2023年考研數(shù)學(xué)一真題及答案詳解

1９97年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共５分,每小題3分,滿分１５分．把答案在題中橫線上．)（1）.(２)設(shè)冪級數(shù)收斂半徑為３,則冪級數(shù)收斂區(qū)間為.(３)對數(shù)螺線在點處切線直角坐標(biāo)方程為.(4）設(shè)，為三階非零矩陣,且,則=.（5)袋中有5０個乒乓球，其中20個是黃球,3０個是白球,今有兩人依次隨機地從袋中各取一球,取后不放回,則第二個人取得黃球概率是.二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出四個選項中，只有一項符合題目規(guī)定,把所選項前字母填在題后括號內(nèi))(1)二元函數(shù)在點處（）(A)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在(B)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在(Ｃ）不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在(Ｄ)不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在(２)設(shè)在區(qū)間上令,,則()(A)(B）(C)(Ｄ)(3)則()(A）為正常數(shù)（B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零（D）不為常數(shù)（4)設(shè)則三條直線,,(其中)交于一點充要條件是()(A)線性相關(guān)(B)線性無關(guān)(C）秩秩(D)線性相關(guān),線性無關(guān)(5)設(shè)兩個互相獨立隨機變量和方差分別為４和2,則隨機變量方差是(）(A)8(Ｂ）16(C)28(D)4４三、（本題共3小題,每小題５分,滿分15分．）(1)計算其中為平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成曲面和平面所圍成區(qū)域.（2）計算曲線積分,其中是曲線從軸正向往軸負(fù)向看，方向是順時針.(3)在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)人進行.設(shè)該人群總?cè)藬?shù)為,在時刻已掌握新技術(shù)人數(shù)為，在任意時刻已掌握新技術(shù)人數(shù)為(將視為連續(xù)可微變量)，其改變率和已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比,比例常數(shù)求.四、(本題共2小題,第(１）小題6分,第(2）小題７分,滿分13分.)（1)設(shè)直線在平面上,且平面和曲面相切于點,求之值.（2）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),而滿足方程,求．五、（本題滿分６分)設(shè)連續(xù),且（為常數(shù)),求并討論在處連續(xù)性.六、(本題滿分8分）設(shè)證實：（1）存在；（２)級數(shù)收斂．七、(本題共２小題,第(１)小題5分,第（2)小題6分，滿分11分．)(１)設(shè)是秩為２矩陣,是齊次線性方程組解向量，求解空間一個標(biāo)準(zhǔn)正交基．(2)已知是矩陣一個特性向量.(Ⅰ)試擬定參數(shù)及特性向量所相應(yīng)特性值;(Ⅱ)問能否相同于對角陣？說明理由.八、(本題滿分5分）設(shè)是階可逆方陣,將第行和第行對換后得到矩陣記為．(1)證實可逆;(2)求.九、（本題滿分7分）從學(xué)校乘汽車到火車站途中有3個交通崗,假設(shè)在各個交通崗碰到紅燈事件是互相獨立,并且概率所有是.設(shè)為途中碰到紅燈次數(shù)，求隨機變量分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)盼望.十、(本題滿分５分)設(shè)總體概率密度為其中是未知參數(shù).是來自總體一個容量為簡樸隨機樣本,分別用矩估量法和最大似然估量法求估量量.1９9７年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(本題共5分,每小題3分,滿分１５分．把答案在題中橫線上.)(１)【答案】【分析】這是型極限.注意兩個特殊極限.【解析】將原式分子、分母同除以,得評注:使用洛必達(dá)法則條件中有一項是應(yīng)存在或為，而本題中，極限不存在,也不為,不滿足使用洛必達(dá)法則條件,故本題不能用洛必達(dá)法則.【相關(guān)知識點】１.有界量乘以無窮小量為無窮小量.(2）【答案】【解析】考察這兩個冪級數(shù)關(guān)系.令,則.由于逐項求導(dǎo)后冪級數(shù)和原冪級數(shù)有相同收斂半徑,收斂半徑為3收斂半徑為３.從而收斂半徑為3,收斂區(qū)間即(-3,3),回到原冪級數(shù),它收斂區(qū)間為,即．評注：冪級數(shù)收斂區(qū)間指是開區(qū)間,不考慮端點.對于，若它收斂半徑是．但是若只知它收斂半徑為，則,由于可以不存在(對于缺項冪級數(shù)就是這種情形).（３）【答案】【解析】求切線方程關(guān)鍵問題是求其斜率,而可由參數(shù)方程求得:，所以切線方程為,即.評注:本題難點在于考生不熟悉極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間關(guān)系.(4)【答案】【解析】由，對按列分塊,設(shè)，則,即是齊次方程組解．又因,故有非零解,那么,由此可得．評注:若熟悉公式,則,可知,亦可求出.(5)【答案】【解析】方法1:運用全概率公式．求第二人取得黃球概率,通常了解為這事件和第一人取得是什么球相關(guān).這就要用全概率公式.全概率公式一方面需要一個完全事件組,這就包含到設(shè)事件問題.設(shè)事件“第個人取得黃球”,,則完全事件組為(分別表達(dá)第一個人取得黃球和第一個人取得白球).依據(jù)題設(shè)條件可知;；(第一個人取得黃球條件下，黃球個數(shù)變成，球總數(shù)變成,第二個人取得黃球概率就為）;（第一個人取得白球條件下,黃球個數(shù)亦為20,球總數(shù)變成５0-１=４9,第二個人取得黃球概率就為).故應(yīng)用全概率公式．方法二:運用“抽簽原理”．只考慮第二個人取得球,這5０個球中每一個所有會等也許地被第二個人取到.如同多個人抽獎,其中只有一張彩票有獎,那么這多個人先抽和后抽,抽到有獎彩票概率是同樣,這就是我們抽獎公平性,此題中取到黃球也許有20個,所以第二個人取到黃球概率為.【相關(guān)知識點】1．全概率公式：；２．古經(jīng)典概率公式：.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出四個選項中,只有一項符合題目規(guī)定，把所選項前字母填在題后括號內(nèi))(1)【答案】(C)【解析】這是討論在點是否連續(xù)，是否存在偏導(dǎo)數(shù)問題.按定義,由于,偏導(dǎo)數(shù)且．再看在是否連續(xù)?由于，所以在不連續(xù).應(yīng)選(C).評注：①證實分段函數(shù)在某點連續(xù),通常要用定義證,有難度.證實分段函數(shù)在某點不連續(xù)方法之一是:證實點沿某曲線趨于時,極限不存在或不為.②證實不存在關(guān)鍵方法是證實點沿兩條不同樣曲線趨于時，極限不想等或沿某條曲線趨于時,極限不存在.對于該題中,若再考察,不存在.由本例可見,函數(shù)在一點處不連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)卻可以存在.容易找到這種例子,比如它在點處連續(xù)，但和所有不存在．可見二元函數(shù)連續(xù)性和偏導(dǎo)數(shù)存在性可以毫無因果關(guān)系．(2)【答案】(B)CabEDxyOAB【解析】CabEDxyOAB是曲邊梯形面積；是矩形面積;是梯形面積．由圖可見,應(yīng)選(B).方法2:觀測法．由于是要選擇對任何滿足條件所有成立結(jié)果,故可以取滿足條件特定來觀測結(jié)果是什么.比如取,則.【評注】本題也可用分析方法證實以下:由積分中值定理,最少存在一個點,使成立，再由所以是單調(diào)遞減,故從而．為證，令則由于,所以是單調(diào)遞增，故，,即在上單調(diào)遞增．由于所以,從而，即.所以，,應(yīng)選(D）．假如題目改為證實題,則應(yīng)當(dāng)用評注所講措施去證，而不能用圖證.【相關(guān)知識點】1.積分中值定理:假如函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù),則在上最少存在一個點,使下式成立:．這個公式叫做積分中值公式.2.拉格朗日中值定理:假如函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么在內(nèi)最少有一點，使等式成立．(3)【答案】（A)【解析】由于函數(shù)是認(rèn)為周期函數(shù),所以,,值和無關(guān).不選D,(周期函數(shù)在一個周期積分和起點無關(guān)).估量值有多個方法．方法１:劃分取值正、負(fù)區(qū)間.當(dāng)初,,所以.選(A).方法2：用分部積分法.故應(yīng)選(Ａ)．【評注】本題方法1十分有代表性.被積函數(shù)在積分區(qū)間上可以取到正值和負(fù)值時，則常將積分區(qū)間劃提成若干個,使每一個區(qū)間內(nèi),被積函數(shù)保持?jǐn)M定符號,然后再作合適變量變換,使多個積分積分上下限相同,然后只要估量被積函數(shù)正、負(fù)即可.（４)【答案】(D)【解析】方法1：三條直線交于一點充要條件是方程組有唯一解．將上述方程組寫成矩陣形式:,其中是其系數(shù)矩陣,.則有唯一解(方程組系數(shù)矩陣秩和增廣矩陣秩相等且等于未知量個數(shù))，即A列向量組線性相關(guān)．所以應(yīng)選(D）．方法2:用排除法.(Ａ)線性相關(guān),當(dāng)初，方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣秩相等且小于未知量個數(shù),則=1\*ＧB３①式有沒有窮多解,依據(jù)解個數(shù)和直線位置關(guān)系.所以三條直線重合,相交有沒有窮多點,（A)不成立.(B)線性無關(guān)，不能由線性表出，方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣秩不相等,方程組無解,依據(jù)解得個數(shù)和直線位置關(guān)系，所以一個交點也沒有,(B）不成立．（C)秩秩,當(dāng)初,三條直線重合,不只交于一點,和題設(shè)條件矛盾,故(C)不成立.由排除法知選(Ｄ)．評注：應(yīng)重視線性代數(shù)中幾何背景.空間直線方程及平面方程其在空間位置關(guān)系應(yīng)和線性代數(shù)中線性相關(guān)性、秩及方程組解及其充要條件有機結(jié)合起來.（5)【答案】（D）【解析】因和獨立,故和也互相獨立.由方差性質(zhì),有.【相關(guān)知識點】方差性質(zhì)：和互相獨立時,，其中為常數(shù).三、(本題共3小題，每小題5分，滿分１5分.)(1)【分析】三重積分計算有三種方法:直角坐標(biāo)中計算,柱面坐標(biāo)中計算，球面坐標(biāo)中計算，其中柱面坐標(biāo)中又可分前后,或前后兩種方法.本題區(qū)域為繞軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)體,用柱面坐標(biāo)前后方便.【解析】方法1:采用柱面坐標(biāo),前后,為此，作平面.(將直角坐標(biāo)化為柱面坐標(biāo))方法2:將投影到平面,得圓域用柱面坐標(biāo)前后,有評注：做二次積分或三次積分時,假如里層積分結(jié)果不含外層積分變量,那么里、外層積分可以分別積分然后相乘即可.如本例方法2中可以單獨先做.（2)【解析】方法１:寫出參數(shù)方程,然后用曲線積分化為定積分公式.由平面上圓參數(shù)方程易寫出參數(shù)方程為：,其中．由方向知,在平面上投影曲線相應(yīng)地也是順時針,于是從到0.在把參數(shù)方程代入被積表達(dá)式之前,先用方程將被積表達(dá)式化簡,有方法2:用斯托克斯公式來計算．記為平面上所圍有限部分，由定向，按右手法則取下側(cè).原積分.在平面上投影區(qū)域為.將第二類曲面積分化為二重積分得原積分.這里因取下側(cè),故公式取負(fù)號.(3）【解析】已掌握新技術(shù)人數(shù)改變率,即，由題意可立即建立初值問題把方程分離變量得.積分可得,.以代入擬定,故所求函數(shù)為四、（本題共2小題,第(1)小題6分,第(２）小題7分，滿分1３分．)(1)【分析】求出曲面在點（在上)處切平面方程,再寫出參數(shù)方程,上點坐標(biāo)應(yīng)滿足切平面方程,由此定出參數(shù)和．【解析】曲面在點法向量．切平面方程是，即．將直線方程改寫成參數(shù)方程將它代入平面方程得,即.解得.(2)【分析】是由一元函數(shù)和二元函數(shù)復(fù)合而成二元函數(shù),它滿足方程.(＊)為了求,我們將用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,導(dǎo)出，,,和關(guān)系,然后由(＊)式導(dǎo)出滿足常微分方程，從而求出.【解析】先用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法導(dǎo)出將后兩式代入（*)得,即.這是二階線性常系數(shù)齊次方程,相應(yīng)特性方程特性根為，所以求得,其中、為任意常數(shù)．五、(本題滿分６分)【分析】通過變換將化為積分上限函數(shù)形式，此時,但依據(jù),知,從而，由此,運用積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)在一點處定義和函數(shù)連續(xù)定義來鑒定在處連續(xù)性．【解析】由題設(shè)知,且有.又于是由導(dǎo)數(shù)定義，有.而,從而知在處連續(xù).評注：對作積分變量變換時,必附加條件.所以，由得到也附加有條件.從而應(yīng)單獨去求.六、（本題滿分8分)【解析】(1)先證單調(diào)有界．顯然,由初等不等式:對非負(fù)數(shù)必有,易知.再考察.所以,單調(diào)下降且有界,存在極限.(2）方法1：由單調(diào)下降．原級數(shù)是正項級數(shù).現(xiàn)合適放大,注意，得部分和,存在,可見級數(shù)收斂.由比較判別法知,級數(shù)也收斂.方法2:令,運用遞推公式,有,由比值判別法知級數(shù)也收斂.【評注】由證實中可見,有下述結(jié)論：收斂存在．在考研題中數(shù)次用到這個知識點,考生可倍加注意.七、(本題共2小題,第(1)小題5分，第(2)小題6分,滿分11分．)【分析】規(guī)定解空間一個標(biāo)準(zhǔn)基,一方面必需擬定此解空間維數(shù)和相應(yīng)個數(shù)線性無關(guān)解.【解析】（1）因秩,故解空間維數(shù),又因線性無關(guān),是方程組解,由解空間基定義,是解空間基.用施密特正交化方法先將其正交化,令:將其單位化，有,即為所求一個標(biāo)準(zhǔn)正交基．評注:此題是一個基礎(chǔ)計算題,只規(guī)定得一個齊次方程組基礎(chǔ)解系再標(biāo)準(zhǔn)正交化即可.由于解空間基不唯一，施密特正交化解決后標(biāo)準(zhǔn)正交基也不唯一．已知條件中是線性相關(guān)(注意),不要誤認(rèn)為解空間是3維.(2)(Ｉ)設(shè)是矩陣屬于特性值特性向量,即即．(IＩ)將(1）解得代入矩陣，得．其特性方程為知矩陣特性值為.由于,從而只有一個線性無關(guān)特性向量，故不能相同對角化.評注：相同于對角陣Ａ每個重特性值有個線性無關(guān)特性向量．八、（本題滿分5分)【解析】由于，其中是初等矩陣(1)由于可逆,,故,所以可逆.(２)由,知評注:①本題考察初等矩陣概念和性質(zhì)，要知道初等變換和初等矩陣左右乘關(guān)系和初等矩陣逆矩陣三個公式.有考生寫不出初等矩陣,或?qū)懗?或不知道,或認(rèn)為,而不知道等，這些要引發(fā)注意.②經(jīng)初等變換矩陣秩不變,易知,也可證實可逆．九、(本題滿分7分）【分析】一方面需要清楚二項分布產(chǎn)生背景.它背景是:做次獨立反復(fù)實驗,每