線性規(guī)劃的教學(xué)模式探討

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籌劃、運(yùn)輸問題、人事管理、庫存管理、市場營銷、財(cái)務(wù)和會計(jì)等方面。另外，還應(yīng)用于設(shè)備修理、更新和穩(wěn)當(dāng)性分析，工程的選擇與評價(jià)、工程優(yōu)化設(shè)計(jì)、環(huán)境養(yǎng)護(hù)等問題中。據(jù)統(tǒng)計(jì)，50%數(shù)學(xué)建模問題與運(yùn)籌學(xué)內(nèi)容相關(guān)，可以用運(yùn)籌學(xué)的方法解決。另外，為各大高校數(shù)次爭得榮譽(yù)的建模隊(duì)伍，長期以來一向采納運(yùn)籌學(xué)相關(guān)學(xué)識的培訓(xùn)。

運(yùn)籌學(xué)中最主要的分支是線性規(guī)劃。線性規(guī)劃模型是前蘇聯(lián)出名經(jīng)濟(jì)學(xué)家康托羅維奇于1939年提出的，這一重大察覺使他獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。1947年G.B.Dantzig提出求解線性規(guī)劃的單純形法。針對退化問題，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]給出了攝動法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法那么，這些方法都能制止循環(huán)發(fā)生。線性規(guī)劃理論上已趨于成熟，應(yīng)用也越來越廣泛。事實(shí)上，運(yùn)籌學(xué)中大量問題都可以或需要用線性規(guī)劃模型來描述或近似地描述，如運(yùn)輸問題——求解運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法本質(zhì)上就是單純形法，并且這種方法充分表示了單純形法的魅力。求最短路、最小費(fèi)用最大流的問題都可以用線性規(guī)劃模型來解決。求解指派問題的匈牙利法本質(zhì)上也是單純形法[5]。矩陣對策問題結(jié)果轉(zhuǎn)化成求解線性規(guī)劃。學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)的先修課程主要有線性代數(shù)、微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。事實(shí)上，運(yùn)籌學(xué)不僅應(yīng)用了這些學(xué)科，也從理論上進(jìn)一步進(jìn)展了這些學(xué)科。

單純形法是建立在一系列理論根基之上的。首先，假設(shè)線性規(guī)劃的可行域非空，那么它是一個(gè)凸集，這個(gè)結(jié)論很輕易證明。線性規(guī)劃的可行域的頂點(diǎn)與基可行解之間是一一對應(yīng)的，所以其頂點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，這個(gè)結(jié)論與單純形法的關(guān)系不大，其證明可以省略。其次，線性規(guī)劃若有可行解，那么確定有基可行解，這個(gè)結(jié)論是很重要的，為了更好地理解它的證明，我們先看下面的例子。

進(jìn)一步講，若線性規(guī)劃有最優(yōu)解，其最優(yōu)解確定可以在其可行域的頂點(diǎn)上找到，也就是在其基可行解中找到，這樣就把一個(gè)從無限個(gè)可行解中找最優(yōu)轉(zhuǎn)化成在有限個(gè)可行解中找最優(yōu)。這是單純形法的理論根基。為了更好地理解這一重要結(jié)論的證明，我們看下一個(gè)例子。

X2的正分量的個(gè)數(shù)是2。由于P2，P4線性無關(guān)，所以X2是基可行解。這樣我們就找到了一個(gè)最優(yōu)解也是基可行解。一般地，若X2的正分量對應(yīng)的系數(shù)列與線性相關(guān)，持續(xù)上述過程，直到找到基可行解為止。

從基可行解中找最優(yōu)解所用的方法是單純形迭代法。那么，如何判斷一個(gè)線性規(guī)劃是否有最優(yōu)解？如何判斷一個(gè)基可行解是否是最優(yōu)解？在一個(gè)基可行解不是最優(yōu)的處境下如何迭代到下一個(gè)與其相鄰的更好的基可行解？為回復(fù)這些問題，我們舉例說明。

先講特例再引入最優(yōu)性判別定理、基可行解的提升定理以及單純形法的迭代步驟，學(xué)生就輕易理解。即使針對有些專業(yè)的學(xué)生講解這些定理的證明，也輕易采納。

總之，現(xiàn)代社會信息量大，大學(xué)生需要學(xué)習(xí)的課程好多，用于預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)的時(shí)間就很少，這樣上課時(shí)間就尤為貴重，教師理應(yīng)如何講，才能使學(xué)生當(dāng)堂聽明白所授內(nèi)容，這是一個(gè)務(wù)必斟酌的問題。其實(shí)，運(yùn)籌學(xué)這門學(xué)科更側(cè)重的是應(yīng)用，數(shù)學(xué)理論并不難，之所以有人覺得難學(xué)，是由于沒有把握一種好的學(xué)習(xí)方法。本文針對單純形法給出了一種循序漸進(jìn)的教學(xué)模式，實(shí)踐證明這種模式能使學(xué)生更輕易的理解課堂內(nèi)容，有利于激發(fā)學(xué)生的自信仰