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1定義和例子子空間第19章向量空間

(Vectorspaces)第19章向量空間線性無關一、向量空間定義和例子非空集合V稱為域F上向量空間(vectorspace),如果V有一個稱為加法(記作+)的二元運算,和一個數(shù)乘運算(scalarmultiplication)：

滿足：V在加法下構成交換群,對,下列條件成立：

向量空間的定義2V中元:向量(vectors),用u,v,w表示;域中元:數(shù)量(scalars),用a,b,c表示;

前邊學習了群和環(huán),本章開始學習域,作為準備,我們先復習一下線性空間相關知識.例1:

集合是域R上的向量空間,運算是:向量空間的定義3例2:

是域

上的向量空間,p素數(shù).例3:

設E是域,F是E的子域.則E是F上的向量空間.向量加法和數(shù)量乘法是E中的加法和乘法.二、子空間設V是域F上向量空間,稱V的非空子集U為V的子空間(Subspace),如果U在V的運算下構成域F上向量空間.子空間4例4:

集合是向量空間的子空間.例5:

令V是域F上向量空間,

是V中元素.則

是V的子空間,稱為由生成的子空間.

而稱為的一個線性組合.

若,稱生成V.

子空間判定：非空+加法和數(shù)乘運算封閉.三、線性無關

設V是F上向量空間,S是V的子集.稱S在域F上線性相關(linearlydependent),若存在S中向量

及F中不全為零的元素

使得若S在域F上不是線性相關,則稱S線性無關(linearlyindependent).線性無關5設V是域F上向量空間,稱V的子集B是V的一個基(basis),若B線性無關,且V中每個元素都是B中元素線性組合.定理19.1:若和

都是V的基,則m=n.

線性無關6若一個向量空間有一個包含n個元素的基,則稱該向量空間的維數(shù)(dimension)是n.規(guī)定零空間的維數(shù)為0.如一個向量空間沒有有限基，則稱其為無限維的.關于線性空間，我們有如下重要定

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