(3.3.1)-3.3彈性力學(xué)的平面問題

3.4彈性力學(xué)的平面問題

一般可以分為兩類：一類是平面應(yīng)力問題，另一類是平面應(yīng)變問題。常見的平面應(yīng)力問題有鏈傳動(dòng)中的鏈片（如圖a）所示）、發(fā)動(dòng)機(jī)中的連桿（如圖b）所示）及內(nèi)燃機(jī)的飛輪、軋機(jī)的機(jī)架等。平面應(yīng)變問題水壩（如圖c）所示）、受壓管道（如圖d）所示），以及滾針軸承的滾針、軋鋼機(jī)的軋輥等。本章以此類問題為研究對象，進(jìn)行有限元法分析。a）b）c）d）

彈性力學(xué)中的平面問題舉例3.4.1平面應(yīng)力問題是指所研究對象是等厚度薄板。它在z方向上的尺寸很小，外載荷方向沿板面方向，且沿z為均勻分布，因此可以認(rèn)為板面上應(yīng)力分量等于零，這種問題稱為平面應(yīng)力問題。1.平面應(yīng)力問題的特點(diǎn)應(yīng)力特征：由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：則，彈性力學(xué)的6個(gè)應(yīng)力分量，只剩：進(jìn)一步，由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有故得名平面應(yīng)力問題2、平面應(yīng)力問題物理方程物理方程簡化為：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：

用矩陣方程表示：它仍然可以簡寫為：彈性矩陣[D]則簡化為：

只有三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程簡化為：3、平面應(yīng)力問題幾何方程4、平面應(yīng)力問題平衡方程3.4.2平面應(yīng)變問題幾何特征：無限長等截面柱形體外力特征：面力和體力均平行于橫截面且不沿長度變化的應(yīng)變特征：應(yīng)變僅是x，y的函數(shù)；由于對稱性，w＝0

當(dāng)物體在z軸方向的尺寸很長，只作用有平行于橫截面且不沿長度方向變化的載荷，可認(rèn)為，沿z軸方向的位移分量等于零，這種問題稱為平面應(yīng)變問題。2、平面應(yīng)變問題物理方程將式用矩陣方程表示：它仍然可以簡寫為：彈性矩陣[D]則為：

3、工程中的平面應(yīng)變問題

工程中如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等，但它們的沿Z向長度都不是無限長的。故在靠近兩端的部分，其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜，并不符合平面應(yīng)變問題的條件；因此將這類問題當(dāng)作平面應(yīng)變問題來考慮時(shí)，對于離開兩端有一定距離的地方，得出的結(jié)果還是相當(dāng)滿意的。 3.4.3平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題比較基本變量平衡方程邊界條件幾何方程物理方程呢？對于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣，應(yīng)該采用，而對于平面應(yīng)變則采用，還可注意，在平面應(yīng)力彈性矩陣中，若將E改換為，將改換為，就得出平面應(yīng)變彈性矩陣。習(xí)題和思考題3.1彈性力學(xué)的基本假設(shè)是什么？3.2彈性力學(xué)和材料力學(xué)相比，其研究方法和對象有何不同？3.3寫出彈性力學(xué)中平面問題的幾何方程、物理