從2019年高考數(shù)學(xué)題型分析探究如何提高考生的解題能力

從2019年高考數(shù)學(xué)題型分析

探究如何提高考生的解題能力

貴州大學(xué)周?chē)?guó)利教授

一、18、19年的高考數(shù)學(xué)全國(guó)試卷更加

強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的基礎(chǔ)性、綜合性、突出數(shù)學(xué)

學(xué)科的特色、突出應(yīng)用性和創(chuàng)新性，仍然

堅(jiān)持能力立意的命題原則，著重考查考生

的理性思維能力、考查數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，

考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法分析問(wèn)題、解

決問(wèn)題的能力，逐步體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)

值、應(yīng)用價(jià)值和理性?xún)r(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)的熱情。整個(gè)試卷加強(qiáng)了對(duì)考生的圖

形的直觀(guān)想象、識(shí)別能力、處理能力、數(shù)

形結(jié)合能力的考查，其廣泛運(yùn)用于高考試

題的各種類(lèi)型，每年試題中有10-14個(gè)題

都與圖形有關(guān)。

二、以后幾年高考數(shù)學(xué)命題變化趨勢(shì)：

(1)高考數(shù)學(xué)命題難度微小變化，卷

三2018年文、理科試卷選擇題有8個(gè)題、

填空題有1個(gè)，解答證明題有4個(gè)半（解

析幾何理科多求公差）題90分左右相同，

2019年文、理科試卷選擇題有8個(gè)題、填

空題有2個(gè)，解答證明題有近5個(gè)（立體

幾何、解析幾何、函數(shù)都有一半以上相

同）題105分以上相同，逐步嘗試文、理

不分科，對(duì)2020年高考文、理不分科的省

市文科學(xué)生要適度增加數(shù)學(xué)難度，其水平

可參考18、19年全國(guó)卷的數(shù)學(xué)試題;

（2）命題是以考查學(xué)生掌握知識(shí)及住

現(xiàn)學(xué)生能力的立意原則,突出應(yīng)用性和創(chuàng)

新性,19年的全國(guó)卷文、理科試卷總體似

乎偏難，但仔細(xì)研究分析，三角函數(shù)、立

體幾何、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、解析幾何、極坐標(biāo)題

難度并不太大，但較新穎，題目結(jié)合我國(guó)

的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、社會(huì)實(shí)踐、數(shù)學(xué)文化，鋪墊

了大量的情景問(wèn)題，如高鐵運(yùn)行、探測(cè)器

軟著陸、藥品檢驗(yàn)、殘留物測(cè)定、印章結(jié)

構(gòu)、籃球決賽、乒乓球比賽等，老師要著

重教會(huì)學(xué)生從題設(shè)描述的已知條件中，捕

捉對(duì)解題有用的數(shù)據(jù)、圖形、等式或不等

式，結(jié)合知識(shí)點(diǎn)，理清解題思路，尋找關(guān)

健突破口，加強(qiáng)運(yùn)算及化簡(jiǎn)能力，考生成

績(jī)較差，說(shuō)明學(xué)生解題的能力有待提高；

(3)命題立足教材、基于教材、回歸

教材，有部分題可直接源于教材，教材的

結(jié)論、習(xí)題的結(jié)果、平時(shí)解題積累的知

識(shí)，可直接用于考試；

(4)命題結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，

基本不出偏題、怪題和難度太大的題，19

年全國(guó)高考題題型有所變化，并不太難；

(5)題量暫時(shí)不變，仍然為12+4+6

題型模式，共22題，但分值可能有所微

調(diào)，如卷二第16題關(guān)于金石文化的印記問(wèn)

題填空有二問(wèn)，分別是2分(利用對(duì)稱(chēng)性

可數(shù)出面數(shù)26個(gè))和3分(將立體圖形作

一截面，在平面幾何中一邊長(zhǎng)為1的正方

形內(nèi)求正八邊形的邊長(zhǎng)。，*

適當(dāng)增加多選題、開(kāi)放性題及半

開(kāi)放性題，18、19年試卷已有所體現(xiàn)；

(6)難題一般仍然在20、21題，但

不一定是解幾、函數(shù)，有可能是其他類(lèi)

型，18年已有所嘗試，卷二20題為立體幾

何，卷一20題為概率統(tǒng)計(jì)，19年17題為

統(tǒng)計(jì)、18題為三角、20題為函數(shù)、21題為

解幾，22題極坐標(biāo)題較新穎、23不等式證

明較難(卷一、卷二的22、23題簡(jiǎn)單)。

三、2019年部分全國(guó)卷題參考解答

*1、19年一卷理科15題：

甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制。根

據(jù)前期成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為主主客客主客

主，設(shè)甲隊(duì)的主客場(chǎng)取勝的概率分別為0.6和0.5,

且各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，則甲隊(duì)4比1獲勝的概率是

解：該題有應(yīng)用背景，考查學(xué)生分析問(wèn)題及解決問(wèn)

題的能力，計(jì)算看似簡(jiǎn)單，但有技巧。

甲隊(duì)4比1獲勝的情形為：負(fù)勝勝勝勝，勝負(fù)勝勝

勝，勝勝負(fù)勝勝，勝勝勝負(fù)勝

故甲隊(duì)4比1獲勝的概率是

2x0.4X06x(1-0.5)2+2x0治3乂(1一0.5)u0.5

=2x0.5x06x0.5x(0.4+0.6)=0.36x0.5=0.18°

對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)題，請(qǐng)老師和同學(xué)們關(guān)

注卷三的2013年理科19題，2017年理科

18題及卷一的2018年理科20題，2019年

理科21題等，這些題都與經(jīng)濟(jì)發(fā)展的供給

側(cè)結(jié)構(gòu)性改革和數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值有關(guān)。

19年一卷理科21題：

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望

知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行了動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)方

案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥物進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，

對(duì)于兩只白鼠隨機(jī)選取一只施以甲藥，另一只施以乙

藥，一輪的實(shí)驗(yàn)得出結(jié)果后，再安排下一輪實(shí)驗(yàn)。當(dāng)

其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只

時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為

了方便描述問(wèn)題，約定對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的

白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈的則甲藥得1分，

乙藥得T分，同理另一種情形乙藥得1分，甲藥得-

1分，若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分，甲、

乙兩種新藥治愈率分別記為a和萬(wàn)，一輪試驗(yàn)中甲藥

的得分記為X,(1)求X的分布列；

(2)若甲、乙兩種新藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦于4

分，*=128)表甲藥的累計(jì)得分為,時(shí)，最終認(rèn)為

甲藥比乙藥更有效的概率，穌=o,A=1,

￡=睥盧如+叫+】=7),其中a=P(X=_l),

b=p(X=O),c=P(X=l),彳段設(shè)a=0.5,4=0.8,

證明：｛匕=為《=1,2,7)為等比數(shù)列，

且求生并根據(jù)乙的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。

解：(1)X取值為-1、0、1,其分布列為：

P(X=-1)=(1-6Z)/?,P(X=0)=aj3+(l-a)(l-j3),

P(X=l)=a(i),

(2)當(dāng)2=0.5,4=0.8時(shí)，a=P(X=-l)=0.5x0.8=0.4,

Z,=p（X=0）=0.5x0.8+0.5x0.2=0.5,c=P（X=l）=0.1,

Pt=0.4匕I+0.5e+0.1匕?,故0.1(匕「月)=0.4(月-匕),

即(2i—々)=4(々一匕|),因W"0,

所以｛匕「片｝。=1，2,7：是首項(xiàng)為片，公比為4的

等比數(shù)列，■=&-6)+(：-硝++(i))=

88

764—14—1

=474+464++P^P]——=P]--

由娛=1,得

匕=0—A）+（Q—刃）++（《—?）=

44-1_44-13_1

=444+434++4=4x

8-

334-1257

乙表最終甲藥更有效的概率，由結(jié)果可以看出,

甲治愈率為0.5,乙治愈率為0.8,認(rèn)為甲藥更有效

的概率為17。。。039非常小，說(shuō)明檢驗(yàn)方法合理。

2、函數(shù)/(%)=2sinx-sinlx在［0,2?］函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

⑷2(B)3(Q4(￡>)5(19年文科)

解：/(%)=25/71x(1-cosx)=0,

%3=0,毛=萬(wàn)，毛=2%,選(B)。

*3、設(shè)函數(shù)/(%)=料#5)@>C,已知/(%)在［0,2加

上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：

1、/⑴在(0,2乃)上有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

2、/(%)在(。，2?)上有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

3、/(%)在(。㈤1。)上單調(diào)遞增

4、0的取值范圍是112/5,29/10)上單調(diào)遞增

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

(A)(C)123(D)134

該題是一多選題，也是難度較大，考生得分較低的

題，解題思路是要對(duì)正弦函數(shù)的周期、零點(diǎn)、極大

值、極小值、單調(diào)性及圖形非常熟悉，綜合性強(qiáng)。

解：作了⑶的草圖，對(duì)刃=2,/(%)的周期為環(huán)

在［。，2組上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，不合題意，

故0〉2,?、?12/5成立,/(%)的周期為5〃6,

當(dāng)］=%/8時(shí)，/(%)的取得一個(gè)極大值，3成立，

對(duì)①=3,/(%)的周期為24/3,

在［。，2組上有且僅有6個(gè)零點(diǎn)，又不合題意，

故①<3,當(dāng)12/5工。<29/10,有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，

又有三個(gè)極大值點(diǎn)和三個(gè)極小值點(diǎn)，1成立，

2不成立，選⑼。

（卷一的文、理科第4題著名的斷臂維納斯關(guān)于人體

的黃金分割點(diǎn)問(wèn)題，其解答相當(dāng)難。由母^0.618,

設(shè)頭頂、咽喉、肚臍、足底分別為A、B、C、D,人

身高為％,貝U00=0.618%〉105c7人,AC=0.382%,

AB=0.382AC=（0.382）2%<26,解得17km<%<178cm。）

*4、AA3C的內(nèi)角A8,C所對(duì)邊分別為a,瓦c,已知

asin（A+0/2=hsinA（1）求B,（2）若AA5C為銳角三角

形，且c=l,求AABC面積的取值范圍。

（19年文、理科）

該題第一問(wèn)是常規(guī)解法，第二問(wèn)有些新穎但并不

難，解題思路是用面積公式、兩次使用正弦定理及極

限思想求參數(shù)的取值范圍從而得面積的取值范圍，考

生知識(shí)的遷移能力太差，分?jǐn)?shù)應(yīng)有更大的提升空間。

解：（1）由題設(shè)及正弦定理得：

A+C

sinAsin----=sinBsinA

2,

因sinAH0,所以：

2

由A+B+C=180,可得:

siS初(90--)=cos-

222

故cos3/2=sinB=IsinB/2-cos8/2,

又COSB/2HO,得si〃B/2=l/2,因此8=60；

(2)MBC的面積為：

g-1.R,116—石

S&ABC=-acsinB=-a-i--=—a

又由正弦定理得：

csinA5m(120-C)1「1.「、E1

a-------=-------------=-------(——cosC+—sinC)=---------F—

sinCsinCsinC222tanC2，

由于A(yíng)ABC為銳角三角形，故0<A<90,0<C<90,

又A+C=120,所以30<。<90,得：

1,0606

3<"2—<SMBC<—

因此AABC面積的取值范圍是：(*，咚)。

*法二：數(shù)形結(jié)合的極限方法圖解法

由(1)3=60,AABC為銳角三角形，故0<A<90,

0<C<90,又A+C=120,所以30<C<90,

令C-90,得一直角邊分別為:，白的直角三角

形，其面積為￡，令。-30,得一直角邊分別1，名的

直角三角形，其面積為與，

因此必吹面積的取值范圍是：(空苧。

5、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)和為

15,且%=3%+44，則色=(2019年理科)

(A)16(B)8(Q4(￡))2

解：設(shè)公比為4,6=3。4+44,qw。，

八3/-4=0,/=4,因q〉0,故q=2,由

，=154=15,則％=1,%=4/=4,選(C)。

6、記S,為等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，若4。。，

s

%=3%,則謂=_o(2019年理科)

35

=a

解：設(shè)d為公差，由\+d=3a｝,貝1］。=2《，

%二^1^*力+^+卯叫io。%,

生也5=25%,故鼠=幽=4。

102?'伙S5254°

7、記S.為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，若%=5,

%=13,則%=0(2019年文科)

解：設(shè)d為公差，由%=4+24=5,%=。1+6。=13,

則4d=8,d=2,q=l

IO=q+q+9%0=

HA?.?u22°

*8、點(diǎn)N為正方形A38的中心，△石CO為正三角

形，平面￡CO_L平面4BCD,例是線(xiàn)段上。的中點(diǎn)，貝I]

(A)BM=EN,且直線(xiàn)3",石N是相交直線(xiàn)

(B)BM#EN,且直線(xiàn)5M,石N是相交直線(xiàn)

(C)BM=EN,且直線(xiàn)EN是異面直線(xiàn)

(D)BM#EN,且直線(xiàn)石N是異面直線(xiàn)

該題要用的知識(shí)點(diǎn)較多，計(jì)算量較大，考生得分

低。(19年文、理科)

解：設(shè)"=2,。是的中點(diǎn)，連石O,貝！]石。=百，

且石O_LABCD,得￡底=3+1=4,

MF±CD,交CO于尸,MF=*,

375325

BF2=4+(4)2=-^,3M2=：+==7,BM#EN,

2444

再連HE,MN,則MN//E3,故MN3石四點(diǎn)共面，

知石N是相交直線(xiàn)，選(3)。

*9、學(xué)生到工廠(chǎng)勞動(dòng)實(shí)踐，利用30打印技術(shù)制作

模型為長(zhǎng)方體ABCQ-44GA挖去四棱錐O-"＜汨后得

到的幾何體，其中。是長(zhǎng)方體的中心，E,F,G,H分

別是所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6c",=4cm,3。打

印所用原材料密度為O9g/c/,不考慮打印損耗，制

作該模型所需原料的質(zhì)量為。（文、理科16題）

S

解：EFGH=6X4-4XIX2X3=12,VO_EFGH=|xl2x3=12,

腺下部分=腺方體—VO-EFGH=6x6x4—12=132，

m-夕腺下部分=132x0.9=118.8g。

*10、由矩形A。”，RfAABC和菱形3/GC組成的平

面圖形中，AB=1,BE=BF=2,NFBC=60。將其沿

AB,BC折起使得3石與3月重合，

（1）證明：折疊圖中的AC,G,。四點(diǎn)共圓，且平

HABC±TffiBCGE,（文、理科）

（2）求折疊圖中四邊形ACGO的面積，（文科）

（3）求折疊圖中二面角3-CG-A的大小。（理科）

該題是由平面圖形折疊成立體圖形，有些創(chuàng)新，但

難度不大，2019年全國(guó)卷一、卷二立體幾何題相比

卷三還要簡(jiǎn)單些，老師和同學(xué)們可參考。

解：（1）由已知得49//3E,CG//BE,故AD//CG,

得ADCG確定一個(gè)平面，

從而A,C,G,。四點(diǎn)共圓，

由已知得A3,ABLBC,故A區(qū)，平面3CG石，

又因?yàn)锳5u平面A3C,

所以平面ABC±平面BCGE,

(2)取CG的中點(diǎn)連結(jié)石M,DM,

因?yàn)锳3//O石,AB_L平面3CG石,

故。石平面3CG石,

所以。石_LCG,又由已知四邊形3CG石是菱形，

且/FBC=60,EG=2,GM=1,得EM上CG,

故CGJ_平面。石因止匕￡>M_LCG,

在Rt\DEM,DE=1,EM=6,故。M=2,

所以四邊形ACGO的面積為40

(3)作石“J.3C,垂足為a,

因?yàn)槭?u平面BCGE,

平面3CGEJ_平面A3C,所以石H_L平面A3C,

由已知，菱形3CG石的邊長(zhǎng)為2,ZEBC=60,

解得3H=1,EH=心,

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，aC的方向?yàn)椋ポS的正方向，

建立空間坐標(biāo)系〃-肛z,則A(-1,1,(,C(l,0,0),

G(2,0,6)，CG=(1,0,A/3),AC=(2,-1,0),

取平面ACGD的法向量為K=CGxAC=(G,26,一1),

平面3CG石的法向量為帆=(0,1,0),

所以cos(n,m)==手，

nm2

因此二面角3-CG-A的大小為30o

立體幾何題可參考卷三2017年理科19

題，卷二2018年理科20題。

11>已知曲線(xiàn)y=ae'+%或在點(diǎn)(l°e處的切線(xiàn)方程為

y=2x+b,則(19年文、理科)

(A)a=e,Z?=—1(B)a==1

(C)a=eT,b=l(Z))a=e\b^-\

解：k=y'\x=x=(tze'+/nr+l)|x=1=ae+\=2,a=e~',切線(xiàn)方程

為丁一1=2(%—1),對(duì)比y=2x+b,。=一1,選(。)。

*12、設(shè)/(%)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(。,+8)單調(diào)

遞減,則:(19年文、理科)

1_3_21_2_3

32

(A)/(Z^3-)>/(22)〉/(23)(B)/(/^3-)>/(2)>/(2)

_3_21_2_31

32

(C)/(22)>/(23)〉/(/叼)(。)/(2)>/(2)>/(/^3-)

該題的解答關(guān)健是利用1及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

的性質(zhì)、偶函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性，考生得分很低。

3_2

解：由于0<2一5<2一§<1,/(%)在(0,+8)單調(diào)遞減，

_3_21

則/(22)>/(23)>/(I)。又log.-=-to^4<-1,

由題設(shè)/(%)在(-8,0)單調(diào)遞增，f(log.1)</(-I)=/(I),

_3_21

故)(22)〉)(23)〉人)〉/(/*/,選(C)

*19年二卷文、理科14題：

已知/⑴是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，

f(尤)=—e",,若f(ln2)=8,貝a=。

該題的解答關(guān)健是利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算，

根據(jù)已知區(qū)間函數(shù)值及函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)換到未知區(qū)間

的函數(shù)值，可求參數(shù)八

解：因歷2>0,所以-52<0,由奇函數(shù)則：

/(一切2)=-/(/?2)=一8,故-V=-8,-aln2=31rl2,

/fsj1a=-3o

*13、已知函數(shù)/(*)=2%3一分2+〃，

(1)討論了(%)的單調(diào)性(19年文、理科)

(2)當(dāng)6=2,0<”3時(shí),記/(%)在區(qū)間的最大

值為M,最小值為相，求M-加的取值范圍(文科)

(3)是否存在。，"使得了(%)在區(qū)間［0］的最小值

為-1且最大值為1?若存在，求出見(jiàn)〃的所有值，若

不存在，說(shuō)明理由。(理科)

該題的第一問(wèn)是常規(guī)解法，由于題設(shè)為三次函數(shù)，

且三次方的系數(shù)大于零，若有兩個(gè)駐點(diǎn)(單調(diào)區(qū)間的

分界點(diǎn)、可能的極值點(diǎn))，則單調(diào)區(qū)間必為增減增，

第二問(wèn)判定最大小值求參數(shù)。，6的值也較常規(guī)，關(guān)健

是要分區(qū)間討論，既是重點(diǎn)、又是難點(diǎn)。

解:(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),

令八x)=0,得x=0,或％=］，(兩個(gè)駐點(diǎn)要討論大小)

「、若a>0,則當(dāng)％€(-8,0)(三,+8)時(shí)，f(x)

在(_oo,°),q,+8)單調(diào)遞增；當(dāng)％w(o苧時(shí),r(x)<o,

f(x)在(0,］)單調(diào)遞減，

2*>若a=0,fr(x)>0,/(%)在(-<?,+00)單調(diào)遞增，

3，、若”0,則當(dāng)XW(-喈)(0,+oo)時(shí),f\x)>0,

/(%)在(-85)，(0,+8)單調(diào)遞增；

當(dāng)依《,0)時(shí)，ru)<o,/(%)在q,o)單調(diào)遞減。

(2)當(dāng)b=2,0<”3時(shí)，由(1)知/(%)在%)單

調(diào)遞減，在(小1)單調(diào)遞增，所以/(九)在區(qū)間QI］的最

(4-a,0<?<2

>

大值為/(0)=2或/⑴=4—%即2,2<?<3

口,人，cA2/CI-a2_o'_

最小值為機(jī)=英)=方—1+2==+2,

2-a+—,0<a<2

27

當(dāng)0<”2時(shí)，g⑷=2-4十方單調(diào)遞減,

8

“一m的取值范圍是(方⑵，

當(dāng)2〈。<3時(shí)，/2(a)=|y單調(diào)遞增，

8

M-m的取值范圍是［力」)，

Q

綜上：的取值范圍是［不，2)。

(3)滿(mǎn)足題設(shè)條件的。，人存在。

1\當(dāng)a40時(shí)，由(1)知，/(%)在［0」］單調(diào)遞增,

所以于(X)在區(qū)間［0,1］的最小值為于⑼=b,

最大值為了⑴=2-々+方,此時(shí)滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)

且僅當(dāng)匕二一1,2-a+b=1,BP?=0,b=-l,

才、當(dāng)“23時(shí)，由(1)知，/(%)在。1］單調(diào)遞減，

所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為于⑼=b,

最小值為/⑴=2-a+h,此時(shí)。"滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)

且僅當(dāng)b=l,2-a+b=-1,BP?=4,b=l,

3，當(dāng)0<”3時(shí),由(1)知，/(%)在0,1］先減后

增，所以于(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為/(0)=?；?yàn)?/p>

/⑴=2-a+〃，最小值為了《)=-1y+g

-------------------J乙/

/,,1

若一藥+”=-1,h=\,貝lja=3-23〉3,矛盾，

32

若一17+匕=7，2-a+b=\,嗎廠(chǎng)1)=0,

則a=3g>3或a=-3&<0或"0,矛盾，

綜上：當(dāng)且僅當(dāng)。=0,b=-1或。=4,。=1時(shí)，

/(%)在區(qū)間。1］的最小值為-1且最大值為1。

14、19年三卷理科10題

22

雙曲線(xiàn)C：5=1的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P在。的一條漸

近線(xiàn)上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，儼。=儼同，則A/小。的面積為

⑷當(dāng)(B)￥(Q2亞(￡>)3亞

解：該題考查雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)、漸近線(xiàn)及斜率、面

積公式、數(shù)學(xué)運(yùn)算，是高頻考試題型。

由a=2,b=0則一條漸近線(xiàn)為廣等工,

-

故斜率左二柩點(diǎn)二^,c?=4+2=6,|(?F|=A/6,

ANO為等腰三角形，其高為〃邛.冬冬

S"FO=；,瓜當(dāng)，選⑷。

從該題的出題、評(píng)卷中可思考及聯(lián)想出雙曲線(xiàn)的性

質(zhì)、漸近線(xiàn)及三角形的面積、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，

要教學(xué)生完成體驗(yàn)過(guò)程。

2019年二卷文、理科第8題

22

若拋物線(xiàn)V=2px(〃＞0)的焦點(diǎn)是橢圓:+乙=1的

3PP

一個(gè)焦點(diǎn)，則〃=⑷2(B)3(C)4(D)8

解：該題考查拋物線(xiàn)及橢圓的基本性質(zhì)。

由題意拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為嗎，。)，

對(duì)橢圓C=j3〃一〃=屈方,由題意7^二4，

解得：P=8,選(0。

*2019年二卷文、理科第11題

22

雙曲線(xiàn)C：*=1(”＞。*＞。)的右焦點(diǎn)為F，。為坐

ab

標(biāo)原點(diǎn)，以。/為直徑的圓與圓爐+V=儲(chǔ)交。于尸，Q

兩點(diǎn),若陷=囪,則C的離心率為

(A)&(B)6(C)2(0亞

解：該題考查雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)、其關(guān)健是儼。=|*|

求雙曲線(xiàn)的離心率是高頻考試題型。

由題意及|「0=|"|,知PQ是以"為直徑的圓的直

徑，設(shè)M是該圓的圓心，則|OM|=|MP|=：,\OP\=a,

AOMP為等腰直角三角形,a=E],BP：c=^2a,

故e，=0,選(A)。

a

*2019年一卷理科第16題

22

已知雙曲線(xiàn)C：與-%=1(”〉0*>0)的左、右焦點(diǎn)分

ab

別為耳，F(xiàn)2,過(guò)6的直線(xiàn)與c的兩條漸近線(xiàn)分別交于

A,8兩點(diǎn)，若耳A=AB,63與3=0,則C的離心率為

解：該題考查雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)、漸近線(xiàn)、向量、數(shù)

量積及離心率、數(shù)學(xué)運(yùn)算量較大，是高頻考試題型。

由已知設(shè)3區(qū)3%)(%>。)，月(一。,0)，用(G。)，貝I」

bh

耳3=(%+g—%),FB=(%一c,一%),因EB-EB=0,

aa2)

〃*

故x；_02+%；==o,所以%=〃，即B(a,b),

aa____

uZ?Z?

又設(shè)A(x,——x),由EA=AB,則(x+G——x)=(a-x,h+—x)

aaa

bb々力-曰a-ca

x+c=a-xx=1b+—xx=——=,

9aa922

故c=2a,。的離心率e=2。

15、19年三卷文科10題

22

已知方是雙曲線(xiàn)C：的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在c

上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，QH=|8|,則AOP尸的面積為

⑷355⑶1(C)-7(0：9

2222

解：該題考查雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)、面積公式、數(shù)學(xué)運(yùn)

算，是高頻考試題型。

由片=4,>2=5,C2=4+5=9,|OF|=|OP|=3,T&P(x,y)

22

則亍一(=1,X2+/=9,由軍得AO尸尸邊0尸上的高為

%=y=1,s&0PF=|,選(⑶。

從該題的出題、評(píng)卷中可思考及聯(lián)想出雙曲線(xiàn)的性

質(zhì)、漸近線(xiàn)及三角形的面積、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，

要教學(xué)生完成體驗(yàn)過(guò)程。

*16、19年三卷文、理科15題

22

設(shè)「、鳥(niǎo)為橢圓C：2+卷=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是

Jo20

。上的一點(diǎn)且在第一象限，若防鳥(niǎo)為等腰三角形，

則M的坐標(biāo)為o

解：該題考查橢圓的基本性質(zhì)、二次用距離公式、數(shù)

學(xué)運(yùn)算的技巧，也是高頻考試題型。

由4=6,b=2y[5,c=J36-20=4,設(shè)"(玉,y),貝lj由

已知彳導(dǎo)(%1-4)2+y；=16,(x,+4>+y；=(2x6—4)2=64,解

得16%]=48,玉=3,y,=V15,則M的坐標(biāo)為(3,71^)。

注：貴陽(yáng)一中康后娟老師在“五個(gè)一”征文活動(dòng)中

投稿對(duì)該題給出了用余弦定理、勾股定理、等面積

法、相似三角形、橢圓第二定義、參數(shù)方程及圓與橢

圓聯(lián)立七種解法，每一種解法都有解法引導(dǎo)、教學(xué)研

討、學(xué)習(xí)后記及分析總結(jié)，值得推薦。

*17、2019年文、理科21題

已知曲線(xiàn)=。為直線(xiàn)y=-；上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。

作。的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B,

(1)證明：直線(xiàn)"過(guò)定點(diǎn)；

(2)若以石(。,$為圓心的圓與直線(xiàn)相相切，且切點(diǎn)

為線(xiàn)段”的中點(diǎn)，求該圓的方程(文科)，求四邊形

AQ3石的面積(理科)。

解：解題的思路是先從拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)的斜率

破題，過(guò)定點(diǎn)是將含參數(shù)項(xiàng)的未知數(shù)令為零，另一個(gè)

未知數(shù)得常數(shù)即可；第二問(wèn)是將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方

程聯(lián)立得一個(gè)二次方程并用韋達(dá)定理及圓與直線(xiàn)相切

的垂直關(guān)系定出參數(shù)的值和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即可得

圓的方程及四邊形的面積。卷二的21題(也是圓錐

曲線(xiàn)題)更難，計(jì)算量大，僅供老師參考。

(1)設(shè)。億一；)，貝lj%；=2y,由于

1

yH—

V=X，所以切線(xiàn)D4的斜率為玉，故=

A|一I

12c

必+萬(wàn)=不一1=2y—岡，即2二—2y+1=0,

又設(shè)3區(qū),%)，同理可得2比2-2%+1=0，

故直線(xiàn)A8的方程為2比—2y+l=0,

所以直線(xiàn)方過(guò)定點(diǎn)(。1)；

1丫2

(2)由上得的直線(xiàn)方程為丁=〃+萬(wàn)，聯(lián)立"5

得％2一2及一1=0,故%+%=2r,百龍2二一1，

y+%='（%+/）+1=2r+1

設(shè)M為線(xiàn)段A3的中點(diǎn)，則

由于麗1.荏，而麗=億產(chǎn)-2),然與向量(1/)

平行,所以，+(產(chǎn)—2"=。，解得七。或"±1,

對(duì)于文科題：

當(dāng)"0時(shí)，叵q=2=R,所求圓的方程為

.^2+(y-|)2=4.

當(dāng)”±1時(shí)，|而卜血=火，所求圓的方程為

/+(y-52-2；

對(duì)于理科題：

?=A/1+1~?J(%1+/)~-4%］々=2(廠(chǎng)+1)

設(shè)4，4分別為點(diǎn)。，￡到直線(xiàn)A8的距離，

____2

貝I」4=J/+i,d2=,

四邊形AD8E的面積

S=g14用(4+&)=(產(chǎn)+3)1產(chǎn)+1,

當(dāng)，=0時(shí)，5=3,當(dāng)，=±1時(shí)，S=4夜，

所以四邊形AD6石的面積為3或40。

注：全國(guó)卷一理科第19題是解析幾何的拋物線(xiàn)，在

已知條件下求一直線(xiàn)方程及兩點(diǎn)間的距離，難度適

中，可作練習(xí)。全國(guó)卷二理科第21題是解析幾何的

求動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓及證明一個(gè)三角形為直角三角形。

第一問(wèn)不難，但第二問(wèn)運(yùn)算量較大。

*2019年二卷21題文科：

已知函數(shù)以-x-1,證明

(1)7(%)存在唯一極值點(diǎn)；(2)/(%)=0有且僅有兩

個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)。

解：該題的第一問(wèn)是求廣⑶的唯一零點(diǎn)七e(l,2),再判

斷/(X)的單調(diào)性得唯一極值點(diǎn)，第二問(wèn)是求出了⑴分

別在5,內(nèi))及(。,/)的零點(diǎn)，且互為倒數(shù)，有難度。

(1)/(%)的定義域?yàn)?0,+8),

=~~~-+/MT-1=lnx~—,由y=單調(diào)遞增，>=’單

XXX

調(diào)遞減，故廣⑴單調(diào)遞增，(或/。),+二〉。)

XX

又廣⑴=—1<0,尸(2)=勿2一；=終1>0,

故存在唯一的A0G(1,2),使得尸(%)=0,

又當(dāng)％時(shí).八天))<。，/(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)X>Xo時(shí)/'(%)>。，/(%)單調(diào)遞增,

因此/(%)存在唯一的極值點(diǎn)；

(2)由(1)知/@)<加)=-2,又/(e2)=e2-3>0,

所以了(%)=。在(%0，+0°)內(nèi)存在唯一的根，

由a>x()>1,得,<1</，

a

又后)=(「絲也絲土1=3=0,

aaaaaa

故，是/(%)=0在(0,%)的唯一■根，綜上所述：

/(%)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)。

*2019年二卷20題理科：

已知函數(shù)/(%)=垢-二，(1)討論了3的單調(diào)性,并

x-1

證明/⑶有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)%是/(%)的一個(gè)零點(diǎn)，證明y=歷％在4%,砥)

的切線(xiàn)也是y=d的切線(xiàn)。

解：該題第一問(wèn)是由/⑴的單調(diào)性分別在兩個(gè)區(qū)間利

用零點(diǎn)定理得到兩個(gè)零點(diǎn)，第二問(wèn)構(gòu)思較新，技巧性

較高，有一定難度。

(1)/(%)的定義域?yàn)?0,1)(1,內(nèi)),

ru)=-+~^-?>o,故/⑶在(o,i)(1,+8)上單調(diào)遞增，

X(x-1)

又/(e)=l—空|==<0,/(e2)=2-4±|=4Zf>0,

_____e-le-1__________e~—1—1

所以y(x)在(1,+8)上有唯一零點(diǎn)芭，即/⑷=0

!

又()<,<1,/(一)=-lnx[-\"-―-=-f(%1)=0

%%X1-1

故了⑺在(。,1)上有唯一零點(diǎn),，

綜上/(幻在(0,1)(1,+8)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)曲線(xiàn)y=濟(jì)％在A(yíng)(x0,bvc?)切線(xiàn)的斜率為—2_

X()

因’="陽(yáng)，故3(-/“」)在曲線(xiàn)y=e，上，

?)?)

曲線(xiàn)y="在8(-/叫一)切線(xiàn)的斜率為,，

X。-

由題設(shè)/U)=。，即/叫=%=,故直線(xiàn)AB的斜率為

%()—1

1/%一口=1/%0-(工0+1)/(工0-1)=J_

—Inx。-%o—(%+1)/(%—1)—無(wú)。/

所以曲線(xiàn)y=歷%在4%,%))切線(xiàn)是曲線(xiàn)y=ev的切線(xiàn)。

19年一卷文科10題

22

雙曲線(xiàn)C：9=1(。＞0，〃＞。)的一條漸近線(xiàn)的

ab

傾斜角為130,則C的離心率為

(A)2sin40(B)2cos40(C)1/s加50(D)l/cos50

解：該題考查雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)、漸近線(xiàn)及斜率、

誘導(dǎo)公式、離心率、數(shù)學(xué)運(yùn)算，是高頻考試題型。

由一“a=tarA3O,則Z?/直—(/la。5=0,

、I~c2—ar22?si,n2~u5O/A

b~Ia~=sin~5O/cav_50,---j--e~l=行了，

sin250,sin250+co525011

e2=-------p]=---------------=-------e=------

CO5250cd50cw250cos50

選(0。

*18、如圖，在極坐標(biāo)系0%中，A(2,0,8(點(diǎn),幸，

p-Qjr

C(V2,—),。(2㈤，弧AB,BC,CO所在圓的圓心分

別是(LO),(后)，(1,乃)，曲線(xiàn)/是弧A3,曲線(xiàn)％是

弧3C,曲線(xiàn)必是弧C。。

(1)分別寫(xiě)出陷，M2,M的極坐標(biāo)方程；

(2)曲線(xiàn)〃由M，場(chǎng),以構(gòu)成，若點(diǎn)尸在點(diǎn)M上，

且［04=3，求P的極坐標(biāo)。

該題與往年的題型不同，是典型的數(shù)形結(jié)合題，

從圖形中得出代數(shù)式，題目新穎，但難度不大，考生

得分較低，參數(shù)方程及極坐標(biāo)題全省平均分為文科

1.46分(69217人選)、理科3.15分(163505人

選)。

解：(1)由題設(shè)可得，弧AB,BC,CQ所在圓的直角

坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程分別為

X2+y2=2x,即夕=2cos9；

22

x+y=2yy即夕=2sinO；

x2+y2=-2x,即夕=-2cos0；

所以陷的極坐標(biāo)方程為Q=2C。％(O<^<^),

兀37r

隹的極坐標(biāo)方程為夕=

37r

弧的極坐標(biāo)方程分別為夕=-2cos，(―<^<^),

4

(2)設(shè)P(.e),由題設(shè)及(1)知

JTjr

若°C五4，則2cOS0=V3,O解得°=Z,

若看工。<,，則24適=G,解得。=?或。=與，

若7we4=，則-icosO=G,解得e=工,

4o

綜上：p點(diǎn)的坐標(biāo)為(后芻或("芻

o5

或(石，￥)或(道￥)。

36

*2019年全國(guó)卷一第22題

在直角坐標(biāo)系％”中，曲線(xiàn)。的參數(shù)方程為

尤=(1-/)/(1+產(chǎn))，y=4”(l+產(chǎn))，，為參數(shù),極坐標(biāo)系Ox

中，直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程為2P-cos0+y[?>p-sM+ll=O

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求。上的點(diǎn)到/距離的最小值。

該題的關(guān)健是將曲線(xiàn)C消去參數(shù)化為直角坐標(biāo)方

程，由于直接消去參數(shù)不容易，是曲線(xiàn)可考慮平方可

否消去參數(shù)，第二問(wèn)再將曲線(xiàn)?；癁榱硪活?lèi)參數(shù)方

程，用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求得最小值。

解：(1)由1-(11+*,可得_i<博"I,

痂八心=空工4/一(1+”)2

故弓)—(1+*)2(1+曠(1+*)2—'

2

所以C的直角坐標(biāo)方程為/+；=1

直線(xiàn)/的直角坐標(biāo)方程為2尤+6》+11=0,

(2)。的參數(shù)方程為％=cosa,j=Isina,

。為參數(shù)，且。上的點(diǎn)至I」/的距離為:

_2cosa+2后sina+11_4cos(a-乃/3)+11

幣=布'

當(dāng)2=一耳時(shí)，“=4,1二#。

19、設(shè)l,y,z&R,且％+y+z=l。

(1)求(九一l)2+(y+l>+(z+l)2的最小值，

(2)若(%-2)2+(y—l)2+(z—a)2K成立，

證明：aW-3或。2-1。

該題是不等式選講高考中不等式最難的考題，不

但要靈活運(yùn)用基本不等式，且計(jì)算量太大，考生難于

解答，說(shuō)明其能力有待提高。

解：(1)由題設(shè)可得，2(1)(、+1)4(%-1)2+"+1)2,

2(z+l)(y+l)<(z+l)2+(y+1)2,2(x-l)(z+l)<(x-l)2+(z+l)2,

故有：

4=(x+y+z+l)2=[(x-l)+(y+l)+(z+l)]2

=(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2+2[(x-l)(j+l)+(y+l)(z+l)+(z+l)(x-l)]

<3[U-1)2+(^+1)2+(Z+1)2],

得(l)2+(y+l)2+(z+l)2號(hào)，等式成立的充要條件是：

%—1=丁+1,x-l=z+1,y+l=z+1,解得：

x=g,y=jz=-；，故其最小值為g；

(2)由于:2(x-2)(y-l)<(x-2)2+(y-l)2,

2(z-?)(y-l)<(z-?)2+(y-l)2,

2(%—2)(z-a)<(%—2)2+(z—a)2,

故有：

(2+a)2=[(x—2)+(y—l)+(z—a)F=

(x—2)2+(y—+(z—a)?+2[(x—2)(y—1)+(^—l)(z—a)+(z—tz)(x—2)]

<3[(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2],

得(%一2)2+(y-l)2+(z-a)2-。,

等式成立的充要條件是：

x-2=y-1,x-2=z-afy-l=z-a,解得：

x=F，y=一，z=?y,故其最小值為Q等，

由題設(shè)知0等4,解得心-3或心-1。

四、結(jié)合多年評(píng)卷分析給老師幾點(diǎn)建議

如何提高考生解題的能力：

1、老師不懂激勵(lì)，怎么帶好學(xué)生！數(shù)

學(xué)之美，在于把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。老師

之美，不單是把難題解得通俗易懂、自身

的學(xué)術(shù)造詣?shì)^高，教書(shū)堪稱(chēng)優(yōu)秀，更重要

的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、提高學(xué)生

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣！教會(huì)學(xué)生思考解題的思

路、體驗(yàn)解題的過(guò)程、準(zhǔn)確的表達(dá)題目的

要求，學(xué)生學(xué)得完美，即提高考生解題的

綜合能力，真正做到教、學(xué)合一！

2、加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、強(qiáng)化基本能力

（特別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)

直觀(guān)想象能力）的訓(xùn)練，尤其加強(qiáng)讀懂題

目、對(duì)題目已知條件的理解、破題能力、

解題的關(guān)健思路訓(xùn)練。

3、預(yù)測(cè)命題趨勢(shì)，重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)邏

輯推理能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，一定要善于總

結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)、失敗的教訓(xùn)和注重應(yīng)變能

力的培養(yǎng)。

4、新課改試卷難度不大，考生應(yīng)依綱扣

本，高三年級(jí)老師組織學(xué)生復(fù)習(xí)和沖刺要

突出最基本概念、基本方法、基本規(guī)彳聿、

所有的知識(shí)點(diǎn)和運(yùn)算、化簡(jiǎn)、表述能力、

遷移能力、看圖能力，避免偏差。

5、學(xué)校要加強(qiáng)紀(jì)倬性和對(duì)學(xué)生的人性

化管理。老師要著重培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)審

題，要教會(huì)學(xué)生分析思考解題的思路，會(huì)

用知識(shí)點(diǎn)解題，教會(huì)學(xué)生親身體驗(yàn)解題的

全過(guò)程以加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)能力、總結(jié)

經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)及教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確的表達(dá)以提高其

情商和創(chuàng)新能力。

5、號(hào)召考生一定要分分必爭(zhēng)，

2019年理科一本線(xiàn)為470分，469分

的人數(shù)為545人,二本線(xiàn)為369分，368

分的人數(shù)為976人，文科一本線(xiàn)為542

分，541分的人數(shù)為225人，二本線(xiàn)為

453分，452分的人數(shù)為677人,可見(jiàn)一

分之差難倒多少英雄好漢！

*2018年理科一本線(xiàn)為484分，該分?jǐn)?shù)

考生人數(shù)為575人，483分的人數(shù)為553

人，二本線(xiàn)為379分，該分?jǐn)?shù)考生人數(shù)為

817人，378分的人數(shù)為942人，文科一本

線(xiàn)為575分，該分?jǐn)?shù)考生人數(shù)為210人,

574分的人數(shù)為203人，二本線(xiàn)為477分，

該分?jǐn)?shù)考生人數(shù)為561人,476分的人數(shù)為

572人，可見(jiàn)一分之差多么令人懊悔！

6、建議考生做題不要太多，而在精，

不要搞題海戰(zhàn)，而應(yīng)分類(lèi)按模型解題。每

做一題時(shí)，首先要思考解題思路、可能涉

及到的知識(shí)點(diǎn)及哪一類(lèi)模型，體驗(yàn)解題過(guò)

程，精確表達(dá)出來(lái)，同時(shí)可參考2015、

2016、2017、2018、2019年全國(guó)卷考題，

注意評(píng)卷的給分點(diǎn)，文科考生可參考理科

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單題，理科考生可參考文科數(shù)學(xué)

的難題，教學(xué)生解答題后一定要善于分析

總結(jié)并作好筆記，揚(yáng)優(yōu)改錯(cuò)，哪些知識(shí)應(yīng)

該補(bǔ)充完善，哪些是自己的盲點(diǎn)，學(xué)習(xí)固

然要努力，但更要善于學(xué)習(xí)。

7、高考是對(duì)考生綜合能力的測(cè)試，是

考聰明人的，我稱(chēng)之為智慧高考。每一個(gè)

考生對(duì)自己要有一個(gè)準(zhǔn)確的定位，每年的

高考題（就算是2019年網(wǎng)上瘋傳的特難的

全國(guó)各類(lèi)考題，仔細(xì)研究難度也不是太

大，但較新穎）都有110分到120分可歸

類(lèi)于基本簡(jiǎn)單和中等難度的考題，高中學(xué)

生主要精力應(yīng)放在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)基

本簡(jiǎn)單和中等難度的考題，經(jīng)過(guò)老師的培

養(yǎng)、學(xué)生的努力是可以爭(zhēng)取及格的。考生

做選擇題及填空題時(shí)要充分發(fā)揮自己的智

商以，特值法、圖解法、分析計(jì)算法、排

除法、猜題法等各種方法都可以嘗試。做

解答及證明題時(shí)要充分發(fā)揮自己的情商

和膽商。Q,把自己懂得的知識(shí)表述清楚，

尤其是可能的得分點(diǎn)與評(píng)卷老師溝通，抓

住30%的基本簡(jiǎn)單題和50%的中等難度題

分，20%的難度大的題盡力得部份分，即在

考試中沉著冷靜，每分必爭(zhēng)，盡量爭(zhēng)取數(shù)

學(xué)成績(jī)得高分。由于新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試卷

已實(shí)施了六年，新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)的基本知

識(shí)點(diǎn)仍可參考2013-2019年二、三卷的考

點(diǎn)，要多積累掌握的知識(shí)點(diǎn)，如點(diǎn)到平面

的距離公式公ME”題用=照其中A是

AB^n\\n

平面外的一點(diǎn)、8是平面內(nèi)的一點(diǎn)、〃是平

面的法向量、換底面換高求立體的體積、

解析幾何中的點(diǎn)差法、通徑點(diǎn)看/、對(duì)拋物

a

線(xiàn)V=2px,過(guò)焦點(diǎn)/(p/2.0的直線(xiàn)產(chǎn)網(wǎng)%-/2)與

拋物線(xiàn)相交于A(yíng)(/x),3(.歸)兩點(diǎn)，代入拋

物線(xiàn)得：Y_p(i+2/尸)%+〃2/4=0,

有不+%2=〃(1+2/%2),則：

\AB\=xl+x2+p=2p(l+^^)=^-,

sin0sin6

其中。是直線(xiàn)A3與無(wú)軸交角，

玉%2=//4，

2

*+%=左（玉+x2-p）=k（p+2p/k-p）=2p/k,

及|陰=J1+/2.,（&+工2）2—4%1%2-川+攵問(wèn),考生可

求出直線(xiàn)與橢圓，與圓，與雙曲線(xiàn)聯(lián)立求

解的一元二次方程，及利用參數(shù)方程的幾

何意義求距離園=11="7守;7管,橢圓

的中點(diǎn)弦公式為％=守，其中A（%i，y）,

a＞何

3（%,%），中點(diǎn)為"“，為，憶為直線(xiàn)/的斜

率，雙曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦公式為人「守，拋物

a%

線(xiàn)的中點(diǎn)弦公式為

十J1加

由橢圓第二定義的焦半徑公式

2

對(duì)A（x，x）,|刑=（亍一尤1）0=〃一中,

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題要本著先幾何后代數(shù)即數(shù)

形結(jié)合的方法來(lái)解題，第一問(wèn)只要掌握基

本知識(shí)，是可以得分的，第二問(wèn)從來(lái)沒(méi)有

簡(jiǎn)單過(guò)，但也要盡其所能得部份分，數(shù)學(xué)

程度較好的同學(xué)可補(bǔ)充二階導(dǎo)數(shù)、求極

限，羅必達(dá)法則等大學(xué)選修課程，查缺補(bǔ)

漏，要會(huì)總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)和失敗的教訓(xùn)，

做題一定要有所收獲。注意以后考題會(huì)增

加中外數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容。

五、選擇題分析

考生要掌握解答選擇題的一些常用方

法，分析計(jì)算法、圖解法（一般可用于三

角函數(shù)類(lèi)、平面幾何、立體幾何、解析幾

何、向量代數(shù)及線(xiàn)性規(guī)劃）、特殊值法（可

用于三角函數(shù)類(lèi)、數(shù)列類(lèi)、幾何類(lèi)、向量

代數(shù)、不等式及比較大小等）、排除法（可

用于計(jì)算量較大、題目概念性較強(qiáng)、題目

較新穎的類(lèi)型）、逆推法及猜測(cè)法等。要能

夠根據(jù)題目條件、備選項(xiàng)的特征，善于總

結(jié)分析，靈活運(yùn)用有關(guān)的技巧與方法，快

速解答，以最節(jié)省的時(shí)間完成，這是提高

解題效果和正確性的有效途徑。一般選擇

題平均一個(gè)題解答時(shí)間為3.75分,若超過(guò)4

分鐘就請(qǐng)猜測(cè)一下。

2000?2019共20年內(nèi)：

理科選擇題中共出現(xiàn)次數(shù)如表

總和53A58B67C50D

2007年3A3B4C2D

2008年2A4B4C2D

2009年3A3B3C3D

2010年2A4B4C2D

2011年4A3B2C3D

2012年4A2B3C3D

2013年3A3B3C3D

2014年3A2B3C4D

2015年2A4B3C3D

2016年4A3B3C2D

2017年4A3B3C2D

2018年2A4B4C2D

2019年3A2B4C3D

文科選擇題中共出現(xiàn)次數(shù)如表

總和48A59B69C52D

2007年3A