測量誤差與數(shù)據(jù)處理

測量誤差與數(shù)據(jù)處理第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.1誤差的基本概念2.2隨機誤差2.3有限次測量誤差與分析處理2.4系統(tǒng)誤差2.5粗大誤差2.6測量不確定度2.7測量數(shù)據(jù)的處理主要內(nèi)容第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日誤差存在的普遍性：實驗方法、實驗設(shè)備的局限性，周圍環(huán)境的影響，人為因素，測得的數(shù)值和真值之間總存在一定差異，在數(shù)值上表現(xiàn)為誤差。誤差存在的必然性：隨著科技的水平的不斷進(jìn)步和人類認(rèn)識水平的發(fā)展，誤差被控制得越來越小，但始終不能完全消除，即誤差是不受人們的主觀影響而客觀存在的。為什么要研究誤差？研究誤差大小/來源↓↓誤差↑↑測量精度。為什么說誤差的存在具有普遍性和必然性？第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.1誤差的基本概念測量誤差的定義測量誤差：測量所得數(shù)據(jù)與其相應(yīng)的真值之差。δ=X?X0δ------測量誤差Ｘ----測量結(jié)果Ｘ0---真值測量誤差-----絕對誤差真值：是被測量本身所具有的真實大小，只有通過完善的測量才能獲得。實際上，由于被測量的定義和測量都不可能完善，因而真值往往未知，只是一個理想的概念。第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日理論真值：設(shè)計時給定或用數(shù)學(xué)、物理公式計算出的給定值；如：三角形內(nèi)角和180°約定真值：①世界各國公認(rèn)的幾何量和物理量的最高基準(zhǔn)的量值。如：?公制熱力學(xué)溫度基準(zhǔn)：開(K)約定１Ｋ是水處于三相點時溫度值的1/273.16。②相對量，高一級精度儀表的測量值。如砝碼、稱。第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日相對誤差（示值誤差、讀數(shù)誤差“R”）：測量的絕對誤差與被測量的真值之比當(dāng)絕對誤差很小時用符號表示：第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日引用誤差（滿度誤差、額定誤差）：在多檔和連續(xù)刻度的儀表中，因各檔示值和對應(yīng)真值都不同，計算相對誤差所用的分母也不同，為此定義了引用誤差。L—最大刻度與最小刻度之差最大引用誤差：常用最大引用誤差表示儀表的質(zhì)量，進(jìn)行準(zhǔn)確度分級第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日舉例：DN50的浮子流量計的流量測量范圍：1.6~16m3/h,其引用誤差為1.5%，則測量下限時的讀數(shù)誤差為多少？解：滿度誤差：絕對誤差：測量下限1.6m3/h時的讀數(shù)誤差：說明：讀數(shù)誤差更能反映當(dāng)前測量值的準(zhǔn)確性。第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日兩種相對誤差的差別：一般按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)或行業(yè)慣例、企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)確定，不同國家標(biāo)準(zhǔn)有區(qū)別。例如：浮子流量計采用引用誤差；渦輪/渦街/電磁流量計采用示值誤差通常：模擬信號輸出的儀表——引用誤差；數(shù)字或脈沖信號表——讀數(shù)誤差。準(zhǔn)確度等級：（行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)）0.1級,0.2級,0.5級,1級,1.5級，由誤差的性質(zhì)和大小決定。等級歸屬：就低原則若誤差剛好在兩極之間，則該儀表應(yīng)歸屬于最接近的精度較低的一級，如0.3%歸屬0.5級。第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日自動化工程學(xué)院自動化工程學(xué)院自動化工程學(xué)院自動化工程學(xué)院2.1.2誤差的來源①標(biāo)準(zhǔn)器誤差②儀器儀表誤差③輔助設(shè)備和附件誤差④檢測環(huán)境引起的誤差環(huán)境條件（溫度、濕度、氣壓等）差異⑤檢測方法誤差采樣方法、測量重復(fù)次數(shù)、取樣時間⑥檢測人員造成的誤差人員視覺、讀數(shù)誤差、經(jīng)驗、熟練程度、精神疲勞程度等等第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.1.3誤差的分類按特性規(guī)律：系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差①

系統(tǒng)誤差（Systemerror）---有規(guī)律可循，由特定原因引起、具有一定因果關(guān)系并按確定規(guī)律產(chǎn)生，如裝置、環(huán)境、動力源變化、人為因素。理論分析/實驗驗證---原因和規(guī)律---減少/消除②隨機誤差（Randomerror）因許多不確定性因素而隨機發(fā)生，偶然性（不明確、無規(guī)律），概率和統(tǒng)計性處理（無法消除/修正）③粗大誤差（Abnormalerror）檢測系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)發(fā)生異常和故障等引起異常誤差---混為系統(tǒng)誤差和隨機誤差---測量結(jié)果失去意義。分離---防止第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.1.4測量的準(zhǔn)確度、精密度準(zhǔn)確度（精確度）：表示測量結(jié)果與真實值接近的程度，簡稱精度。反映系統(tǒng)誤差與隨機誤差對測量結(jié)果綜合影響的程度。精密度：表示測量值重復(fù)一致的程度，反映了隨機誤差影響的程度。隨機誤差越小，測量結(jié)果越精密?！貜?fù)性。例：坐標(biāo)原點---真值點的位置；點---多次測量結(jié)果第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.2隨機誤差2.2.1隨機誤差的正態(tài)分布性質(zhì)注：本節(jié)是在假定粗大誤差及系統(tǒng)誤差已被排除的前提下來探討隨機誤差的。隨機誤差的定義：在測量的過程中，因存在許多隨機因素對測量造成的干擾，而使得測量附加有大小和方向都難于預(yù)測的測量誤差。條件：測量次數(shù)足夠多；儀器精度和靈敏度足夠高。性質(zhì)：有界性、單峰性、對稱性、抵償性。第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日

(1).有界性絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小。零誤差出現(xiàn)的概率最大。

(2).單峰性在一定測量條件下，測量的隨機誤差總是在一定的、相當(dāng)窄的范圍內(nèi)變動，絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零。即隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限。

(3).對稱性大小相等、符號相反的隨機誤差出現(xiàn)的概率相同。第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日

(4).抵償性在等精度測量條件下，當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮大時，全部隨機誤差的算術(shù)平均值趨于零。隨機誤差的分布測量列：對某一固定量μ做n次測量，測得x1,x2,x3…..,xn，稱為測量列，其概率密度函數(shù)為第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日δ坐標(biāo)不同坐標(biāo)不同σ:均方根誤差/標(biāo)準(zhǔn)誤差μ——真值，期望值隨機誤差的分布密度函數(shù)：第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日隨機誤差的分布密度函數(shù)：極值點：當(dāng)時，即δ=0

f(δ)

取峰值,拐點：當(dāng)時，即δ=±σ處為拐點。σ——表示分散性第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日正態(tài)分布規(guī)律是研究隨機誤差的理論基礎(chǔ)，其實用價值為：大量（工程、實驗）測量列的隨機誤差都服從正態(tài)分布；造成隨機誤差的因素很多，理論上可以證明，影響因素越多，越服從正態(tài)分布。為了方便，某些精度要求不太高的地方，非正態(tài)分布也用正態(tài)分布處理；有時測量次數(shù)較少，服從什么分布尚不清楚，可用正態(tài)分布代替。第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.2.2正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分概率積分：隨機誤差出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率可以用概率積分計算：由于概率對稱性：令a=zσ，則z=a/σ,作歸一化處理。z—均方根誤差的倍數(shù)；φ(z)—出現(xiàn)的概率第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日z=1，φ(z)=0.68269z=2，φ(z)=0.95450z=3，φ(z)=0.99730δf(δ)0σ2σ3σ-σ-2σ-3σ第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.4系統(tǒng)誤差原因：①由于測量設(shè)備、試驗裝置不完善，或安裝、調(diào)整、使用不得當(dāng)引起的誤差。如測量儀表未經(jīng)校準(zhǔn)投入使用。②由于外界環(huán)境影響而引起的誤差。如溫度漂移、測量現(xiàn)場電磁場的干擾等。③由于測量方法不正確，如使用大慣性儀表測量脈動氣流的壓力，則測量結(jié)果不可能是氣流的實際壓力，甚至也不是真正的時均值。④測量人員方面因素引起誤差。如測量者在刻度上估計讀數(shù)時，習(xí)慣偏于某一方向；動態(tài)測量時，記錄某一信號有滯后的傾向。第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日特點：再現(xiàn)性---偏差（Deviation）理論分析/實驗驗證---原因和規(guī)律---減少/消除2.4.1系統(tǒng)誤差的特點與性質(zhì)設(shè)有一列測定值x1、x2…..，xn若測定值xi中含有系統(tǒng)誤差θi，消除系統(tǒng)誤差后其值為，則其算術(shù)平均值為第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日即為消除系統(tǒng)誤差后的殘差測定值xi的殘差vi為消除系統(tǒng)誤差后測定值的算術(shù)平均值第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日結(jié)論：（1）.恒定值系統(tǒng)誤差，由于所以--消除系統(tǒng)誤差后測量列的均方根誤差恒定系統(tǒng)誤差的存在，只影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確性，不影響測量的精密度。第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日（2）.對變值系統(tǒng)誤差，由于所以變值系統(tǒng)誤差的存在，不僅影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確性，而且影響測量的精密度。第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.4.2系統(tǒng)誤差的檢查與判別（1）根據(jù)測定值殘差的變化判斷變值系統(tǒng)誤差如果測定值中，系統(tǒng)誤差比隨機誤差大，那么殘差的符號主要由項的符號決定。因此，將殘差按照測量的順序進(jìn)行排列，這些殘差的符號變化將反映出的符號變換，進(jìn)而反映出的符號變化，由于變值系統(tǒng)誤差的變化具有某種規(guī)律性，因而殘差的變化也具有大致相同的規(guī)律第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日準(zhǔn)則1

將測量列中諸測定值按測量先后順序排列，若殘差的大小有規(guī)則的向一個方向變化，則測量列中有累進(jìn)的系統(tǒng)誤差。準(zhǔn)則2

將測量列中諸測定值按測量先后順序排列，若殘差的符號呈有規(guī)律的交替變化，則測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。以上準(zhǔn)則的前提都是系統(tǒng)誤差大于隨機誤差的情況，若隨機誤差起主要作用，還要進(jìn)一步依靠統(tǒng)計的方法來判斷。第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日（2）利用判據(jù)判定變值系統(tǒng)誤差的存在馬利科夫準(zhǔn)則對某一測量量進(jìn)行多次等精度測量，獲得一列測定值x1、x2…..，xn，按測量先后順序排列，各測定值殘差依次為v1、v2…..，vn，把前面k個殘差和后面（n-k）個殘差分別求和（當(dāng)n為偶數(shù)時，取k=

n/2，當(dāng)n為奇數(shù)時，取k=（n+1）/2），并取其差值得

若差值D顯著異于零，則測量列中含有累進(jìn)系統(tǒng)誤差。第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日阿貝-赫梅特準(zhǔn)則對某一測量量進(jìn)行多次等精度測量，獲得一列測定值x1、x2…..，xn，按測量先后順序排列，各測定值殘差依次為v1、v2…..，vn，設(shè)若則可以認(rèn)為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日例：對某恒溫箱內(nèi)的溫度進(jìn)行測量10次，獲得如下數(shù)據(jù)：（單位：℃）20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.14，20.18，20.18，20.21判斷該測量列中是否存在變值系統(tǒng)誤差。解：計算各測量值的殘差vi，并按測量順序排列-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，+0.02，+0.06，+0.06，+0.09由準(zhǔn)則1判斷，殘差由負(fù)到正，其數(shù)值逐漸增大，故測量列中含有累進(jìn)系統(tǒng)誤差。第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日由馬利科夫準(zhǔn)則判斷差值D顯著異于零，則測量列中含有累進(jìn)系統(tǒng)誤差。由阿貝-赫梅特準(zhǔn)則判斷測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.4.3系統(tǒng)誤差的減小與消除①消除恒值系統(tǒng)誤差常用的方法是對置法，也稱交換法。交換某些測量條件，使引起恒值系統(tǒng)誤差的原因以相反的方向影響測量結(jié)果，從而中和其影響。②消除線性變化的累進(jìn)誤差最有效的方法是對稱觀察法。將測量以某一時刻為中心對稱地安排，取各對點兩次測量算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，即可消除線性變化的累進(jìn)系統(tǒng)誤差。第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日③半周期偶數(shù)觀測法，可以很好的消除周期性變化的系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差可表示為t=t0時，周期性系統(tǒng)誤差θ0為t=t0+T/2時，周期性系統(tǒng)誤差θ1為第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日而所以，測得一個數(shù)據(jù)后，相隔t的半個周期再測一個數(shù)據(jù)，取二者的平均值即可消去周期性系統(tǒng)誤差。第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.5粗大誤差粗大誤差指不能用測量客觀條件解釋為合理的那些突出誤差，它明顯地歪曲了測量結(jié)果，含有粗大誤差的測定值的異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予以剔出。拉伊特準(zhǔn)則

如果測量列中某一測定值xi其殘差vi的絕對值大于該測量列標(biāo)準(zhǔn)差的3倍，那么可以認(rèn)為xi為壞值，應(yīng)予以剔出。實際使用時，取第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日剔出某個含有粗大誤差的壞值xi后，應(yīng)重新計算新測量列的算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)差，判斷余下的數(shù)據(jù)中是否還有含粗大誤差的壞值。注意:當(dāng)n≤10時，拉伊特準(zhǔn)則失效。格拉布斯準(zhǔn)則（適用于測量次數(shù)較少）對某一測量量進(jìn)行多次等精度測量，獲得一列測定值x1、x2…..，xn，若測定值符合正態(tài)分布，N(x;μ,σ),則可計算出子樣平均值和測量列標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日將xi由小到大排列計算出統(tǒng)計量取定危險率a，可求得臨界值g0(n,a)第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日若測量列中最大測定值與最小測定值的殘差滿足者，則可以認(rèn)為含有殘差vi的測定值是壞值，應(yīng)予以剔出。剔出某個含有粗大誤差的壞值xi后，應(yīng)重新判斷余下的數(shù)據(jù)中是否還有含粗大誤差的壞值。直到為止。第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.6誤差的傳遞與綜合間接測量量誤差的種類、性質(zhì)與數(shù)值大小將決定于直接測量量誤差的種類、性質(zhì)與數(shù)值。由直接測量量的誤差求間接測量量的誤差稱為誤差的傳遞。（1）系統(tǒng)誤差的傳遞誤差的傳遞假設(shè)被測量y與各直接量x1、x2…..，xn之間的函數(shù)關(guān)系為y=f(x1、x2…..，xn)（1）如果各直接量的系統(tǒng)誤差為ε1、ε2…..，εn，由此引起的被測量y的誤差也將是系統(tǒng)誤差，并以εy表示第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日對（1）式微分可得由于誤差很微小，可以用εy、

ε1、ε2…..，εn分別近似代替微分量dy、dx1、…dxn

，則

------系統(tǒng)誤差的傳遞公式---為第i個直接量xi對被測量y的誤差的傳遞系數(shù)第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日（2）隨機誤差的傳遞假設(shè)被測量y與各直接量x1、x2…..，xn之間的函數(shù)關(guān)系為y=f(x1、x2…..，xn)（2）如果各直接量的隨機誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差為σ1、σ2…..，σn，由此引起的被測量y的誤差也將是隨機誤差，并以σy表示，經(jīng)過推倒可得如果各直接量相互獨立，互不關(guān)聯(lián)，則，第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日----用標(biāo)準(zhǔn)誤差表示的隨機誤差的傳遞公式如果各直接量的誤差各自獨立，且服從正態(tài)分布，則誤差傳遞公式可以寫成δy、

δ1、δ2…..，δn分別為y、x1、…xn

的極限誤差。----用極限誤差表示的隨機誤差的傳遞公式注：極限誤差為標(biāo)準(zhǔn)誤差的3倍第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日誤差的合成在實際測量中，測量結(jié)果的誤差一般都是由多個因素引起的，由某個因素單獨影響引起的誤差稱為單項誤差，而測量的總誤差則是各因素單項誤