C，利用對勾函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷D.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，故時，，故A錯誤，根據(jù)三角函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，故時，故，故B錯誤，，即，，但與的大小關(guān)系不明，如，，顯然此時，故C錯誤，根據(jù)對勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)當時，可知，而，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)可知其值域，當時，，當時，，故當時，則，故，故D正確.故選：D.6．在中，若，則的面積是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理得，聯(lián)立解出值，求出,再利用三角形面積公式即可求出答案.【詳解】由余弦定理得，代入，得，聯(lián)立化簡得，解得或（舍去），故，，則,故.故選：D.7．“空氣質(zhì)量指數(shù)（）”是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)．當大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動．某地某天0~24時的空氣質(zhì)量指數(shù)隨時間變化的趨勢由函數(shù)描述,則該天適宜開展戶外活動的時長至多為（

）A．5小時 B．6小時 C．7小時 D．8小時【答案】C【分析】當大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動,即時適合開展戶外活動,根據(jù)分段函數(shù)的解析式,分情況討論求出不等式解集,再求出區(qū)間長度即可.【詳解】解:由題知,當大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動,即當小于等于200時,適宜開展戶外活動,即,因為,所以當時,只需,解得:,當時,只需,解得:,綜上:適宜開展戶外活動的時間段為,共計7個小時.故選:C8．設(shè)，均為銳角，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由于，均為銳角，所以，.先討論充分性，當時，，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可判斷；再討論必要性，當時，由于，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得出，進而求解.【詳解】因為，均為銳角，所以，.當時，，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故“”是“”的充分條件.當時，由，，則，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，故“”是“”的必要條件.綜上所述，“”是“”的充分必要條件.故選：C.9．在中，．P為邊上的動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以為坐標原點建立合理直角坐標系，求出直線所在直線方程為，設(shè)，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其值域.【詳解】以為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸，建立直角坐標系，則，直線所在直線方程為，設(shè)，，則，，，當時，，當時，，故其取值范圍為，故選：B.10．如圖，正方形和正方形所在的平面互相垂直．是正方形及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，是正方形及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)，給出下列三個結(jié)論：①，使；②，使；③，使與所成的角為．其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，假設(shè)出的坐標；對于①，利用空間向量的模長公式與坐標的取值范圍即可判斷；對于②③，利用賦值法與空間向量的數(shù)量積運算即可判斷.【詳解】因為四邊形是正方形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為四邊形是正方形，所以，則兩兩垂直，所以以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則，對于①，因為，所以不妨設(shè)，其中，則，故，因為，所以，則，所以，，，即，所以，故①錯誤；對于②，結(jié)合①中結(jié)論，，假設(shè)，則，即，即，顯然令，可以成立，所以假設(shè)成立，故②正確；對于③，結(jié)合②中結(jié)論，假設(shè)與所成的角為，則，即，令，則，，，所以上述等式成立，故假設(shè)成立，故③正確；綜上：②③正確，①錯誤，所以正確結(jié)論的個數(shù)是.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題利用圖形的規(guī)整性，選擇以以為原點，建立合適的空間直角坐標系，設(shè)，寫出相關(guān)向量，利用空間向量的模長公式來判斷①，利用向量垂直，則其點乘為0，找到②正確的情況，利用空間向量來解決異面直線夾角問題，即找到③正確的情況.二、填空題11．的展開式中的常數(shù)項為________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】先寫出展開式的通項，然后根據(jù)的指數(shù)部分為求解出的值，將的值代入展開式則常數(shù)項可求.【詳解】展開式的通項為，令，，所以常數(shù)項為，故答案為：.12．設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【分析】由拋物線方程可得焦點坐標，即圓心，焦點到準線距離即半徑，進而求得結(jié)果.【詳解】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點F（1,0），準線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.【點睛】本題主要考查拋物線的焦點坐標，拋物線的準線方程，直線與圓相切的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.13．人口問題是關(guān)系民族發(fā)展的大事．歷史上在研究受資源約束的人口增長問題中，有學(xué)者提出了“Logisticmodel”：，其中均為正常數(shù)，且，該模型描述了人口隨時間t的變化規(guī)律．給出下列三個結(jié)論：①；②在上是增函數(shù)；③．其中所有正確結(jié)論的序號是_______________．【答案】①②③【分析】①代入函數(shù)值即可求解；②求導(dǎo)后確定函數(shù)的單調(diào)性即可；③進行等價證明看是否復(fù)合條件即可.【詳解】①當，所以；②，因為均為正常數(shù)，且，所以，所以在上是增函數(shù)；③，等價于，即等價于，即等價于，等價于，而恒成立，且，所以恒成立，即．故選項③正確.故答案為：①②③.三、雙空題14．已知是等差數(shù)列,,且成等比數(shù)列,則______________;的前項和______________．【答案】

-5

【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差,根據(jù)成等比數(shù)列,列出式子,將均用代替,解出,即可求的值;(2)由上一空求得的,根據(jù)等差數(shù)列前項和公式代入即可求出答案.【詳解】解:由題知是等差數(shù)列,不妨記公差為,因為成等比數(shù)列,,所以,即,解得:,故;由于,,所以.故答案為:-5;15．設(shè)函數(shù)若,則的單調(diào)遞增區(qū)間是___________;若的值域為,則的取值范圍是_____________．【答案】

【分析】(1)將代入解析式,分析各段單調(diào)性,即可得出結(jié)果;(2)先求出上的值域,由的值域為,只需在上的值域包含,分析該二次函數(shù)的開口方向,對稱軸及值域即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題知當時,,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故的單調(diào)遞增區(qū)間是;由于在上的值域為,若的值域為,只需在上的值域包含即可,故需,即,此時在上的值域為,故需,即,綜上:.故答案為:;四、解答題16．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)若，且，求x的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式即可化解得，則得到其最小正周期；（2）根據(jù)范圍求出，則，則，解出即可.【詳解】（1）所以的最小正周期為.（2）因為,所以.因為,所以.所以.解得,所以的取值范圍是.17．如圖，四邊形為梯形，，四邊形為平行四邊形．(1)求證：∥平面；(2)若平面，求：（?。┲本€與平面所成角的正弦值；（ⅱ）點D到平面的距離．【答案】(1)見解析；(2)（i）；（ii）.【分析】（1）在射線上取點,使，證明四邊形為平行四邊形，則，則根據(jù)線面平行的判定即可得到；（2）以為原點，建立合適的空間直角坐標系，寫出相關(guān)向量，計算出平面的法向量為，則可計算出線面角的正弦值；（3）因為,根據(jù)（2）的結(jié)論則得到距離.【詳解】（1）如圖,在射線上取點,使,連接.由題設(shè),得,所以四邊形為平行四邊形.所以且.又四邊形為平行四邊形,所以且.所以且..所以四邊形為平行四邊形,所以.因為平面平面所以平面.（2）（i）因為平面,平面，所以.又,所以,,兩兩相互垂直.如圖建立空間直角坐標系,則.所以.設(shè)平面的法向量為,則即令,則.于是.設(shè)直線與平面所成角為,則所以直線與平面所成角的正弦值為.（ii）因為,所以直線與平面所成角的正弦值為.所以點到平面的距離為18．近年來，新能源汽車受到越來越多消費者的青睞．據(jù)統(tǒng)計，2021年12月至2022年5月全國新能源市場三種車型月度零售銷量數(shù)據(jù)如下（單位：萬輛）：12月1月2月3月4月5月轎車28.421.315.426.016.721.0MPV0.80.20.20.30.40.4SUV18.113.711.718.111.314.5(1)從2021年12月至2022年5月中任選1個月份，求該月零售銷量超過這6個月該車型月度零售銷量平均值的概率；(2)從2022年1月至2022年5月中任選3個月份，將其中的月度零售銷量相比上個月份增加的月份個數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記2021年12月至2022年5月轎車月度零售銷量數(shù)據(jù)的方差為，同期各月轎車與對應(yīng)的月度零售銷量分別相加得到6個數(shù)據(jù)的方差為，寫出與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）先求出這6個月月度零售銷量平均值，再利用古典概型的概率公式求解即可；（2）根據(jù)題意求得的所有可能取值，利用古典概型的概率公式求得各取值的概率，從而得到的分布列，進而可得的數(shù)學(xué)期望；（3）利用方差的求法，結(jié)合題意所給數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】（1）這6個月MPV車型月度零售銷量平均值為故MPV月度零售銷量超過的月份為12月，4月，5月，所以從2021年12月至2022年5月中任選1個月份，該月MPV零售銷量超過的概率為.（2）從2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售銷量相比上個月份增加的月份有2個：3月和5月，所以的所有可能取值為，則，所以的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望.（3）依題意，2021年12月至2022年5月轎車月度零售銷量分別為，其平均值為，所以轎車各月度零售銷量與平均值的差約為，所以，同期各月轎車與對應(yīng)的月度零售銷量分別相加得到6個數(shù)據(jù)為，其平均值為，所以轎車與對應(yīng)的各月度零售銷量與平均值的差為，所以，故.19．如圖，已知橢圓的一個焦點為，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作斜率為k的直線交橢圓E于兩點A，B，的中點為M．設(shè)O為原點，射線交橢圓E于點C．當與的面積相等時，求k的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意得到，解出即可.（2）的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，設(shè),得到兩根之和式，設(shè),根據(jù)，從而，結(jié)合其在橢圓上得到，解出即可.【詳解】（1）由題設(shè),，解得.所以橢圓的方程為.（2）直線的方程為.由得.設(shè),則.因為與的面積相等,所以點和點到直線的距離相等.所以為線段的中點,即四邊形為平行四邊形.設(shè),則.所以.將上述兩式代入，得.解得.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問得到兩根之和式，通過面積相等則得到為線段的中點，則為線段的中點，利用向量加法得到，從而用表示出點坐標，最后結(jié)合其在橢圓上，代入橢圓方程即可.20．己知函數(shù),其中．(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)當時,判斷的零點個數(shù),并加以證明;(3)當時,證明:存在實數(shù)m,使恒成立．【答案】(1)(2)1個(3)證明見解析【分析】(1)根據(jù)代入解析式,求出,根據(jù)點斜式寫出切線方程即可;(2)對函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性,觀察到,根據(jù)單調(diào)性分析零點個數(shù)即可;(3)先對函數(shù)求導(dǎo),再通分,令再對新函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性即值域情況,分析的正負,即的正負,進而求出的單調(diào)性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在實數(shù)m,使恒成立.【詳解】（1）解:由題知,,,,故在點處的切線方程為,即;（2）由題,,,,,故在上單調(diào)遞增,,故有1個零點;（3）由題,,,令,,即在上單調(diào)遞增,,且,故,使得,即在上單調(diào)遞增,即,單調(diào)遞減,即,單調(diào)遞增,故,若恒成立,只需,即即可,故存在實數(shù)m,使恒成立.【點睛】方法點睛:此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于難題,應(yīng)用了隱零點,關(guān)于隱零點的方法有:(1)對函數(shù)進行求導(dǎo)后,進行因式分解,寫成幾個因式的乘積;(2)然后將容易判斷正負的先進行判斷,不好判斷的令為一個新的函數(shù);(3)對新的函數(shù)進行求導(dǎo)求單調(diào)性;(4)取區(qū)間內(nèi)的點代入新函數(shù)中判斷函數(shù)值正負,直到函數(shù)值相互異號為止;(5)根新函數(shù)的單調(diào)性即可判斷在區(qū)間內(nèi)有零點,設(shè)為,判斷左右兩側(cè)的新函數(shù)的函數(shù)值正負,即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性求出最值.21．己知為有窮數(shù)列．若對任意的,都有（規(guī)定）,則稱具有性質(zhì)