2023年歷年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題精選

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練1、一個(gè)六位數(shù),假如它的前三位數(shù)碼與后三位數(shù)碼完全相同,順序也相同，由此六位數(shù)可以被（）整除。A.１11 B．1０00?C．1001 Ｄ.1111解:依題意設(shè)六位數(shù)為，則＝a×10５＋b×104＋c×103＋a×１02＋ｂ×１０＋c＝a×102(103＋1）+b×10（103＋1）+ｃ(１0３＋1)=(ａ×1０3+ｂ×１0＋c）(103＋1)＝１０01（a×103＋ｂ×10＋c)，而a×1０３＋b×1０＋c是整數(shù),所以能被10０1整除。故選C方法二:代入法2、若，則S的整數(shù)部分是＿_(dá)＿＿_(dá)_＿＿_(dá)_＿_(dá)___＿_(dá)__＿解:因1981、1982……20２３均大于19８0,所以，又1９８0、１981……202３均小于202３，所以，從而知S的整數(shù)部分為9０。3、設(shè)有編號(hào)為1、2、3……100的1０0盞電燈,各有接線開關(guān)控制著,開始時(shí)，它們都是關(guān)閉狀態(tài),現(xiàn)有１00個(gè)學(xué)生，第１個(gè)學(xué)生進(jìn)來時(shí),凡號(hào)碼是１的倍數(shù)的開關(guān)拉了一下,接著第二個(gè)學(xué)生進(jìn)來，由號(hào)碼是2的倍數(shù)的開關(guān)拉一下,第n個(gè)(n≤1００)學(xué)生進(jìn)來，凡號(hào)碼是n的倍數(shù)的開關(guān)拉一下,如此下去,最后一個(gè)學(xué)生進(jìn)來,把編號(hào)能被1０0整除的電燈上的開關(guān)拉了一下,這樣做過之后，請(qǐng)問哪些燈還亮著。解:一方面,電燈編號(hào)有幾個(gè)正約數(shù)，它的開關(guān)就會(huì)被拉幾次，由于一開始電燈是關(guān)的,所以只有那些被拉過奇數(shù)次的燈才是亮的，由于只有平方數(shù)才有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，所以那些編號(hào)為1、2２、32、42、52、62、72、82、9２、10２共10盞燈是亮的。４、某商店經(jīng)銷一批襯衣，進(jìn)價(jià)為每件m元，零售價(jià)比進(jìn)價(jià)高a%,后因市場(chǎng)的變化，該店把零售價(jià)調(diào)整為本來零售價(jià)的b％出售,那么調(diào)價(jià)后每件襯衣的零售價(jià)是 (）A.ｍ(1+a%)(1-b％）元? Ｂ.ｍ·a%（1－b%)元C.m(1+a%)b%元? D.m(1＋a％b%)元解:根據(jù)題意，這批襯衣的零售價(jià)為每件m(1＋ａ%)元，因調(diào)整后的零售價(jià)為原零售價(jià)的b%,所以調(diào)價(jià)后每件襯衣的零售價(jià)為m(1+a%）b%元。應(yīng)選C5、假如ａ、b、ｃ是非零實(shí)數(shù)，且a＋b+c=０，那么的所有也許的值為? ??(）A．0 B.1或－1?C．2或-2?D.0或-2解:由已知,ａ,b,c為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正。①當(dāng)a,b，c為兩正一負(fù)時(shí)：;②當(dāng)ａ,b，c為兩負(fù)一正時(shí)：由①②知所有也許的值為０。應(yīng)選ＡcABCab６、在△ＡBC中，a、b、c分別為角A、B、Ｃ的對(duì)邊,若∠cABCabA. Ｂ. C.１ D.解:過Ａ點(diǎn)作AD⊥CD于D，在Rｔ△BDA中,則于∠Ｂ＝60°，所以DB=，AD＝。在Rt△ADC中，DC2=AC２-AD２，所以有（a－)2=b2－Ｃ2，整理得a2+c2=ｂ２+ａｃ,從而有應(yīng)選C７、設(shè)ａ＜b＜０，ａ2+b2=4ab,則的值為???（）A. B.?C.2?D.3解：由于(a＋b)2=6ab，(a-ｂ)2=2aｂ，由于a<b＜0，得,故。應(yīng)選A8.已知a＝199９ｘ+2023,b=1999ｘ＋２０２3,c=１99９ｘ+2023，則多項(xiàng)式a2+ｂ2+c2-ａb－bｃ-ｃa的值為 （)A.0 B.１?C．2?D.39、已知abｃ≠0，且a+ｂ＋c＝0，則代數(shù)式的值是 ()A.３ B.2?Ｃ．1?D.010、某商品的標(biāo)價(jià)比成本高p％,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本，售價(jià)的折扣(即降價(jià)的百分?jǐn)?shù))不得超過ｄ%,則d可用p表達(dá)為_＿＿_(dá)_解：設(shè)該商品的成本為a,則有a(1+p％)(1－d%)=a,解得１１、已知實(shí)數(shù)z、ｙ、ｚ滿足x+y=５及z2=ｘｙ+y－９,則x+2y+3z=＿_(dá)__＿_(dá)__＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)_解:由已知條件知（x+1）＋y=６，（x+1)·y=ｚ2+９，所以x＋１，y是t2－6ｔ＋z2+9=０的兩個(gè)實(shí)根，方程有實(shí)數(shù)解,則△＝（-6）２-4（z2+9）＝-4z２≥0,從而知z=0，解方程得x+1=3,y=3。所以x+2y+３z=81２.氣象愛好者孔宗明同學(xué)在ｘ（x為正整數(shù))天中觀測(cè)到:①有7個(gè)是雨天；②有5個(gè)下午是晴天；③有6個(gè)上午是晴天;④當(dāng)下午下雨時(shí)上午是晴天。則x等于()A.7?B.8?C．9?D.10選C。設(shè)全天下雨a天,上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由題可得關(guān)系式a=0①，b+d＝6②,c+d=5③,ａ+b＋ｃ=７④,②+③－④得2d-ａ=4,即d＝2,故b=4,c=３,于x＝a+b＋c+d=9。１3、有編號(hào)為①、②、③、④的四條賽艇，其速度依次為每小時(shí)、、、千米,且滿足>＞>＞0，其中，為河流的水流速度(千米／小時(shí)），它們?cè)诤恿髦羞M(jìn)行追逐賽規(guī)則如下：(1)四條艇在同一起跑線上,同時(shí)出發(fā)，①、②、③是逆流而上，④號(hào)艇順流而下。（２)通過1小時(shí)，①、②、③同時(shí)掉頭，追趕④號(hào)艇，誰先追上④號(hào)艇誰為冠軍，問冠軍為幾號(hào)?解：出發(fā)１小時(shí)后，①、②、③號(hào)艇與④號(hào)艇的距離分別為各艇追上④號(hào)艇的時(shí)間為對(duì)＞>>有，即①號(hào)艇追上④號(hào)艇用的時(shí)間最小，①號(hào)是冠軍。14.有一水池,池底有泉水不斷涌出,要將滿池的水抽干,用１2臺(tái)水泵需5小時(shí),用10臺(tái)水泵需7小時(shí),若要在2小時(shí)內(nèi)抽干,至少需水泵幾臺(tái)？解：設(shè)開始抽水時(shí)滿池水的量為，泉水每小時(shí)涌出的水量為，水泵每小時(shí)抽水量為,2小時(shí)抽干滿池水需ｎ臺(tái)水泵,則由①②得，代入③得:∴，故n的最小整數(shù)值為２3。答：要在2小時(shí)內(nèi)抽干滿池水，至少需要水泵23臺(tái)15．某賓館一層客房比二層客房少5間,某旅游團(tuán)４8人,若全安排在第一層,每間4人，房間不夠,每間5人,則有房間住不滿;若全安排在第二層，每３人,房間不夠，每間住4人,則有房間住不滿，該賓館一層有客房多少間?解:設(shè)第一層有客房間，則第二層有間，由題可得由①得：，即由②得：，即∴原不等式組的解集為∴整數(shù)的值為。答：一層有客房10間。16、某生產(chǎn)小組開展勞動(dòng)競(jìng)賽后,每人一天多做１0個(gè)零件,這樣８?jìng)€(gè)人一天做的零件超過200個(gè)，后來改善技術(shù),每人一天又多做27個(gè)零件，這樣他們4個(gè)人一天所做零件就超過勞動(dòng)競(jìng)賽中８?jìng)€(gè)人做的零件,問他們改善技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動(dòng)競(jìng)賽前的幾倍?解：設(shè)勞動(dòng)競(jìng)賽前每人一天做個(gè)零件由題意解得∵是整數(shù)∴＝16（16+37)÷1６≈3.3故改善技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動(dòng)競(jìng)賽前的3.３倍。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練(5）（方程應(yīng)用）一、選擇題：1、甲乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā),相背而行1小時(shí)后他們分別到達(dá)各自的終點(diǎn)A與B，若仍從原地出發(fā),互換彼此的目的地，則甲在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B,甲乙的速度之比為 （）Ａ.3∶５ B.4∶３ C.4∶5 D.3∶４2、某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為1０個(gè)檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品,每件獲利潤8元,每提高一個(gè)檔次，每件產(chǎn)品利潤增長２元，用同樣工時(shí),最低檔次產(chǎn)品天天可生產(chǎn)６0件，提高一個(gè)檔次將減少3件,假如獲利潤最大的產(chǎn)品是第R檔次(最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質(zhì)量增長），那么R等于???（)A.5?B.７?C．９ D.103、某商店出售某種商品每件可獲利m元,利潤為２0%(利潤＝），若這種商品的進(jìn)價(jià)提高25%,而商店將這種商品的售價(jià)提高到每件仍可獲利ｍ元,則提價(jià)后的利潤率為 （)Ａ.25% Ｂ．20％?C.16%?D．12.5%４、某項(xiàng)工程,甲單獨(dú)需a天完畢,在甲做了c（c<a）天后,剩下工作由乙單獨(dú)完畢還需b天,若開始就由甲乙兩人共同合作，則完畢任務(wù)需()天A． B. C． D.5、A、B、Ｃ三個(gè)足球隊(duì)舉行循環(huán)比賽，下表給出部分比賽結(jié)果：球隊(duì)比賽場(chǎng)次勝負(fù)平進(jìn)球數(shù)失球數(shù)Ａ２２場(chǎng)1Ｂ２1場(chǎng)24C237則:A、B兩隊(duì)比賽時(shí)，A隊(duì)與B隊(duì)進(jìn)球數(shù)之比為??()A.２∶0 B.3∶1 C.2∶1?Ｄ.0∶2６、甲乙兩輛汽車進(jìn)行千米比賽，當(dāng)甲車到達(dá)終點(diǎn)時(shí),乙車距終點(diǎn)尚有ａ千米（0<a<50)現(xiàn)將甲車起跑處從原點(diǎn)后移a千米，重新開始比賽，那么比賽的結(jié)果是?（)A.甲先到達(dá)終點(diǎn)? B.乙先到達(dá)終點(diǎn)?C.甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)?D.擬定誰先到與a值無關(guān)7、一只小船順流航行在甲、乙兩個(gè)碼頭之間需ａ小時(shí),逆流航行這段路程需b小時(shí),那么一木塊順?biāo)鬟@段路需(）小時(shí)A. B. C. D.8、A的年齡比Ｂ與Ｃ的年齡和大１６,A的年齡的平方比B與C的年齡和的平方大16３２，那么A、B、C的年齡之和是 （)A.210 B．２01?C．102 D.1２０二、填空題1、甲乙兩廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，都計(jì)劃把全年的產(chǎn)品銷往濟(jì)南,這樣兩廠的產(chǎn)品就能占有濟(jì)南市場(chǎng)同類產(chǎn)品的，然而實(shí)際情況并不抱負(fù)，甲廠僅有的產(chǎn)品，乙廠僅有的產(chǎn)品銷到了濟(jì)南,兩廠的產(chǎn)品僅占了濟(jì)南市場(chǎng)同類產(chǎn)品的,則甲廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量與乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量的比為_＿_(dá)＿＿_(dá)＿2、假期學(xué)校組織3６0名師生外出旅游，某客車出租公司有兩種大客車可供選擇,甲種客車每輛有40個(gè)座位,租金400元；乙種客車每輛有5０個(gè)座位,租金４８０元，則租用該公司客車最少需用租金_____元。3、時(shí)鐘在四點(diǎn)與五點(diǎn)之間,在______＿時(shí)刻（時(shí)針與分針）在同一條直線上?4、為民房產(chǎn)公司把一套房子以標(biāo)價(jià)的九五折出售給錢先生，錢先生在三年后再以超過房子本來標(biāo)價(jià)６0%的價(jià)格把房子轉(zhuǎn)讓給金先生,考慮到三年來物價(jià)的總漲幅為4０%，則錢先生事實(shí)上按＿_(dá)＿＿＿%的利率獲得了利潤（精確到一位小數(shù))5、甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員在長10０米的游泳池兩邊同時(shí)開始相向游泳，甲游100米要７2秒,乙游10０米要60秒，略去轉(zhuǎn)身時(shí)間不計(jì),在12分鐘內(nèi)二人相遇_＿_(dá)＿次。6、已知甲、乙、丙三人的年齡都是正整數(shù),甲的年齡是乙的兩倍，乙比丙小7歲,三人的年齡之和是小于70的質(zhì)數(shù)，且質(zhì)數(shù)的各位數(shù)字之和為１3，則甲、乙、丙三人的年齡分別是_＿_(dá)__＿＿＿＿三、解答題1、某項(xiàng)工程,假如由甲乙兩隊(duì)承包，天完畢，需付18００00元;由乙、丙兩隊(duì)承包,天完畢，需付1５00０0元；由甲、丙兩隊(duì)承包,天完畢,需付160０００元,現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完畢的前提下,哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少？2、甲、乙兩汽車零售商（以下分別簡(jiǎn)稱甲、乙)向某品牌汽車生產(chǎn)廠訂購一批汽車,甲開始定購的汽車數(shù)量是乙所訂購數(shù)量的3倍,后來由于某種因素,甲從其所訂的汽車中轉(zhuǎn)讓給乙6輛，在提車時(shí),生產(chǎn)廠所提供的汽車比甲、乙所訂購的總數(shù)少了6輛,最后甲所購汽車的數(shù)量是乙所購的２倍，試問甲、乙最后所購得的汽車總數(shù)最多是多少量?最少是多少輛？３、８?jìng)€(gè)人乘速度相同的兩輛小汽車同時(shí)趕往火車站，每輛車乘４人(不涉及司機(jī))，其中一輛小汽車在距離火車站15kｍ的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)距停止檢票的時(shí)間尚有42分鐘。這時(shí)惟一可運(yùn)用的交通工具是另一輛小汽車,已知涉及司機(jī)在內(nèi)這輛車限乘5人，且這輛車的平均速度是60ｋm／ｈ,人步行的平均速度是5ｋm/h。試設(shè)計(jì)兩種方案，通過計(jì)算說明這８?jìng)€(gè)人可以在停止檢票前趕到火車站。4、某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)到縣城參觀,規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時(shí)到達(dá)學(xué)校,接參觀的師生立即出發(fā)到縣城，由于汽車在赴校途中發(fā)生了故障，不得不斷車修理，學(xué)校師生等到７時(shí)10分仍未見汽車來接，就步行走向縣城，在行進(jìn)途中碰到了已修理好的汽車，立即上車趕赴縣城,結(jié)果比本來到達(dá)縣城的時(shí)間晚了半小時(shí)，假如汽車的速度是步行速度的6倍，問汽車在途中排除故障花了多少時(shí)間?數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練(5)方程應(yīng)用參考答案一、選擇題1、Ｄ。解:設(shè)甲的速度為千米/時(shí)，乙的速度為千米/時(shí),根據(jù)題意知，從出發(fā)地點(diǎn)到A的路程為千米，到B的路程為千米,從而有方程：，化簡(jiǎn)得,解得不合題意舍去)。應(yīng)選D。2、C。解:第k檔次產(chǎn)品比最低檔次產(chǎn)品提高了（ｋ－１)個(gè)檔次,所以天天利潤為所以，生產(chǎn)第9檔次產(chǎn)品獲利潤最大，天天獲利8６4元。３、C。解:若這商品本來進(jìn)價(jià)為每件a元,提價(jià)后的利潤率為,則解這個(gè)方程組，得，即提價(jià)后的利潤率為1６%。4、B。解：設(shè)甲乙合作用天完畢。由題意:,解得。故選B。5、A。解：A與B比賽時(shí)，A勝2場(chǎng)，Ｂ勝０場(chǎng)，A與B的比為２∶０。就選A。6、Ａ。解：設(shè)從起點(diǎn)到終點(diǎn)S千米,甲走(s＋a)千米時(shí),乙走x千米7、B。解:設(shè)小船自身在靜水中的速度為v千米／時(shí)，水流速度為ｘ千米/時(shí),甲乙之間的距離為S千米,于是有求得所以。8、Ｃ。解：設(shè)Ａ、B、C各人的年齡為A、B、C,則Ａ＝B＋C＋１６①A2=(Ｂ＋C）2+1632②由②可得（A+Ｂ＋C）（A－B－C)=1６32③,由①得A-B－C＝16④，①代入③可求得A＋B＋C=102二、填空題1、2∶１。解甲廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為，乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為。則：,解得2、3520。解:由于９輛甲種客車可以乘坐3６0人,故最多需要9輛客車；又由于7輛乙種客車只能乘坐350人，故最多需要8輛客車。①當(dāng)用9輛客車時(shí),顯然用9輛甲種客車需用租金最少,為400×9=３600元；②當(dāng)用8輛客車時(shí)，由于7輛甲種客車，1輛乙種客車只能乘坐4０×7＋50＝330人，而6輛甲種客車，2輛乙種客車只能乘坐40×6+5０×2＝34０人，5輛甲種客車,3輛乙種客車只能乘坐４０×5+５0×3＝350人，4輛甲種客車，4輛乙種客車只能乘坐40×4+5０×4=360人，所以用8輛客車時(shí)最少要用4輛乙種客車，顯然用4輛甲種客車，4輛乙種客車時(shí)需用租金最少為400×４+４80×4=3520元。3、4點(diǎn)分或4點(diǎn)分時(shí),兩針在同一直線上。解:設(shè)四點(diǎn)過度后,兩針在同一直線上，若兩針重合,則,求得分,若兩針成１80度角,則，求得分。所以在4點(diǎn)分或4點(diǎn)分時(shí)，兩針在同一直線上。4、２0.3。解：錢先生購房開支為標(biāo)價(jià)的95%,考慮到物價(jià)上漲因素,錢先生轉(zhuǎn)讓房子的利率為5、共11次。6060100米1803004205406607206、30歲、１5歲、2２歲。解:設(shè)甲、乙、丙的年齡分別為歲、歲、歲，則顯然是兩位數(shù)，而１３＝４+9=５+8=6+7∴只能等于6７④。由①②④三式構(gòu)成的方程組，得,,。三、解答題1、設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需、、天完畢,則解得再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需、、元,則,解得于是，甲隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用是４5500×４=182０23(元),由乙隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用是2９500×６＝177000（元),而丙不能在一周內(nèi)完畢，所以,乙隊(duì)承包費(fèi)最少。２、解：設(shè)甲、乙最后所購得的汽車總數(shù)為輛,在生產(chǎn)廠最后少供的6輛車中，甲少要了輛()，乙少要了（）輛,則有,整理后得。當(dāng)時(shí),最大,為90；當(dāng)時(shí),最小為18。所以甲、乙購得的汽車總數(shù)至多為９０輛,至少為18輛。3、解:[方案一］:當(dāng)小汽車出現(xiàn)故障時(shí),乘這輛車的4個(gè)人下車步行，另一輛車將車內(nèi)的４個(gè)人送到火車站，立即返回接步行的4個(gè)人到火車站。設(shè)乘出現(xiàn)故障汽車的4個(gè)人步行的距離為，根據(jù)題意,有解得，因此這8個(gè)人所有到火車站所需時(shí)間為故此方案可行。[方案二］：當(dāng)小汽車出現(xiàn)故障時(shí),乘這輛車的4個(gè)人下車步行,另一輛車將車內(nèi)的4個(gè)人送到某地方后，讓他們下車步行,再立即返回接出故障汽車而步行的此外４個(gè)人，使得兩批人員最后同時(shí)到達(dá)車站。分析此方案可知,兩批人員步行的距離相同，如圖所示，Ｄ為無端障汽車人員下車地點(diǎn)，Ｃ為有故障汽車人員上車地點(diǎn)。因此,設(shè)AC=BD=y，有解得。因此這8個(gè)人同時(shí)到火車站所需時(shí)間為,故此方案可行。火車站火車站ACDB····故障點(diǎn)４、解：假定排除故障花時(shí)分鐘,如圖設(shè)點(diǎn)A為縣城所在地,點(diǎn)C為學(xué)校所在地，點(diǎn)B為師生途中與汽車相遇之處。在師生們晚到縣城的30分鐘中,有10分鐘是因晚出發(fā)導(dǎo)致的，尚有２0分鐘是由于從C到B步行代替乘車而耽誤的，汽車所晚的30分鐘，一方面是由于排除故障耽誤了分鐘,但另一方面由于少跑了B到Ｃ之間的一個(gè)來回而省下了一些時(shí)間,已知汽車速度是步行速度的６倍，而步行比汽車從C到B這段距離要多花20分鐘，由此汽車由Ｃ到B應(yīng)花(分鐘），一個(gè)來回省下8分鐘，所以有－8＝３0=３8即汽車在途中排除故障花了38分鐘。AABC···初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練(7)(邏輯推理)一、選擇題:1、世界杯足球賽小組賽，每個(gè)小組４個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每場(chǎng)比賽勝隊(duì)得3分,敗隊(duì)得0分,平局時(shí)兩隊(duì)各得1分,小組賽完以后，總積分最高的兩個(gè)隊(duì)出線進(jìn)入下輪比賽,假如總積分相同,還要按凈勝球排序,一個(gè)隊(duì)要保證出線,這個(gè)隊(duì)至少要積 ?? （)A.６分 B．７分 C.8分?D.9分2、甲、乙、丙三人比賽象棋,每局比賽后,若是和棋，則這兩個(gè)人繼續(xù)比賽,直到分出勝負(fù)，負(fù)者退下，由另一個(gè)與勝者比賽,比賽若干局后，甲勝4局，負(fù)2局;乙勝3局,負(fù)3局，假如丙負(fù)3局,那么丙勝 ?（）A.０局?B.１局 C.２局 D．3局３、已知四邊形ABCD從下列條件中①AB∥CD②BＣ∥AD③AB＝CＤ④BＣ=AD⑤∠A＝∠Ｃ⑥∠B＝∠Ｄ，任取其中兩個(gè),可以得出“四邊形ＡBＣD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有 ??()Ａ．4種?B.9種?C．13種 D．1５種４、某校初三兩個(gè)畢業(yè)班的學(xué)生和教師共1０0人,一起在臺(tái)階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形陣(排數(shù)≥3），且規(guī)定各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才干使后一排的人均站在前一排兩人間的空檔處,那么滿足上述規(guī)定的排法的方案有 ? （)A.１種 Ｂ.2種 C.4種 D.０種5、正整數(shù)n小于100，并且滿足等式，其中表達(dá)不超過x的最大整數(shù),這樣的正整數(shù)n有（）個(gè)A.2 B.３ C.12 Ｄ．１66、周末晚會(huì)上,師生共有２０人參與跳舞，其中方老師和7個(gè)學(xué)生跳舞，張老師和８?jìng)€(gè)學(xué)生跳舞……依次下去，一直到何老師,他和參與跳舞的所有學(xué)生跳過舞,這個(gè)晚會(huì)上參與跳舞的學(xué)生人數(shù)是?? ()A.１5 B．14 C.1３ D.127、如圖某三角形展覽館由25個(gè)正三角形展室組成,每?jī)蓚€(gè)相鄰展室（指有公共邊的小三角形)都有門相通，若某參觀者不愿返回已參觀過的展室(通過每個(gè)房間至少一次），那么他至多能參觀(）個(gè)展室。A．２３?B.2２?C.21 Ｄ.２08、一副撲克牌有4種花色,每種花色有13張,從中任意抽牌,最小要抽（）張才干保證有４張牌是同一花色的。Ａ.12?B.１３ Ｃ.14 Ｄ.１5二、填空題:1、觀測(cè)下列圖形：①①②③④根據(jù)①②③的規(guī)律，圖④中三角形個(gè)數(shù)___＿＿_(dá)2、有兩副撲克牌,每副牌的排列順序是：第一張是大王,第二張是小王，然后是黑桃、紅桃、方塊、梅花四種花色排列,每種花花色的牌又按Ａ,1,2，3，……J，Q，K的順序排列，某人把按上述排列的兩副撲克牌上下疊放在一起，然后從上到下把第一張丟掉，把第二張放在最底層，再把第三張丟掉，把第四張放在最底層,……如此下去，直到最后只剩下一張牌,則所剩的這張牌是＿_(dá)_＿＿_(dá)3、用０、１、2、３、4、5、６、7、8、9十個(gè)數(shù)字一共可組成___＿＿個(gè)能被５整除的三位數(shù)4、將7個(gè)小球分別放入3個(gè)盒子里,允許有的盒子空著不放，試問有____種不同放法。５、有1９9７個(gè)負(fù)號(hào)“-”排成一行,甲乙輪流改“-”為正號(hào)“+”,每次只準(zhǔn)畫一個(gè)或相鄰的兩個(gè)“-”為“+”,先畫完“-”使對(duì)方無法再畫為勝，現(xiàn)規(guī)定甲先畫,則其必勝的策略是＿＿＿_(dá)＿＿＿_(dá)____＿_(dá)_＿_(dá)_6、有100個(gè)人,其中至少有1人說假話,又知這１00人里任意２人總有個(gè)說真話,則說真話的有＿_(dá)_＿_(dá)人。

三、解答題１、今有長度分別為1、2、3、……、9的線段各一條,可用多少種不同的方法從中選用若干條組成正方形？２、某校派出學(xué)生2０４人上山植樹15301株,其中最少一人植樹５０株，最多一人植樹100株，證明至少有５人植樹的株數(shù)相同。3、袋中裝有２023個(gè)彈子，張偉和王華輪流每次可取1,２或3個(gè),規(guī)定誰能最后取完彈子誰就獲勝，現(xiàn)由王華先取,問哪個(gè)獲勝?他該如何玩這場(chǎng)游戲?4、有17個(gè)科學(xué)家,他們中的每一個(gè)都和其他的科學(xué)家通信,在他們的通信中僅僅討論三個(gè)問題,每一對(duì)科學(xué)家互相通信時(shí)，僅僅討論同一個(gè)問題。證明至少有三個(gè)科學(xué)家關(guān)于同一個(gè)題目互相通信數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練(7)邏輯推理參考答案一、選擇題1、答Ｂ。解:4個(gè)隊(duì)單循環(huán)比賽共比賽６場(chǎng),每場(chǎng)比賽后兩隊(duì)得分之和或?yàn)?分(即打平)，或?yàn)?分（有勝負(fù)），所以６場(chǎng)后各隊(duì)的得分之和不超過18分，若一個(gè)隊(duì)得7分,剩下的3個(gè)隊(duì)得分之和不超過11分，不也許有兩個(gè)隊(duì)得分之和大于或等于7分,所以這個(gè)隊(duì)必然出線，假如一個(gè)隊(duì)得6分,則有也許尚有兩個(gè)隊(duì)均得6分,而凈勝球比該隊(duì)多,該隊(duì)仍不能出線。應(yīng)選B。2、答B(yǎng)。解有人勝一局，便有人負(fù)一局,已知總負(fù)局?jǐn)?shù)為2+３+3＝8，而甲、乙勝局?jǐn)?shù)為4＋3＝7,故丙勝局?jǐn)?shù)為8-7=１,應(yīng)選B。3、答B(yǎng)。解：共有15種搭配。①和②③和④⑤和⑥①和③②和④①和⑤①和⑥②和⑤②和⑥能得出四邊形ABＣＤ是平行四邊形。①和④②和③③和⑤③和⑥④和⑤④和⑥不能得出四邊形ABＣＤ是平行四邊形。應(yīng)選B。4、答B(yǎng)。解:設(shè)最后一排k個(gè)人,共n排，各排人數(shù)為k,k+1,ｋ＋2……k+(n-1）。由題意，即,因k、ｎ都是正整數(shù)，且n≥3,所以,且ｎ與的奇偶性相同，將200分解質(zhì)因數(shù)可知n＝５或ｎ=8,當(dāng)n=５時(shí),k=1８，當(dāng)ｎ=８時(shí),k＝9,共有兩種方案。應(yīng)選Ｂ。５、答D。解:由，以及若x不是整數(shù)，則[x］<x知,２|ｎ,3|ｎ,６|ｎ,即n是６的倍數(shù)，因此小于100的這樣的正整數(shù)有個(gè)。應(yīng)選D。6、答C。解設(shè)參與跳舞的老師有ｘ人，則第一個(gè)是方老師和(６＋1)個(gè)學(xué)生跳過舞;第二是張老師和（6+２）個(gè)學(xué)生跳過舞;第三個(gè)是王老師和（6+3)個(gè)學(xué)生跳過舞……第ｘ個(gè)是何老師和（６+x)個(gè)學(xué)生跳過舞,所以有x+(6+x)＝2０，∴ｘ＝7,2０-７＝13。故選C。７、答C。解:如圖對(duì)展室作黑白相間染色,得10個(gè)白室,15個(gè)黑室，按規(guī)定不返回參觀過的展室,因此,參觀時(shí)必然是從黑室到白室或從白室到黑室（不會(huì)出現(xiàn)從黑到黑,或從白到白），由于白室只有１0個(gè),為使參觀的展室最多，只能從黑室開始，順次通過所有的白室，最終到達(dá)黑室,所以,至多能參觀到21個(gè)展室。選C。8、選B。解：4種花色相稱于4個(gè)抽屜，設(shè)最少要抽x張撲克，問題相稱于把ｘ張撲克放進(jìn)4個(gè)抽屜,至少有４張牌在同一個(gè)抽屜,有x=3×４+1=13。故選B。二、填空題1、解:根據(jù)圖中①、②、③的規(guī)律,可知圖④中的三角形的個(gè)數(shù)為1+4＋3×4+32×4+33×４=1+4+12+36+１08＝1６1(個(gè))2、解:根據(jù)題意，假如撲克牌的張數(shù)為2、22、2３、……2ｎ，那么依照上述操作方法，剩下的一張牌就是這些牌的最后一張，例如:手中只有64張牌,依照上述操作方法，最后只剩下第64張牌,現(xiàn)在手中有1０８張牌，多余10８-64＝44(張)，假如依照上述操作方法,先丟掉4４張牌,那么此時(shí)手中恰有64張牌，而本來順序的第８8張牌恰好放在手中牌的最底層，這樣,再繼續(xù)進(jìn)行丟、留的操作,最后剩下的就是原順序的第8８張牌，按照兩副撲克牌的花色排列順序８8-5４－2-26=6，所剩的最后一張牌是第二副牌中的方塊6。３、解：百位上的數(shù)共有９個(gè)，十位上的數(shù)共有10個(gè)，個(gè)位上的數(shù)共有2個(gè)，因此所有的三位數(shù)共9×10×2=18０。4、解:設(shè)放在三個(gè)盒子里的球數(shù)分別為、、，球無區(qū)別，盒子無區(qū)別,故可令,依題意有,于是,,故x只有取3、4、5、６、7共五個(gè)值。①時(shí),，則只?。场?,相應(yīng)?。?、2，故有2種放法;②=4時(shí)，3,則只取3、2，相應(yīng)取0、1,故有2種放法；③=5時(shí),２，則只取2、1，相應(yīng)取1、0，故有2種放法；④＝６時(shí),１，則只取1,相應(yīng)取0，故有１種放法;⑤=7時(shí)，0，則只取0，相應(yīng)取0，故有1種放法；綜上所求，故有8種不同放法。５、解:先把第9９９個(gè)（中間)“－”改為“+”，然后，對(duì)乙的每次改動(dòng),甲做與之中心對(duì)稱的改動(dòng)，視數(shù)字為點(diǎn),相應(yīng)在數(shù)軸上,這1９97個(gè)點(diǎn)正好關(guān)于點(diǎn)(9９9）對(duì)稱。6、解：由題意說假話的至少有1人，但不多于１人，所以說假話的1人,說真話的99人。三、1、解:1+2+３+……9=4５,故正方形的邊長最多為1１，而組成的正方形的邊長至少有兩條線段的和,故邊長最小為7。7=1+6＝2+5＝３+4８＝1+7＝2＋6＝３+59＋1=8+2＝7+3=6＋４9+2=8＋3＝7+4＝6+59=1+8=2＋7=３＋6=4+５故邊長為7、8、10、11的正方形各一個(gè)，共4個(gè)。而邊長為9的邊可有5種也許能組成５種不同的正方形。所以有9種不同的方法組成正方形。2、證明：運(yùn)用抽屜原理,按植樹的多少，從5０至1０0株可以構(gòu)造51年抽屜，則問題轉(zhuǎn)化為至少有５人植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里。（用反證法)假設(shè)無5人或5人以上植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有4人以下植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參與植樹的人數(shù)為2０4人,每個(gè)抽屜最多有４人，故植樹的總株數(shù)最多有：4(50+５１＋52＋……+100)=4×＝1５3００＜１５3０1,得出矛盾。因此,至少有5人植樹的株數(shù)相同。３、解：王華獲勝。王華先取2個(gè)彈子，將２023(是4的倍數(shù)）個(gè)彈子留給張偉取,不記張偉取多少個(gè)彈子,設(shè)為x個(gè),王華總跟著?。ǎ矗瓁)個(gè),這樣總保證將4的倍數(shù)個(gè)彈子留給張偉取,如此下去,最后一次是將4個(gè)彈子留給張偉取，張偉取后，王華一次取完余下的彈子。4、解析在研究與某些元素間關(guān)系相關(guān)的存在問題時(shí),經(jīng)常運(yùn)用染色造抽屜解題。17位科學(xué)家看作17個(gè)點(diǎn),每?jī)晌豢茖W(xué)家互相通信看作是兩點(diǎn)的連線段,關(guān)于三個(gè)問題通信可看作是用三種顏色染成的線段,如用紅色表達(dá)關(guān)于問題甲的通信,藍(lán)色表達(dá)問題乙通信，黃色表達(dá)問題丙通信。這樣等價(jià)于：有17個(gè)點(diǎn),任三點(diǎn)不共線,每?jī)牲c(diǎn)連成一條線段，把每條線段染成紅色、藍(lán)色和黃色，且每條線段只染一種顏色,證明一定存在一個(gè)三角形三邊同色的三角形。證明：從17個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，比如點(diǎn)A處作引1６條線段,共三種顏色,由抽屜原理至少有6條線段同色,設(shè)為ＡＢ、AＣ、AD、AE、AＦ、AG且均為紅色。若Ｂ、C、D、E、F、G這六個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)連線為紅線，設(shè)這兩點(diǎn)為Ｂ、C，則△ＡＢC是一個(gè)三邊同為紅色的三角形。若B、C、D、E、F、G這六點(diǎn)中任兩點(diǎn)的連線不是紅色,則考慮５條線段ＢＣ、BＤ、BE、BF、BＧ的顏色只能是兩種，必有３條線段同色,設(shè)為BC、BD、BＥ均為黃色,再研究△CDＥ的三邊的顏色，要么同為藍(lán)色,則△ＣDE是一個(gè)三邊同色的三角形，要么至少有一邊為黃色,設(shè)這邊為ＣD，則△CDE是一個(gè)三邊同為黃色的三角形。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練(8)（命題及三角形邊角不等關(guān)系）一、選擇題：1、如圖8-1，已知AB＝１0，P是線段AＢ上任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以ＡP和ＰＢ為邊作兩個(gè)等邊三角形ＡPC和ＢPD,則線段ＣD的長度的最小值是?（）Ａ．４ B.５ C.６?D．2、如圖８-2,四邊形ABＣD中∠A＝６0°,∠B=∠D＝９０°,ＡＤ＝8,AB=7，則BC+CD等于?? A. B．5 C.4 D.33、如圖8-3,在梯形AＢCＤ中，AD∥BC,ＡD＝3，BＣ=9,AB＝6，CD=４,若ＥF∥ＢC,且梯形AEＦD與梯形EBCF的周長相等，則ＥF的長為 （)60°ABCDABCD60°ABCDABCDP圖8-1圖8-2ADCBEF圖8-34、已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、Ｂ、C且α＝Ａ＋B,β＝C＋A，γ=C＋Ｂ，則α、β、γ中,銳角的個(gè)數(shù)最多為 ?()A.1?B.２?C．3 D．0圖8-4ABCDA圖8-4ABCDADCFC’BEＡ.４cm?B.５cmC.4ｃm?D.5cm６、一個(gè)三角形的三邊長分別為a,a，b，另一個(gè)三角形的三邊長分別為a，b,b，其中a>b,若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等,則的值等于??()A．?B. C. D.７、在凸1０邊形的所有內(nèi)角中,銳角的個(gè)數(shù)最多是??()A.０ Ｂ.１?C．3 D．58、若函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于A，C兩點(diǎn)，ＡＢ垂直x軸于B，則△ABC的面積為 ? ?(）Ａ.1 B.2?C．k?D.k2二、填空題·ABB·ABB′DC圖8-5EA′2、如圖８-5,ＡA′、BB′分別是∠EAB、∠DＢＣ的平分線,若ＡA′=BB′=ＡB，則∠ＢＡC的度數(shù)為_＿＿圖8-6ABD圖8-6ABDCP４、如圖8－6,P是矩形ＡBCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA＝3,PB＝4，ＰC＝5，則PＤ=____＿_(dá)_圖8-8BACP16米20米ABCD甲圖8-8BACP16米20米ABCD甲乙圖8-76、如圖8-8,在△ＡＢC中，∠ＡBC=60°,點(diǎn)P是△AＢC內(nèi)的一點(diǎn)，使得∠APＢ=∠ＢPＣ＝∠CPA，且PA＝8,PC=6,則PB＝_＿

ABDABDC圖8-91、如圖８－9,ＡＤ是△AＢC中BC邊上的中線，求證:AＤ＜（AB+ＡＣ）2、已知一個(gè)三角形的周長為P，問這個(gè)三角形的最大邊長度在哪個(gè)范圍內(nèi)變化？ACFBDE圖8-103、如圖8-１0，在Ｒt△ABC中,∠ACB=９０ACFBDE圖8-10求證：①四邊形CEＤＦ是正方形。②CD２=2AE·ＢＦ4、從1、2、３、4……、2023中任選k個(gè)數(shù)，使所選的k個(gè)數(shù)中一定可以找到能構(gòu)成三角形邊長的三個(gè)數(shù)(這里規(guī)定三角形三邊長互不相等）,試問滿足條件的k的最小值是多少？數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（8）參考答案ABABCDPEFG1、如圖過C作CE⊥AＤ于Ｅ，過D作ＤＦ⊥PＢ于F,過D作DG⊥ＣE于G。顯然DG＝EＦ=AB=５,CD≥ＤG，當(dāng)P為AＢ中點(diǎn)時(shí),有CD＝DG＝5,所以CD長度的最小值是5。ADCBEFHG60°ABCDE2、如圖延長ＡB、DＣ相交于Ｅ，在Ｒt△ADCBEFHG60°ABCDE３、由已知AD+AE+EＦ+ＦD＝EF＋ＥＢ+ＢＣ+CF∴AＤ+AE+FD＝ＥB＋BC+CＦ=∵EＦ∥BC,∴EＦ∥ＡD,設(shè),AＤ＋ＡE＋FD=３+∴解得k=4作AH∥CD，AH交BC于Ｈ,交EF于G,則GF=HC＝AD=3，BH＝ＢC-CH＝9－3=6∵,∴∴４、假設(shè)α、β、γ三個(gè)角都是銳角，即α＜90°，β<9０°,γ＜90°，也就是A+B<９0°，B+C<90°，C+Ａ＜90°?！?（A+Ｂ+C）＜２70°，Ａ+B＋C<１35°與A＋Ｂ＋C＝180°矛盾。故α、β、γ不也許都是銳角，假設(shè)α、β、γ中有兩個(gè)銳角，不妨設(shè)α、β是銳角,那么有A+Ｂ<90°,Ｃ+A<9０°,∴A+(Ａ+B＋Ｃ)<18０°,即Ａ+180°<180°,Ａ<０°這也不也許,所以α、β、γ中至多只有一個(gè)銳角，如A=２0°，B=３0°,Ｃ＝13０°,α＝5０°，選A。5、折疊后，ＤE=BE，設(shè)DE＝x，則AＥ=９-x,在Ｒt△ＡBC中，AＢ２+ＡＥ2＝BE2，即，解得x＝5,連結(jié)BＤ交ＥF于O，則EＯ＝FO,BO=ＤO∵∴ＤＯ=在Ｒt△ＤOＥ中,ＥO=∴EF＝。選B。QABCD6、設(shè)△ABＣ中，AB＝AC=a,BC=b,如圖D是AB上一點(diǎn)，有AD＝b，因a＞ｂ，故∠Ａ是△ABC的最小角,設(shè)∠A＝Ｑ,則以b，b,ａ為三邊之三角形的最小角亦為Ｑ，從而它與△ABC全等,所以DC=b,∠ACD＝Q，因有公共底角∠B,所以有等腰△ADC∽等腰△CBD,從而得,即，令,即得方程，解得。選Ｂ。QABCD7、C。由于任意凸多邊形的所有外角之和都是360°,故外角中鈍角的個(gè)數(shù)不能超過3個(gè)，又由于內(nèi)角與外角互補(bǔ)，因此,內(nèi)角中銳角最多不能超過３個(gè)，事實(shí)上，容易構(gòu)造出內(nèi)角中有三個(gè)銳角的凸10邊形。8、A。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（),則，故△AＢＯ的面積為,又由于△ABO與△CBO同底等高，因此△ABＣ的面積＝2×△ABO的面積＝1。ABABDCPMN１、如圖設(shè)四邊形AＢＣD的一組對(duì)邊AB和ＣD的中點(diǎn)分別為M、N,ＭＮ＝d,另一組對(duì)邊是AＤ和BC,其長度分別為a、b，連結(jié)BD,設(shè)P是BD的中點(diǎn),連結(jié)ＭP、ＰN，則MP＝,NP＝,顯然恒有，當(dāng)AＤ∥BＣ，由平行線等分線段定理知M、N、P三點(diǎn)共線,此時(shí)有，所以與的大小關(guān)系是。2、12°。設(shè)∠BAC的度數(shù)為x,∵ＡB＝BB′∴∠B′BD＝2x，∠CBD＝4x∵ＡB＝AＡ′∴∠AＡ′B=∠ABA′=∠CBD=4x∵∠Ａ′ＡB＝∴，于是可解出x=１2°。３、以3，5,7，9,1１構(gòu)成的三數(shù)組不難列舉出共有10組,它們是（3，5，7）、（３,5,9）、（３,5,11)、(3，７,9)、（3,7，11)、（3，９，11)、(5,7，9）、（5,７,11）、(5，9,11)、（7,9，11）。由3＋5＜9，3+5＜11，3+７<1１可以鑒定（3,５,９)、(3，５，1１）、(３,７，11)這三組不能構(gòu)成三角形的邊長,因此共有7個(gè)數(shù)組構(gòu)成三角形三邊長。４、過P作AＢ的平行線分別交ＤA、ＢC于E、F,過P作BＣ的平行線分別交AＢ、CD于Ｇ、Ｈ。ABABDCPEFGHaabbcd則于是，故,DＰ=35、①設(shè)冬天太陽最低時(shí)，甲樓最高處A點(diǎn)的影子落在乙樓的C處，那么圖中ＣD的長度就是甲樓的影子在乙樓上的高度，設(shè)CE⊥AB于點(diǎn)E,那么在△AＥC中,∠AEＣ=90°，∠AＣＥ＝3０°,ＥC＝２0米。16米20米A16米20米ABCD甲乙ECD=EB＝AB－AE=１6－11.６＝4．4(米）②設(shè)點(diǎn)A的影子落到地面上某一點(diǎn)Ｃ,則在△AＢC中,∠ＡCB＝30°,AＢ＝16米,所以（米）。所以要使甲樓的影子不影響乙樓,那么乙樓距離甲樓至少要27.7米。6、提醒：由題意∠APＢ=∠ＢPC=∠CPA=１２０°,設(shè)∠PBＣ=α,∠AＢC＝60°則∠ABＰ=60°－α，∴∠BAP=∠PBC=α，ABDCE∴△ＡBP∽△BPC，，BＰ2ABDCE三、解答題1、證明:如圖延長AD至Ｅ，使AD=DＥ,連結(jié)BE?！連D＝DC，AD＝DＥ,∠ＡＤC=∠EＤB∴△AＣＤ≌△EBD∴AC＝BE在△ABE中，AE<ＡB+ＢＥ,即２AD<AB+AC∴ＡD<（AＢ+AC)2、答案提醒：在△AＢC中，不妨設(shè)a≤b≤c∵a＋b>ca＋b+c>2c即ｐ>2cc＜，另一方面ｃ≥a且c≥ｂ２ｃ≥ａ+ｂ∴3ｃ。因此3、證明:①∵∠AＣB=90°,DE∥BＣ,DF∥AC，∴DE⊥AＣ,DＥ⊥BC,從而∠ECF＝∠DEC＝∠DＦC＝90°。∵CD是角平分線∴DＥ=DF，即知四邊形ＣEＤF是正方形。②在Rｔ△ＡEＤ和Rt△DFＢ中，∵ＤE∥ＢC∴∠AＤE＝∠B∴Rｔ△AＥD∽Ｒt△DＦB∴，即ＤＥ·DF=AE·BF∵CD＝DＥ=ＤF,∴4、解：這一問題等價(jià)于在1,２，3,……,2０23中選k-1個(gè)數(shù)，使其中任意三個(gè)數(shù)都不能成為三邊互不相等的一個(gè)三角形三邊的長,試問滿足這一條件的k的最大值是多少？符合上述條件的數(shù)組，當(dāng)ｋ=4時(shí),最小的三個(gè)數(shù)就是１，２,3,由此可不斷擴(kuò)大該數(shù)組,只要加入的數(shù)大于或等于已得數(shù)組中最大的兩個(gè)數(shù)之和,所以，為使k達(dá)成最大,可選加入之?dāng)?shù)等于已得數(shù)組中最大的兩數(shù)之和,這樣得:１,2，3,5，8,1３,2１,34,55，89,１4４,233,377，6１0,９87,1５９７①共16個(gè)數(shù)，對(duì)符合上述條件的任數(shù)組，a1，a2……an顯然總有ai大于等于①中的第i個(gè)數(shù),所以n≤16≤k-1,從而知k的最小值為17。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練(９)（面積及等積變換)一、選擇題:１、如圖９-1，在梯形ABCD中,AB∥CD,ＡC與BＤ交于O,點(diǎn)P在ＡB的延長線上,且BP＝CD,則圖形中面積相等的三角形有? （)PADPADCBO圖9-1ABCDEFG圖9-2C.５對(duì)?Ｄ.6對(duì)2、如圖9-2,點(diǎn)E、F分別是矩形AＢＣD的邊AＢ、BC的中點(diǎn),連ＡF、CE,設(shè)AF、CＥ交于點(diǎn)Ｇ，則等于? （)A.?B.?C. Ｄ.3、設(shè)△ABC的面積為１,D是邊AB上一點(diǎn)，且＝,若在邊AＣ上取一點(diǎn)Ｅ，使四邊形ＤECB的面積為，則的值為??()ABCDHGKFEABCDHGKFE圖9-34、如圖9-３,在△AＢC中，∠AＣＢ=90°，分別以AC、ＡB為邊，在△ＡBC外作正方形ACEF和正方形AGＨB,作CK⊥ＡB，分別交ＡＢ和GH于D和K,則正方形ACEF的面積S1與矩形AGKD的面積Ｓ2的大小關(guān)系是（)ABCD圖9-4A.S1＝Ｓ2ABCD圖9-4C．Ｓ１<Ｓ2?D.不能擬定，與的大小有關(guān)5、如圖9-4，四邊形AＢＣＤ中,∠A＝６0°，∠B=∠D=90°,AD＝8，AB=7,則BC＋ＣD等于(）abaabbⅡⅠⅢabaabbⅡⅠⅢⅣ圖9-5aⅠⅡⅢⅣb6、如圖9－5，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形,設(shè)ａ＝1,則正方形的面積為（)A.B.C.D.ABCDABCDEM圖9-6A. ?B.ABCDEFOABCDEFO84xyy40y30y35y圖9-78、O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AO、BO、ＣO及其延長線把△ABC提成六個(gè)小三角形，它們的面積如圖９-7所示,則S△AＢC=（）A.292? B.315C.322? D.3５7二、填空題圖9-8A圖9-8AEDCFBACEBD圖9-10AACEBD圖9-10AMCDBG圖9-9ABQRDCEP圖9-113、如圖9-10,在△ＡBC中,ＣE∶EB=1ABQRDCEP圖9-11ABCDGFE圖9-124、如圖9-1１，已知D、E分別是△ＡBC的邊BC、CA上的點(diǎn),且BD=4，DC＝1,AE=5，EC=2。連結(jié)ＡD和ＢE，它們相交于點(diǎn)Ｐ，過點(diǎn)P分別作PＱ∥ABCDGFE圖9-12ABCDP圖9-135、如圖9-12,梯形ＡBＣＤ中,AD∥ＢC,AD∶BC＝2∶5，AF∶ＦD=１∶1,BE∶EC＝2∶3，ＥF、CD延長線交于G,用最簡(jiǎn)樸的整數(shù)比來表達(dá)，S△GFD∶Ｓ△ＦＥDABCDP圖9-136、如圖9－１3，Ｐ是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若ＰA=３，ＰB=4,PC＝5,則ＰD=＿＿_(dá)＿三、解答題ADFCEB圖9-14１、如圖9-14，在矩形ABＣD中，E是BC上的點(diǎn)，Ｆ是CD上的點(diǎn),S△ABＥ＝S△ADFCEB圖9-14求:的值。ABCDABCDEF圖9-15求證:

3、如圖9－16,在ABCD中，P1、P2、Ｐ３……Pn-1是BＤ的n等分點(diǎn)，連結(jié)ＡP2，并延長交BC于點(diǎn)E,連結(jié)APn-2并延長交CD于點(diǎn)F。DBACEF·DBACEF··P1P2Pn-2Pn-1圖9-16②設(shè)ＡＢCD的面積是S，若S△AEF＝Ｓ，求n的值。圖9-17ABCC1A1B1LMKNQP·O4、如圖9-17,△ABC是等腰三角形,∠C＝90圖9-17ABCC1A1B1LMKNQP·O①證明：△AKL，△BMＮ,△CＰQ都是等腰直角三角形。②求證：△ABC與△A1B１C1數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練(9）參考答案一、選擇題：1、Ｃ。2、D。連結(jié)AC,有，則。AEDBC3、B。如圖聯(lián)結(jié)BE，AEDBC設(shè)，則∴４、A。解：，由于，所以，即,又由于AB＝ＡＧ，ABCDABCDE60°5、B。解:如圖延長AD，BC相交于E，在Rt△ABE中,可求得AＥ＝１4，于是DE＝AE，AD=6,又BE=,在Rt△ＣDE中，可求得CD＝2,CE＝4,于是BC＝BE-CＥ=,BC＋CD=5。６、A。解：由右圖與左圖的面積相等，得，已知，所以有，即，解得,從而正方形的面積為。7、A。解:由△ＡＤＥ∽△ABＭ,得ＤE=8、B?！?即又∵，即∴,解之得∴S△ABC＝８4＋４0+30+35+7０+5６=31５。二、填空題1、。解：延長AF交DC的延長線于M,則△ＡＢＦ≌△MCF，∴ＡF=FＭ,Ｓ△ABＦ=Ｓ△CMF。∴S陰影＝Ｓ△DFＭ,∵AＦ＝FM∴Ｓ△ADF=Ｓ△ＭDF∴∵，∴。２、１44。解：作MN⊥BＣ于Ｎ，∵AＭ＝ＭＣ,ＭN∥AD,∴DN＝NC?！?在Rt△BＭN中,BM＝1５，MN＝9?！郆Ｎ＝12，而BＤ＝DC＝2DN，∴3DN=12,DN=4，∴BC=1６，S△ABC＝AD·BＣ=×18×16＝1４4。3、S△AＤE=S。解：∵CE∶EＢ＝1∶2，設(shè)CE＝k，則EB＝２ｋ，∵DＥ∥ＡC,而BE∶ＢC=２ｋ∶3k＝2∶3,∴,S△ＢDE=S∵DE∥AC∴，∴,則S△ＡＤE=S△ＢＤE＝S4、。解:過點(diǎn)E作EＦ∥ＡD，且交BC于點(diǎn)F,則,所以。由于PＱ∥CA，所以于是。由于PＱ∥CA,PR∥ＣB，所以∠QＰR＝∠ACB，由于△PQR∽△CAB故。5、１∶2∶6。解:設(shè)AD=２,則BＣ=５,FD＝1，ＥＣ＝3∵GF∶ＧE=FD∶EC＝1∶3，GF∶ＦE=1∶２,S△ＧFＤ∶Ｓ△FＥＤ＝GＦ∶ＦE=1∶2顯然有Ｓ△ＥFD∶S△CEＤ＝ＦD∶EＣ＝１∶３，∴S△GFD∶Ｓ△ＦＥＤ∶S△CED＝1∶2∶6。6、3。解：過點(diǎn)P作AB的平行線分別交DＡ、BC于E、F,過P作BＣ的平行線分別交AＢ、ＣD于G、H。設(shè)AG=DH=a,ＢG=CＨ＝b,AE＝BF=c,ＤE＝CＦ=ｄ,則，于是,故,ＤP＝3。三、解答題1、設(shè)ＢC＝a,CＤ＝b，由，得?！郆E＝ａ,則ＥC＝a。同理FC＝b,∴。∵,∴∴。２、答案提醒：連結(jié)BＥ、AD，并把線段之比轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之比；再約分。3、解：①因AD∥ＢC,AＢ∥DC,所以從而有即所以EF∥BD②由①可知,所以，同理可證顯然,所以，從而知,已知所以有,即解方程得ｎ=6。4、證明:①連結(jié)OＣ、OＣ1，分別交PＱ、ＮP于點(diǎn)D、Ｅ,根據(jù)題意得∠CＯC１=45°?！唿c(diǎn)O到AＣ和ＢC的距離都等于1,∴ＯC是∠AＣB的平分線?！摺螦CB=9０°∴∠OCE=∠OＣＱ=４5°同理∠OC1D＝∠OＣ1N=45°∴∠OEＣ=∠ODＣ1＝90°∴∠CＱP＝∠CＰQ＝∠C1PＮ=∠Ｃ1NP=４５°∴△CPQ和△C1ＮＰ都是等腰直角三角形?！唷希翹Ｍ=∠C1NP＝45°∠A1ＱK=∠ＣQP＝4５°∵∠B=4５°∠Ａ1=45°∴△BMN和△Ａ1KQ都是等腰直角三角形?！唷螧1ML=∠BMN=9０°，∠AKL=∠Ａ１KQ=９0°∴∠Ｂ1＝４5°∠A＝4５°∴△B1MＬ和△ＡKＬ也都是等腰直角三角形。②在Rt△OＤＣ1和Rt△OEC中,∵ＯD＝OＥ=1,∠COC1=45°∴OC=OC１＝∴CＤ=C1E=-1∴ＰQ=NP＝２(-1)＝2-２,CQ=ＣP＝C1P＝C1N＝(－1)＝2－∴延長ＣO交AB于H∵CO平分∠ＡCＢ,且AC＝BC∴CH⊥AB,∴ＣH=ＣＯ+ＯＨ＝＋1∴AC＝BC＝A1C1=B１C１＝（＋１)=2+∴∵A1Q=BN＝(２+）－（２－2)－（2－）＝2∴ＫQ＝MN＝＝∴∵ＡK=（２+）-（２-）－＝∴初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（１0）(三角形的四心及性質(zhì)、平移、旋轉(zhuǎn)、覆蓋)一、填空題:ACBE圖10-11、Ｇ是△ABＣ的重心,連結(jié)ＡG并延長交邊BC于D，若△AＢC的面積為６cｍACBE圖10-1A.２cm２ Ｂ．3cmC.1cm２ D.cm2、如圖1０-1,在Ｒt△ＡBC中,∠C＝９0°，∠A=30°,∠C的平分線與∠B的外角的平分線交于E點(diǎn),則∠ＡEＢ是()A.5０°?B.45° Ｃ．40° D.35°ABCDA’B’α圖10-23、在△ABC中，∠ACＢ＝90°，∠A＝2０°,如圖１0-2,將△ABＣ繞點(diǎn)Ｃ按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α到∠A’Ｃ’Ｂ’的位置，其中A’、B’ABCDA’B’α圖10-2A.40°?B.45° C.50°?Ｄ．60°4、設(shè)Ｇ是△ABC的垂心,且AＧ=6,ＢＧ=8,CG=1０,則三角形的面積為()Ａ.5８ Ｂ.66 C.72?Ｄ.845、如圖10-3,有一塊矩形紙片ＡＢCD，AＢ＝8,ＡＤ＝６，將紙片折疊,使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折,AＥ與ＢＣ的交點(diǎn)為F，△CＥF的面積為（）Ａ．2?B.４?C．6 Ｄ.8AABCDDAEBCADEBCF圖10-36、在△AＢＣ中,∠A=45°,ＢC=a,高BE、ＣＦ交于點(diǎn)H,則AH=(）Ａ．?B. Ｃ.a D.7、已知點(diǎn)Ｉ是銳角三角形ABC的內(nèi)心,Ａ1、Ｂ1、C1分別是點(diǎn)I關(guān)于BC、CＡ、AＢ的對(duì)稱點(diǎn),若點(diǎn)B在△A１B1Ｃ1的外接圓上，則∠A.３0°?B.45°?Ｃ．60° Ｄ.9０°8、已知AＤ、ＢE、CＦ是銳角△ＡBＣ三條高線，垂心為H，則其圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A.6?B.８ Ｃ.10?D.12ACACIBD圖10-41、如圖10－４,I是△ABＣ的內(nèi)心，∠A＝40°,則∠CIB＝__ABCDED’圖10-52、在凸四邊形ＡBCD中,已知AB∶BC∶ＣD∶ＤA=2∶2∶３∶ABCDED’圖10-53、如圖10-5,在矩形ＡＢCD中，ＡＢ＝5,ＢＣ＝１2，將矩形ABＣＤ沿對(duì)角線對(duì)折，然后放在桌面上，折疊后所成的圖形覆蓋桌面的面積是_＿_(dá)____4、在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面,OA表達(dá)秒針,OＢ表達(dá)分針（Ｏ為兩針的旋轉(zhuǎn)中心)若現(xiàn)在時(shí)間恰好是1２點(diǎn)整,則通過＿＿_(dá)_秒鐘后,△OAB的面積第一次達(dá)成最大。5、已知等腰三角形頂角為３6°，則底與腰的比值等于＿_(dá)＿＿_(dá)＿6、已知AM是△ABC中BC邊上的中線，P是△AＢC的重心，過P作EＦ(EF∥ＢC），分別交ＡB、AC于E、F，則＝＿＿_(dá)＿_(dá)_＿_(dá)三、解