(1.3.1)-1.1.3復數(shù)的乘冪與方根

復變函數(shù)與積分變換復數(shù)的乘冪與方根復數(shù)的三角表示式和指數(shù)表示式1平面曲線的復數(shù)方程2復數(shù)的乘冪3復數(shù)的方根4一、復數(shù)的三角表示式和指數(shù)表示式1三角表示式利用直角坐標與極坐標的關系可以將復數(shù)表示為稱為復數(shù)z的三角表示式。一、復數(shù)的三角表示式和指數(shù)表示式2指數(shù)表示式再利用歐拉公式：又可以將復數(shù)z

表示為稱為復數(shù)z

的指數(shù)表示式。z

表示為說明①式中r表示復數(shù)

z的模；②式中表示復數(shù)

z的輻角；③由于輻角不唯一，故復數(shù)的三角表示式和指數(shù)表示式并不唯一。例1.4寫出復數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式。解①②由于z

在第四象限，故可得從而z

的三角表示式為z

的指數(shù)表示式為二、平面曲線的復數(shù)方程利用復數(shù)及其運算的幾何意義，一方面，很多平面圖形能用復數(shù)的方程或不等式來表示；另一方面，也可以由給定的復數(shù)形式的方程或不等式來確定它所表示的圖形。例1.5將通過兩點與的直線用復數(shù)形式的方程表示。解通過兩點與的直線可以用參數(shù)方程表示為例1.5因此，令得到該直線的復數(shù)形式的參數(shù)方程為說明：當時，該參數(shù)方程表示到的直線段。例1.6求下列方程所表示的曲線：(1)(2)解(1)由復數(shù)的幾何意義，方程表示復平上所有與點z=1距離為3的點的軌跡，即以z=1為中心，3為半徑的圓。xyO13例1.6求下列方程所表示的曲線：(1)(2)解(2)由復數(shù)的幾何意義，方程表示到點與距離相等的點的軌跡，即連接點與的線段的垂直平分線。xyO三、復數(shù)的乘冪設兩個復數(shù)則于是有1乘積由此可知(1)兩個復數(shù)乘積的模，等于它們模的乘積；(2)兩個復數(shù)乘積的輻角，等于它們輻角的和。幾何意義兩個復數(shù)對應的向量分別為與先把按逆時針方向旋轉一個角度再把它的模擴大到倍，所得向量就表示乘積注意由于輻角的多值性，上述等式兩端都是由無它表示兩端可能取的值的全體是相同的。窮個數(shù)構成的數(shù)集，2除法當時，則有于是由此可知(1)兩個復數(shù)商的模，等于它們模的商；(2)兩個復數(shù)商的輻角，等于它們輻角的差。如果用指數(shù)形式表示復數(shù)那么它們的乘積和商還可以表示為3乘冪定義n

個相同的復數(shù)z的乘積稱為

z的n次冪，記作易知如果定義那么當

n

為負整數(shù)時，上式仍然成立。定義設z

是不等于0的復數(shù)，若存在復數(shù)

w，使得則稱w為

z的n

次方根，記作設則有得到因此，所以四、復數(shù)的方根當時，得到n個相異的根：當k取其它整數(shù)時，這些根又重復出現(xiàn)。由此可見1.任何非零復數(shù)的

n次方根有且僅有

n個相異的值2.它們具有相同的模3.兩個相鄰的輻角相差故在幾何上，w

的n

個值分布在以原點為圓心，為半徑的圓內(nèi)接正n