北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)同步課時(shí)練習(xí)題（全冊(cè)分章節(jié)、課時(shí)含答案）

北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)同步課時(shí)練習(xí)題

第一章三角形的證明

第二章1.1等腰三角形

第1課時(shí)全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1全等三角形的性質(zhì)與判定

1?如圖，△ABCZ/\BAD.若AB=6，AC=4，BC=5，貝UAD的長(zhǎng)為（B）

A-4B.5

C-6D.以上都不對(duì)

2?如圖，若能用AAS來(lái)判定△ACDgaABE，則需要添加的條件是（B）

A-ZADC=ZAEB，/C=/B

B-ZADC=ZAEB，CD=BE

C-AC=AB，AD=AE

D-AC=AB>/C=/B

3?（2016?成都）如圖，AiABC絲AA'B'C，其中NA=36°，ZC=24°，則NB=120°.

4?（2017.懷化）如圖，AC=DC-BC=EC，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：AB=DE（答案不唯一），使得aABC嶺Z\DEC.

5?如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB〃DE，AB=DE>BE=CF，AC=6，則DF=§.

BEC

6?（2016?宜賓）如圖，已知NCAB=NDBA，NCBD=NDAC.求證：BC=AD.

證明：VZCAB-ZDBA，NDAC=/CBD>

，NDAB=NCBA.

在AADB和ABCA中，

第1頁(yè)共175頁(yè)

rZDBA=ZCAB，

<AB=BA，

[ZDAB=ZCBA，

.".△ADB^ABCA(ASA).

，AD=BC.

7?(2017?黃岡)已知：如圖，NBAC=NDAM-AB=AN，AD=AM，求證：ZB=ZANM.

證明：；NBAC=/DAM，ZBAC=ZBAD+ZDAC，NDAM=NDAC+NNAM，

.".ZBAD=ZNAM.

AB=AN，

NBAD=NNAM，

{AD=AM，

，ABAD^ANAM(SAS).

.\ZB=ZANM.

知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)

8-若等腰三角形的頂角為50°＞則它的底角度數(shù)為(D)

A?40°B.50°C.60°D.65°

9?(2017?平頂山市寶豐縣期末)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為5，則此三角形的周長(zhǎng)為(D)

A-13B.14C.15D.13或14

10?(2017?江西)如圖1是一把園林剪刀，把它抽象為圖2，其中OA=OB.若剪刀張開(kāi)的角為30°,則度.

圖]—

11?如圖，在AABC中，AB=AC，AD_LBC于點(diǎn)D.若AB=6-CD=4，則4ABC的周長(zhǎng)是20.

02中檔題

12?如圖，在4ABC中，AD1BC-垂足為D，AD=BD=CD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(C)

A-AB=ACB.AD平分NBAC

C-AB=BCD./BAC=90°

13?(2017?朝陽(yáng)市建平縣期末)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于15°,則這個(gè)三角形為(D)

A?鈍角等腰三角形

第2頁(yè)共175頁(yè)

B-直角等腰三角形

C?銳角等腰三角形

D?鈍角等腰三角形或銳角等腰三角形

14?(2016.泰安)如圖，在4PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM=BK，BN=AK.若

ZMKN=44°，則NP的度數(shù)為(D)

A-44°B.66°

C-88°D.92°

15?如圖，已知點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB〃CD，ZABE=ZCDF，AF=CE.

(1)從圖中任找兩組全等三角形;

(2)從(1)中任選一組進(jìn)行證明.

解：(1)答案不唯一，如：AABE^ACDF-AABC^ACDA.

(2)答案不唯一，如選擇證明4ABE絲4CDF，證明如下：

VAF=CE，

.,.AE=CF.

：AB〃CD，

；.NBAE=/DCF.

又：NABE=/CDF，

ZXABE絲△CDF(AAS).

16?如圖，^ABC中，AB=AC，AD1BC，CE1AB，AE=CE.求證:

(l)AAEF^ACEB；

(2)AF=2CD.

證明：(1)：AD_LBC，CE_LAB，

.".ZAEF=ZCEB=ZADC=90°.

.,.ZAFE+ZEAF=ZCFD+ZECB=90°.

又：NAFE=NCFD>

，NEAF=NECB.

在4AEF和4CEB中，

fZAEF=ZCEB，

<AE=CE，

1/EAF=/ECB，

.".△AEF^ACEB(ASA).

(2)VAAEF^ACEB>

，AF=BC.

在AABC中，AB=AC，AD1BC，

第3頁(yè)共175頁(yè)

，CD=BD，BC=2CD.

，AF=2CD.

03綜合題

17?(1)如圖1，在RtAABC中，ZACB=90°，點(diǎn)D，E在邊AB上，且AD=AC，BE=BC，求NDCE的度數(shù)；

(2)如圖2，在4ABC中，ZACB=40°，點(diǎn)D，E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，則NDCE=110°:

(3)在4ABC中，ZACB=n°(0<n<180)，點(diǎn)D，E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，求NDCE的度數(shù)(直接

寫(xiě)出答案，用含n的式子表示).

解：⑴：AD=AC，BC=BE，

；./ACD=/ADC>NBCE=NBEC.

.,.ZACD=(180°-NA)+2，

NBCE=(180°-NB)+2.

VZA+ZB=90°，

；.NACD+/BCE=180°—(NA+/B)-2=180°-45°=135°.

AZDCE=ZACD+ZBCE-ZACB=135°-90°=45°.

⑶①如圖1，ZDCE=90°-1n°；

②如圖2，/DCE=90。+1n°；

③如圖3，/DCE=gn°；

④如圖4，/DCE=1n°.

第2課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形相關(guān)線段的性質(zhì)

1?在4ABC中，AB=AC，BD，CE分別為邊AC，AB上的中線.若BD=5，則CE=5.

2?證明：等腰三角形兩腰上的高相等.

解：已知：如圖，在4ABC中，AB=AC，CE±AB于點(diǎn)E，BD±AC于點(diǎn)D.

求證：BD=CE.

證明：：CEJ_AB于點(diǎn)E，BD_LAC于點(diǎn)D，

；./AEC=/ADB=90".

又：AC=AB，/A=NA，

」.△ACE絲△ABD(AAS).

，CE=BD.

第4頁(yè)共175頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的性質(zhì)

3?如圖，Z\ABC是等邊三角形，則/1+/2=（C）

A-60°B.90°

C-120°D.180°

c

4?（2017?南充）如圖，等邊AOAB的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（D）

A-（1-1）B.（小-1）

C?（小’小）D.（1>?。?/p>

5?如圖，Z\ABC為等邊三角形，AC/7BD，則NCBD=120°.

6?如圖，等邊AABC中，AD為高，若AB=6，則CD的長(zhǎng)度為3.

7?等邊4ABC的邊長(zhǎng)如圖所示，則y=3.

8?如圖，l〃m，等邊4ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，延長(zhǎng)AC，交直線m于點(diǎn)D.若/1=20°，求N2的度數(shù).

解：ABC是等邊二角形1

.,,ZACB=60°.

...在4BCD中，NCDB=/ACB-N1=6O°-20°=40°.

，N2=/CDB=40°.

9?如圖，AABC和4ADE是等邊三角形，AD是BC邊上的中線.求證：BE=BD.

第5頁(yè)共175頁(yè)

證明：:△ABC和4ADE是等邊三角形，AD為BC邊上的中線，

，AE=AD，AD為/BAC的平分線.

.?./CAD=NBAD=30°.

.\ZBAE=ZBAD=30°.

在4ABE和4ABD中，

fAE=AD，

<ZBAE=ZBAD，

[AB=AB，

.二△ABE會(huì)△ABD(SAS).

，BE=BD.

02中檔題

10?下列說(shuō)法：①等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都等于60°；②等邊三角形三條邊上的高都相等：③等腰三角形兩底角

的平分線相等；④等邊三角形任意一邊上的高與這條邊上的中線互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高與這條腰上的

中線互相重合.其中正確的有(D)

A?I個(gè)B.2個(gè)

C?3個(gè)D.4個(gè)

11?如圖，ZXABC是等邊三角形，AD1BC＞垂足為D，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且AD=AE，則NCDE等于(C)

A-30°B.20°

C-15°D.10°

12?如圖，已知AABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則/E=ll度.

DE

13?如圖，在等邊4ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，CD，BE交于點(diǎn)O，則/BOC的度數(shù)是120°.

14?如圖，已知等邊4ABC紙片，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的

位置，且ED_LBC，則NEFD=45°.

第6頁(yè)共175頁(yè)

A

15?如圖，在等邊AABC中，D是BC上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使AE=AC，ZBAE的平分線交4ABC的高BF

于點(diǎn)。.求NE的度數(shù).

解：：AABC是等邊三角形，BF是4ABC的高，

，ZABO=|ZABC=30°，

AB=AC.

VAE=AC，???AB=AE.

VAO為NBAE的平分線，

AZBAO=ZEAO.

在aABO和△AEO中，

jAB=AE，

<ZBAO=ZEAO，

IAO=AO，

.,.△ABO^AAEO(SAS).

.".ZE=ZABO=30°.

16?如圖，AABC為等邊三角形，點(diǎn)M是線段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN>BN

與AM相交于點(diǎn)Q.

(1)求證：AM=BN；

(2)求/BQM的度數(shù).

解：(1)證明：:△ABC為等邊三角形，

...NABC=NC=/BAC=60°，AB=BC.

在AAMB和4BNC中，

fAB=BC>

<NABM=/C，

IBM=CN，

.?.△AMB絲△BNC(SAS).，AM=BN.

(2)VAAMB^ABNC，

第7頁(yè)共175頁(yè)

，NMAB=/NBC.

，NBQM=/MAB+ZABQ=ZNBC+NABQ=NABC=60°.

03綜合題

17?已知，如圖所示，P為等邊4ABC內(nèi)的一點(diǎn)，它到三邊AB，AC，BC的距離分別為h]-h2>，AABC的高

AM=h，則h與hl，h2，h3有何數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想并加以證明.

解：猜想：hi+h2+h3=h.

證明如下：連接PA，PB，PC.

,*SAPAB—^AB-hi'

SAPAC=/ACh2'

SziPBC=/BCh31

SAABC=IBCII"

SAPAB+SAPAC+SAPBC=SAABC，

.'.^ABhi+yACh2+5：BCh3=^BC-h.

VAABC是等邊三角形，

AB=AC=BC.

Ahi+h2+h3=h.

第3課時(shí)等腰三角形的判定與反證法

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的判定

1?在4ABC中，已知NB=NC，則(B)

A-AB=BCB.AB=AC

C-BC=ACD.ZA=60°

2?如圖，在AABC中，AD平分外角NEAC，且AD〃BC，則4ABC一定是(C)

A?任意三角形B.等邊三角形

C-等腰三角形D.直角三角形

3?如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，ZA=ZD-如果請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得ABOC是等腰三角形那么你補(bǔ)充的

條件不能是(C)

A-OA=ODB.AB=CD

C-ZABO=ZDCOD.NABC=/DCB

第8頁(yè)共175頁(yè)

4?(易錯(cuò)題)下列能判定4ABC為等腰三角形的是(B)

A-/A=30°，ZB=60°

B-ZA=50°，ZB=80°

C-AB=AC=2，BC=4

D-AB=3，BC=7，周長(zhǎng)為10

5?如圖，已知OC平分/AOB，CD〃OB.若OD=3cm，則CD=3cm.

6?如圖，在4ABC中，AD±BC于D，若添加下列條件中的一個(gè)：①BD=CD；②AD平分/BAC；③AD=BD.

其中能使4ABC成為等腰三角形的有①②.

7-已知：如圖，AB=BC>DE〃AC，求證：4DBE是等腰三角形.

證明：VAB=BC，

.\ZA=ZC.

VDE/7AC，

；.NBDE=/A，/BED=/C.

，NBDE=/BED.

，BD=BE.

???△DBE是等腰三角形.

知識(shí)點(diǎn)2反證法

8?（2017?西安期中）用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角”第一步應(yīng)假設(shè)一個(gè)三角形中有兩個(gè)角

是直角.

9?用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角.

已知：等腰4ABC，AB=AC.

求證：ZB>NC必定是銳角.

證明：①假設(shè)等腰三角形的底角NB，NC都是直角，即/B+NC=18腰，

則/A+/B+NC=180°+ZA>180°-

這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾；

②假設(shè)等腰三角形的底角NB，ZC都是鈍角，即/B+/O18形，

則NA+/B+NC>180°，

這與三角形內(nèi)角和等于18。矛盾.

綜上所述，假設(shè)①，②錯(cuò)誤，

所以NB，/C只能為銳角.

第9頁(yè)共175頁(yè)

故等腰三角形的底角必定為銳角.

10?用反證法證明：已知直線2〃。，b〃c，求證：a〃b.

b--------------------

C--------------------

證明：假設(shè)a與b相交于點(diǎn)M，則過(guò)M點(diǎn)有兩條直線平行于直線c，

這與“過(guò)直線外一點(diǎn)平行于已知直線的直線有且只有一條”相矛盾，

所以假設(shè)不成立，即2〃卜

02中檔題

11?（2017.鄭州月考）已知，如圖，在4ABC中，OB和OC分別平分/ABC和NACB，過(guò)O作DE〃BC，分別交

AB，AC于點(diǎn)D，E.若BD+CE=5，則線段DE的長(zhǎng)為（A）

O\E

12?已知4ABC中，AB=AC，求證：/B<90°.若用反證法證這個(gè)結(jié)論，應(yīng)首先假設(shè)/B》90°.

13?如圖，在一張長(zhǎng)方形紙條上任意畫(huà)一條截線AB，將紙條沿截線AB折疊，所得到△ABC的形狀一定是等腰三

角形.

14?某輪船由西向東航行，在A處測(cè)得小島P的方位是北偏東70°，又繼續(xù)航行7海里后，在B處測(cè)得小島P的

方位是北偏東50°，則此時(shí)輪船與小島P的距離BP=Z海里.

15?（2017?內(nèi)江）如圖，AD平分NBAC，AD1BD，垂足為點(diǎn)D，DE〃AC.求證：ABDE是等腰三角形.

證明：VDE/7AC-

.\ZDAC=ZEDA.

VAD平分NBAC，

.\ZDAC=ZEAD.

，/EAD=ZEDA.

VAD1BD，

.,.ZEAD+ZB=90°，ZEDA+ZBDE=90°.

.".ZB=ZBDE.

.?.△BDE是等腰三角形.

第10頁(yè)共175頁(yè)

16?如圖，在等邊4ABC中，BD平分NABC，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，連接DE.

(1)成逸同學(xué)說(shuō)：BD=DE，她說(shuō)得對(duì)嗎？請(qǐng)你說(shuō)明理由；

(2)小敏同學(xué)說(shuō)：把“BD平分NABC”改成其他條件，也能得到同樣的結(jié)論，你認(rèn)為應(yīng)該如何改呢？

CE

解：(1)BD=DE是正確的.

理由：;△ABC為等邊三角形，BD平分NABC，

.?./DBC=；NABC=30。，ZACB=60°.

，/DCE=180°-ZACB=120°.

又；CE=CD，

.?.NE=30°.

.".ZDBC=ZE.

，BD=DE.

(2)可改為：BDLAC(或點(diǎn)D為AC中點(diǎn)).

理由：VBD±AC，

.".ZBDC=90°.

.?./DBC=30°.

由⑴可知NE=30°，

；./DBC=/E.

，BD=DE.

03綜合題

17?如圖，在4ABC中，AB=AC=2，NB=NC=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(D不與B，C重合)，連接AD，

作NADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)NBDA=115°時(shí)＞ZEDC=25°，/DEC=115°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，/BDA逐漸變小(填“大”或“小”)；

(2)當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABDg^DCE，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，4ADE可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫(xiě)出NBDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

B里

解：(2)當(dāng)DC=2時(shí)，AABD^ADCE.

理由：：/C=40°，

.,.ZDEC+ZEDC=140°.

XVZADE=40°-

.,.ZADB+ZEDC=140°.

，NADB=NDEC.

又,；AB=DC=2，

.,.△ABD^ADCE(AAS).

(3)可以，NBDA的度數(shù)為110°或80°.

理由：當(dāng)/BDA=110°時(shí)，ZADC=70°.

VZC=40°，

.".ZDAC=180°-ZADC-ZC=180°-70°-40°=70°.

.?./AED=180°-ZDAC-ZADE=180°-70°-40°=70：

.\ZAED=ZDAE.

第11頁(yè)共175頁(yè)

AAD=ED.

/.△ADE是等腰三角形.

當(dāng)NBDA=80°時(shí)，ZADC=100°.

.?./DAC=180°—NADC—/C=180°-100°-40°=40°.

ZDAE=ZADE.

，AE=DE.

...△ADE是等腰三角形.

第4課時(shí)等邊三角形的判定

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的判定

1?AABC中，AB=AC，ZA=ZC，則4ABC是(B)

A-等腰三角形B.等邊三角形

C■不等邊三角形D.不能確定

2?下列說(shuō)法不正確的是(D)

A?有兩個(gè)角分別為60°的三角形是等邊三角形

B?頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形

C?底角為60°的等腰三角形是等邊三角形

D?有一個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形

3?如圖，在4ABC中，AB=BC=6，/B=60°，則AC等于(B)

A-4B.6C.8D.10

4?如圖，將兩個(gè)完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，則拼接后的4ABD的形狀是等邊三角形.

BCD

5?如圖，已知OA=a，P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn),/AON=60°，當(dāng)0P=gj4，AAOP為等邊三角形.

6?如圖，點(diǎn)D，E在線段BC上，BD=CE，NB=/C，/ADB=120°，求證：ZXADE為等邊三角形.

BD

證明：：/B=/C，

，AB=AC.

又：BD=CE，

ZXABD絲△ACE(SAS).

，AD=AE.

又,.?NADB=120°，

.".ZADE=60°.

.,.△ADE為等邊三角形.

第12頁(yè)共175頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)2含30°角的直角三角形的性質(zhì)

7?（2017?平頂山市寶豐縣期中）在RtZ^ABC中，NC=90°，/A=30°，BC=9，則AB=1i.

8?（2017?鄭州月考）如圖‘ZC=900,ZABC=75°，NCDB=30°.若BC=3cm，則AD=6cm.

9?如圖，這是某超市自動(dòng)扶梯的示意圖，大廳兩層之間的距離h=6.5米，自動(dòng)扶梯的傾角為30°，若自動(dòng)扶梯運(yùn)

行速度為v=0.5米/秒，則顧客乘自動(dòng)扶梯上一層樓的時(shí)間為組秒.

10?如圖，鐵路AC與鐵路AD相交于車站A，B區(qū)在/CAD的平分線上，且距車站A為20千米，ZDAC=60°，

則B區(qū)距鐵路AC的距離為坨千米.

11?如圖，在AABC中，NACB=90°>ZA=30°，CD_LAB于點(diǎn)D，BC=8cm，求AD的長(zhǎng).

C

DB

解：VZACB=90°，/A=30°，BC=8cm，

AZB=60°，AB=2BC=16cm.

又,；CDJ_AB于D，

；./BDC=90°.

.".ZDCB=30°.

DB=^BC=4cm.

AD=AB—DB=12cm.

02中檔題

12?在下列三角形中：①三邊都相等的三角形；②有一個(gè)角是60°且是軸對(duì)稱圖形的三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂

點(diǎn)處各取1個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有（D）

A?①②③B.①②④

C'D.①②③④

13?如圖，折疊直角三角形紙片的直角，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，已知CD=1，ZB=30°，則BD的長(zhǎng)

是（B）

DC

B-2C.小D-2小

14?已知NAOB=30°，點(diǎn)P在NAOB內(nèi)部，Pi與P關(guān)于OB對(duì)稱，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱，則Pi，O，P2三點(diǎn)所

第13頁(yè)共175頁(yè)

構(gòu)成的三角形是(D)

A?直角三角形B.鈍角三角形

C?等腰三角形D.等邊三角形

15?如圖，已知/AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，0P=12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM=PN.若MN=2，則OM=

(C)

A-3B.4D.6

16■如圖，4ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA邊上一點(diǎn)，且AD=BE=CF，則4DEF的形狀

是等邊三角形.

17?如圖，在AABC中，AB=AC，ZBAC=120°，AD是BC邊的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接

DE，DF.

(1)求證：4AED是等邊三角形；

(2)若AB=2＞則四邊形AEDF的周長(zhǎng)是4.

證明：VAB=AC-ZBAC=120°，

，/B=/C=30°.

：AD是BC邊的中線，

AADIBC.

AZBAD=60°.

/.AD=|AB.

?.?點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

，AE=；AB.

，AE=AD.

.??△ADE是等邊三角形.

03綜合題

18?在四邊形ABCD中，AB=BC=

圖I圖2

⑴如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE=CF.求證：

?AABE^AACF；

②4AEF是等邊三角形；

第14頁(yè)共175頁(yè)

(2)若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，則在直線CD上是否存在點(diǎn)F，使4AEF是等邊三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論(圖2備用).

解：(1)證明：①；AB=BC，/B=60°>

.?.△ABC是等邊三角形.，AB=AC.

同理，AADC也是等邊三角形，

.".ZB=ZACF=60°.

又：BE=CF，.'.△ABE絲△ACF(SAS).

②?.?△ABEZA.ACF，

；.AE=AF，NBAE=NCAF.

VZBAE+ZCAE=60°，

.,.ZCAF+ZCAE=60°，即NEAF=60°.

...△AEF是等邊三角形.

⑵存在.

證明：在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，在BC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CF=BE，連接AE，EF，AF.

與(1)①同理,可證4ABE烏ZXACF，

，AE=AF，ZBAE=ZCAF.

ZBAE-/CAE=ZCAF-ZCAE.

.\ZBAC=ZEAF=60°.

」.△AEF是等邊三角形.

(注：若在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使CE=DF也可)

小專題(一)等腰三角形中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想

類型1方程思想

1?如圖，在4ABC中,AB=AC>BC=BD=ED=EA，求NA的度數(shù).

解：設(shè)/A=x°>

VBC=BD=ED=EA，

/ADE=/A=x".

.".ZDEA=ZDBE=2x°.

...NBDC=NC=3x".

VAB=AC，

，NC=/ABC=3x°.

在AABC中，/A+/C+/ABC=180°，

即x+3x+3x=18O.

180

/.x=,

180°

NA為，~T

類型2分類討論思想

2?如圖，在RtAABC中，/ACB=90°，AB=2BC>在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得4PAB為等腰三角形，

則符合條件在點(diǎn)P共有(B)

A?7個(gè)B.6個(gè)C.5個(gè)D.4個(gè)

第15頁(yè)共175頁(yè)

3?若實(shí)數(shù)x，y滿足|x-5|+yy-10=0，則以x，y的值為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為空.

4?如圖，ZBOC=60°，點(diǎn)A是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=10cm-動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移

動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿0C以1cm/s的速度移動(dòng).如果點(diǎn)P-Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t=g)或

辿s時(shí)，APOQ是等腰三角形.

5?已知0為等邊4ABD的邊BD的中點(diǎn)，AB=4，E，F(xiàn)分別為射線AB，DA上一動(dòng)點(diǎn)，且NEOF=120°，若

AF=1，求BE的長(zhǎng).

解：當(dāng)F點(diǎn)在線段DA的延長(zhǎng)線上，如圖1，作OM〃AB交AD于M，

為等邊4ABD的邊BD的中點(diǎn)，

，0B=2，ND=/ABD=60°.

.".△ODM為等邊三角形.

，0M=MD=2，ZOMD=60°.

，F(xiàn)M=FA+AM=3，ZFMO=ZBOM=120°.

VZEOF=120°，

，NBOE=ZFOM.

而/EBO=180°—/ABD=120°，

AOMF^AOBE(ASA).

，BE=MF=3.

當(dāng)F點(diǎn)在線段AD上時(shí)，如圖2，

同理可證明△OMFgZ\OBE?

則BE=MF=AM-AF=2—1=1.

類型3整體思想

6?已知4ABC中，ZA=a，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC上.

第16頁(yè)共175頁(yè)

(1)如圖1，若BE=BD，CD=CF>則/EDF=90°a；

(2)如圖2，若BD=DE，DC=DF，則NEDF=180°-2a；

(3)如圖3，若BD=CF，CD=BE，AB=AC，則/EDF=g(180°—a)；

(4)如圖4，若DE_LAB，DFXBC，AB=AC，則/EDF=g(180。一a).

1.2直角三角形

第1課時(shí)勾股定理及其逆定理

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)及其判定

1?在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于60°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(D)

A-120°B.90°

C-60°D.30°

2?由下列條件不能判定AABC是直角三角形的是(C)

A-/A=37°>/C=53°

B-ZA-ZC=ZB

C?ZA：ZB：ZC=3：4：5

D-ZA：ZB：/C=2：3：5

3?(2017?安徽)直角三角板和直尺如圖放置.若Nl=20°，則N2的度數(shù)為(C)

A-60°B-50°C-40°D-30°

知識(shí)點(diǎn)2勾股定理及其逆定理

4?(2017?西安期中)下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形的是(D)

A-2-4-5B.6>8>11

C-5-12-12D.1，1，也

5?如圖，點(diǎn)D在4ABC的邊AC上，將4ABC沿BD翻折后，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)C重合.若BC=5，CD=3，則BD

的長(zhǎng)為(D)

A-1B.2C.3D.4

6?(2017?阿壩)直角三角形斜邊長(zhǎng)是5，一直角邊的長(zhǎng)是3，則此直角三角形的面積為團(tuán)

7?(2017?成都)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是、萬(wàn)一1.

8?如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，AC±CD，求四邊形ABCD的面積.

解：；AC_LCD，CD=12，AD=13，

AC=^/AD2-CD2=y/132~122=5.

第17頁(yè)共175頁(yè)

又；AB=3，BC=4，

AAB2+BC2=32+42=52=AC2.

AZB=90°.

SMUl?ABCD=SAABCH-SAACD

=1ABBC+|ACCD

=1X3X4+|X5X12

=6+30

=36.

知識(shí)點(diǎn)3命題(逆命題)與定理(逆定理)

9?下列命題中，其逆命題成立的是幽.(只填寫(xiě)序號(hào))

①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；

③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；

④如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c(c為最長(zhǎng)邊)滿足a?+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

10?寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題.

(1)兩直線平行，同位角相等；

(2)如果a是偶數(shù)，b是偶數(shù)，那么a+b是偶數(shù).

解：(1)同位角相等，兩直線平行.真命題.

(2)如果a+b是偶數(shù)，那么a是偶數(shù)，b是偶數(shù).假命題.

02中檔題

11-已知卜列命題：

①若a+b=0，則|a|=|b|；②等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等；③底角相等的兩個(gè)等腰三角形全等.其中原命題與逆

命題均為真命題的個(gè)數(shù)是(A)

A?1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

12?如圖，正方形網(wǎng)格中的aABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則4ABC的形狀為(A)

A?直角三角形B.銳角三角形

C?鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)

13?(2017?陜西)如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的AABC和4A'B'C'拼在一起，其中點(diǎn)A，與點(diǎn)A重合，點(diǎn)

C，落在邊AB上，連接BC若NACB=/AC'B'=90°>AC=BC=3，則B，C的長(zhǎng)為(A)

A?3小B.6

C-3y[2D.回

14?(2017?平頂山市寶豐縣期中)如圖，在aABC中，NA=45°，/B=30°，CD_LAB，垂足為D，CD=1，則

AB的長(zhǎng)為(D)

第18頁(yè)共175頁(yè)

c

A-2B-2小D.小+1

15?在4ABC中，AB=10，AC=2?而，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于(C)

A-10B.8

C?6或10D.8或10

16?如圖，圓柱形容器高為18cm-底面周長(zhǎng)為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻

正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為20cm.

17?(2016?益陽(yáng))如圖，i￡AABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求ZkABC的面積.

某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過(guò)程.

A

DuC

解：在aABC中，AB=15，BC=14，AC=13，

設(shè)BD=x，則CD=14—x.

由勾股定理，得AD2=AB2—BD2=152—X?，AD2=AC2-CD2=132-(14-X)2-

故15?-X?=132—(14—x)2>

解得x=9.

AD=yAB2—BD2=Y152—92=12.

???S/、ABC=；BC-AD=：X14X12=84.

03綜合題

18?觀察下列勾股數(shù)組：3，4，5；5，12，13；7-24-25；9-40>41；…；a，b，c.你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，根據(jù)你

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出：

⑴當(dāng)a=19時(shí)，則b，c的值是多少？

⑵當(dāng)a=2n+l時(shí)，求b，c的值.你能證明所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

解：⑴當(dāng)a=19時(shí)，設(shè)b=k，貝！Jc=k+l，觀察有如下規(guī)律：192+k2=(k+l)2.

解得k=180.

故b=180，c=181.

⑵當(dāng)a=2n+l時(shí)，設(shè)b=k>則?=卜+1，根據(jù)勾股定理a?+b2=c2得(2n+l)2+l?=(k+1產(chǎn)，

解得k=2n(n+l).

，b=2n(n+l)，c=2n(n+1)+1.

證明：Va2+b2=(2n+l)2+[2n(n+l)]2=4n4+8n3+8n2+4n+l，[2n(n+1)+l]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，

.*.a2+b2=c2.

(2n+1>+[2n(n+1)]2=[2n(n+1)+1]2.

第2課時(shí)直角三角形全等的判定

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1用HL判定直角三角形全等

第19頁(yè)共175頁(yè)

1?如圖，點(diǎn)P是NBAC內(nèi)一點(diǎn)，PEXAC于點(diǎn)E>PF±AB于點(diǎn)F，PE=PF，則直接得到△PEAgAPFA的理由是

(A)

A-HLB.ASA

C-AASD.SAS

,A

EC

2?如圖，已知AD是4ABC的邊BC上的高，下列能使4ABD絲ZiACD的條件是(A)

A-AB=ACB.ZBAC=90°

C-BD=ACD.ZB=45°

A

△

BDC

3?如圖，ZB=ZD=90°，BC=CD，Zl=40°，則N2=(B)

A-40°B.50°

C?60°D.75°

4?如圖，點(diǎn)D，A，E在直線1上，AB=AC，BD±1于點(diǎn)D，CE±1于點(diǎn)E，且BD=AE.若BD=3，CE=5，則

DE=&

5?如圖所示，AD_LBE于點(diǎn)C，C是BE的中點(diǎn)，AB=DE，求證：AB〃DE.

證明：VAD±BE>

.".ZACB=ZDCE=90°.

是BE的中點(diǎn)，

，BC=EC.

在RtAABC和RtADEC中，

JAB=DE，

[BC=EC，

RtAABC^RtADEC(HL).

.\ZA=ZD.

AABDE.

知識(shí)點(diǎn)2用其他方法證明直角三角形全等

6?(2017?平頂山市寶豐縣期中)下列條件不能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是(C)

笫20頁(yè)共175頁(yè)

A-兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等

B-斜邊和一個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等

C?兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等

D-斜邊和一直角邊分別對(duì)應(yīng)相等

7?如圖，ACJ_BC，ADXDB，耍使△ABCgZ\BAD，還需添加條件：答案不唯一，如：NBAC=/ABD.(只需

寫(xiě)出一種情況)

DC

----------------汽

8?如圖，在RtAABC中，ZABC=90°，點(diǎn)D在邊AB上，使DB=BC，過(guò)點(diǎn)D作EF±AC，分別交AC于點(diǎn)E，

交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：AB=BF.

證明：VEF1AC，

.,.ZF+ZC=90°.

VZA+ZC=90°，

，NA=ZF.

又：DB=BC，ZFBD=ZABC，

AFBD^AABC(AAS).

AAB=BE

知識(shí)點(diǎn)3HL在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

9?如圖，點(diǎn)C是路段AB的中點(diǎn)，小明和小紅兩人從C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時(shí)到

達(dá)D，E兩地，并且DA_LAB于A，EB±AB于B.此時(shí)小明到路段AB的距離是50米，則小紅到路段AB的距離

是多少米？

解：：DA_LAB于A，EB_LAB于B，

」.△ADC和4BEC為直角三角形.

???點(diǎn)C是路段AB的中點(diǎn)，

，AC=BC.

?.?小明和小紅同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時(shí)到達(dá)D，E兩地，

，CD=CE.

，RtAADC^RlABEC(HL).

，BE=AD=50米.

答：小紅到路段AB的距離是50米.

02中檔題

10?已知在RtAABC中，ZC=90°，ZB=30°，AB=4，則下列圖中的直角三角形與RtAABC全等的是(A)