期權(quán)定價(jià)中的蒙特卡洛模擬辦法

{定價(jià)策略}期權(quán)定價(jià)中的蒙特卡洛模擬辦法期權(quán)定價(jià)中的蒙特卡洛模擬方法期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價(jià)一直是金融工程的重要研究領(lǐng)域，主要使用的定價(jià)方法有偏微分方感謝閱讀程法鞅方法和數(shù)值感謝閱讀有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其實(shí)質(zhì)是通過模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑預(yù)測期權(quán)的平均回報(bào)并得到期謝謝閱讀權(quán)價(jià)格估計(jì)值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢是誤差收斂率不依精品文檔放心下載賴于問題的維數(shù)，從而非常適宜為高維期權(quán)定價(jià)?！?.預(yù)備知識◆兩個(gè)重要的定理：柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)強(qiáng)大數(shù)感謝閱讀定律和萊維一林德貝格(Levy-Lindeberg)中心極限定理。精品文檔放心下載大數(shù)定律是概率論中用以說明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨機(jī)變謝謝閱讀量序列同分布的Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律：設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若則有顯然，若是由同一總體中得到的抽樣，那么由此大數(shù)定律可知樣本均值當(dāng)n很大時(shí)以概率1收斂于總體均值。謝謝閱讀中心極限定理是研究隨機(jī)變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的，并由此應(yīng)用正態(tài)分布的良好性質(zhì)解決實(shí)際問感謝閱讀題。設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若則有其等價(jià)形式為。◆Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型模型的假設(shè)條件：1、標(biāo)的證券的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)其中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是時(shí)間的函數(shù)，為標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率，為標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率，是維納過程。2、證券允許賣空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。3、不考慮交易費(fèi)用或稅收等交易成本。4、在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。5、市場上不存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會。6、無風(fēng)險(xiǎn)利率為一個(gè)固定的常數(shù)。下面，通過構(gòu)造標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)的資產(chǎn)組合并根據(jù)無套利定價(jià)原理建立期權(quán)定價(jià)模型。首先，為了得到期權(quán)的微分感謝閱讀形式，先介紹隨機(jī)微積分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：設(shè)，是二元可微函數(shù)，若隨機(jī)過程滿足精品文檔放心下載如下的隨機(jī)微分方程則有根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律服從假設(shè)條件中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，期權(quán)的價(jià)值的微分形式為現(xiàn)在構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，即有，經(jīng)整理后得到這個(gè)表達(dá)式就是表示期權(quán)價(jià)格變化的Black-Scholes偏謝謝閱讀微分方程。它同時(shí)適合歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)、美式謝謝閱讀看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)，只是它們的終值條件和邊界條件精品文檔放心下載不同，其價(jià)值也不相同。歐式看漲期權(quán)的終邊值條件分別為，通過求解帶有終邊值條件的偏微分方程，得出歐式看漲期權(quán)感謝閱讀的的解析解：歐式看跌期權(quán)的終邊值條件分別為，此外，美式看漲期權(quán)的終值條件為，美式看跌期權(quán)的終值條件為。然而，美式期權(quán)的價(jià)值沒有解析解，我們一般可精品文檔放心下載通過數(shù)值方法（蒙特卡洛模擬、有限差分法等）求得其近似謝謝閱讀解?！麸L(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)模型如果期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)即標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率取為無風(fēng)險(xiǎn)利率。同理，根據(jù)感謝閱讀伊藤公式可以得到根據(jù)上述公式，得到標(biāo)的資產(chǎn)的密度函數(shù)如下在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下，歐式看漲期權(quán)定價(jià)為：接下來，求解以上風(fēng)險(xiǎn)中性期望。首先，對上式的右邊第一個(gè)廣義積分分別作變量替換和，可以得到再對等式的右邊的第二個(gè)無窮積分，令，可求得將以上的計(jì)算結(jié)果代入期望等式中，得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式為：可以看出，對于歐式看漲期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法的結(jié)果與基于資產(chǎn)復(fù)制的偏微分方程定價(jià)方法的結(jié)果是一致的。感謝閱讀基于風(fēng)險(xiǎn)中性的期權(quán)定價(jià)原理在于：任何資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)中性概精品文檔放心下載率測度下，對于持有者來說都是風(fēng)險(xiǎn)偏好中性的，便可用風(fēng)精品文檔放心下載險(xiǎn)中性概率求取期權(quán)的期望回報(bào)再將其進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)便是謝謝閱讀初始時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值。蒙特卡洛模擬方法就是一種基于風(fēng)險(xiǎn)精品文檔放心下載中性原理的期權(quán)數(shù)值定價(jià)方法。§2.蒙特卡洛模擬方法及其效率假設(shè)所求量是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，那么近似確定的蒙特卡洛方法是對進(jìn)行n次重復(fù)抽樣，產(chǎn)生獨(dú)立同分布的隨機(jī)謝謝閱讀變量序列，并計(jì)算樣本均值。那么根據(jù)Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律有。因此，當(dāng)n充分大時(shí)，可用作為所求量的估計(jì)值。對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)，有這表明，置信水平對應(yīng)的漸近置信區(qū)間是其誤差為，誤差收斂速度是。不難看出，蒙特卡洛方法的誤差是由和決定的。在對同一個(gè)進(jìn)行抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固謝謝閱讀定，將n增大100n將減小10倍。若兩個(gè)隨機(jī)感謝閱讀感謝閱讀估計(jì)值。比較其誤差，設(shè)獲得的一個(gè)抽樣所需的機(jī)時(shí)為，那謝謝閱讀么在時(shí)間T內(nèi)生成的抽樣數(shù)，若使，則需使。因而，若要提謝謝閱讀高蒙特卡羅方法的效率，不能單純考慮增加模擬的次數(shù)n或謝謝閱讀是減小方差，應(yīng)當(dāng)在減小方差的同時(shí)兼顧抽取一個(gè)樣本所耗謝謝閱讀費(fèi)的機(jī)時(shí)，使方差與機(jī)時(shí)t的乘積盡量的小。§3.蒙特卡洛模擬方法為期權(quán)定價(jià)的實(shí)現(xiàn)步驟期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛方法的理論依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下，期權(quán)價(jià)格能夠表示為其到期回報(bào)的感謝閱讀貼現(xiàn)的期望值，即，其中的表示風(fēng)險(xiǎn)中性期望，r為無風(fēng)險(xiǎn)精品文檔放心下載利率，T為期權(quán)的到期執(zhí)行時(shí)刻，是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑感謝閱讀的預(yù)期收益。由此可知，計(jì)算期權(quán)價(jià)格即就是計(jì)算一個(gè)期望值，蒙特卡洛方法便是用于估計(jì)期望值，因此可以得到期權(quán)定價(jià)的蒙感謝閱讀特卡洛方法。一般地，期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛模擬方法包含以感謝閱讀下幾步（以歐式看漲期權(quán)為例）:(l)在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下模擬標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格路徑將時(shí)間區(qū)間分成n個(gè)子區(qū)間，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的離散感謝閱讀形式是，(2)謝謝閱讀率求得回報(bào)的貼現(xiàn)(3)重復(fù)前兩步，得到大量期權(quán)回報(bào)貼現(xiàn)值的抽樣樣本(4)求樣本均值，得到期權(quán)價(jià)格的蒙特卡洛模擬值另外，我們還可以得到蒙特卡洛模擬值與真值的概率化誤差邊界，這也是蒙特卡洛方法為期權(quán)定價(jià)的優(yōu)勢之一。由于，m條路徑的收益均值為，m95%精品文檔放心下載的置信區(qū)間為。例1：假設(shè)無紅利的股票A，初始價(jià)格為￥6，價(jià)格過程感謝閱讀服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，年預(yù)期收益率為10%，收益率的波動(dòng)率感謝閱讀為每年25%0.011年為100謝謝閱讀100，用蒙特卡洛方法模擬資產(chǎn)的價(jià)格路徑如精品文檔放心下載下：（1）（2）圖（1）蒙特卡洛方法模擬股票A價(jià)格路徑，圖（2）蒙謝謝閱讀特卡洛方法模擬股票B價(jià)格路徑。若無紅利的股票BCD6B的期感謝閱讀望收益率為0.1，波動(dòng)率為0.6；股票C的期望收益率為謝謝閱讀0.50.25D的期望收益率為0.5精品文檔放心下載0.6謝謝閱讀徑如下：（3）（4）圖（3）蒙特卡洛方法模擬股票C價(jià)格路徑，圖（4）蒙感謝閱讀特卡洛方法模擬股票D價(jià)格路徑。C和股票D的價(jià)格上升速度較快，謝謝閱讀而股票B和股票D的價(jià)格波動(dòng)比較大。這是與股票C和股票感謝閱讀D價(jià)格的期望收益率較高，股票B和股票D價(jià)格的波動(dòng)率較精品文檔放心下載高相對應(yīng)的。歐式看漲期權(quán)，通過Black-Scholes公式計(jì)算得的精確精品文檔放心下載值為，蒙特卡洛模擬的價(jià)格為，其蒙特卡洛模擬圖如下：（5）上述同樣的條件，路徑由100逐漸增加到條，對應(yīng)地分感謝閱讀別得到的期權(quán)價(jià)值的模擬值和置信區(qū)間，結(jié)果如下表所示：謝謝閱讀各種路徑下蒙特卡洛方法模擬的95%置信區(qū)間N模擬值置信區(qū)間1004.3146[4.0112,4.6180]精品文檔放心下載5004.2262[4.0962,4.3563]感謝閱讀10004.2213[4.1287,4.3139]精品文檔放心下載20004.1633[4.0984,4.2281]精品文檔放心下載50004.1695[4.1280,4.2111]精品文檔放心下載100004.1787[4.1490,4.2083]謝謝閱讀500004.1960[4.1826,4.2094]謝謝閱讀1000004.1886[4.1791,4.1980]精品文檔放心下載4.1914[4.1884,4.1944]§4.蒙特卡洛模擬方法為我國權(quán)證定價(jià)權(quán)證是一種合同，權(quán)證投資者在約定時(shí)間內(nèi)有權(quán)按約定價(jià)格向發(fā)行人購入或者出售合同規(guī)定的標(biāo)的證券。權(quán)證發(fā)行精品文檔放心下載人可以是標(biāo)的證券的發(fā)行人或其之外的第三方。權(quán)證主要具謝謝閱讀有價(jià)格發(fā)現(xiàn)和風(fēng)險(xiǎn)管理的功能，它是一種有效的風(fēng)險(xiǎn)管理和感謝閱讀資源配置工具?，F(xiàn)選取我國認(rèn)股權(quán)證中的五糧YGC1、馬鋼CWB1、伊利精品文檔放心下載CWB1為例，以2006年的價(jià)格作為樣本區(qū)間模擬認(rèn)股權(quán)證的感謝閱讀wind數(shù)據(jù)庫給精品文檔放心下載出的理論值進(jìn)行比較。本例采用一年期短期利率2.52%作為謝謝閱讀謝謝閱讀現(xiàn)實(shí)中用等時(shí)間間隔觀測股票價(jià)格序列，股票投資的連精品文檔放心下載動(dòng)率，則年度波動(dòng)率按下式計(jì)算：年度波動(dòng)率＝日波動(dòng)率*（每年的交易日數(shù)）1/2將時(shí)間區(qū)間取為2006年12月1日－2006年12月29感謝閱讀日，則由蒙特卡洛方法模擬的認(rèn)股權(quán)證價(jià)格與精品文檔放心下載Black-Scholes模型的精確值和市場價(jià)格比較的結(jié)果如下：精品文檔放心下載蒙特卡洛方法對五糧YGC1認(rèn)股權(quán)證的模擬（）蒙特卡洛蒙特卡洛日期實(shí)際值理論值日期實(shí)際值理論值模擬值模擬值12-110.16410.0669.82112-1812.10013.52413.351精品文檔放心下載12-410.12010.35710.12112-1912.08013.57413.401精品文檔放心下載12-59.88010.63010.40112-2012.21013.77113.601感謝閱讀12-69.39510.38610.15112-2111.90013.37613.201精品文檔放心下載12-79.1479.9989.75112-2211.42012.68712.501謝謝閱讀12-89.0509.7859.53112-2512.03813.74213.571謝謝閱讀12-19.2258.95113.40613.231感謝閱讀9.85012-2611.978112-110.60010.37114.36414.201感謝閱讀9.82512-2713.001212-110.26010.02114.61214.451感謝閱讀9.76612-2813.050312-111.33211.12116.19816.051謝謝閱讀10.58912-2914.500412-112.02811.831－－10.849－－5蒙特卡洛方法對馬鋼CWB1認(rèn)股權(quán)證的模擬（）蒙特卡洛蒙特卡洛日期實(shí)際值理論值日期實(shí)際值理論值模擬值模擬值12-11.1431.2440.56912-181.7751.7091.052感謝閱讀12-41.2091.1880.51712-191.8031.7091.052謝謝閱讀12-51.2411.2230.54912-201.7301.7561.103謝謝閱讀12-61.3491.2230.54912-211.6411.7091.052感謝閱讀12-71.6331.4160.74312-221.7001.5420.778精品文檔放心下載12-81.7501.6180.95212-251.7071.4530.848感謝閱讀12-111.9191.4160.74312-261.8351.5201.052謝謝閱讀12-121.8741.6180.95212-271.7761.7091.052精品文檔放心下載12-131.7941.7481.09412-281.6441.8111.163感謝閱讀12-141.7941.6330.96912-291.7081.7481.094感謝閱讀12-151.8301.6330.969－－－－感謝閱讀蒙特卡洛方法對伊利CWB1認(rèn)股權(quán)證的模擬（）蒙特卡洛蒙特卡洛日期實(shí)際值理論值日期實(shí)際值理論值模擬值模擬值12-113.32413.53312.62912-1814.76014.81813.988謝謝閱讀12-413.25013.94713.06912-1915.47915.54114.748謝謝閱讀12-513.29613.95713.07912-2015.48716.63015.888謝謝閱讀12-612.91113.95713.07912-2115.59416.44915.698感謝閱讀12-712.85313.28812.36912-2215.16816.57315.828精品文檔放心下載12-812.73412.76311.80912-2516.61615.81715.038精品文檔放心下載12-1112.92012.57611.60912-2616.61917.75417.058精品文檔放心下載12-1214.05912.94111.99912-2717.67317.87917.188精品文檔放心下載12-1313.52814.10813.23912-2817.67319.72619.098感謝閱讀12-1414.28113.81512.92912-2917.67319.72619.098謝謝閱讀12-1514.34914.61913.778－－－－精品文檔放心下載從表可看出，由蒙特卡洛方法模擬的認(rèn)購權(quán)證價(jià)格的模擬值比由Black-Scholes公式計(jì)算的理論值更接近實(shí)際值。感謝閱讀為了更直觀的比較，由蒙特卡洛方法模擬的認(rèn)股權(quán)證價(jià)格與謝謝閱讀Black-Scholes模型的精確值和市場價(jià)格比較的結(jié)果如下圖。精品文檔放心下載其中SJ代表實(shí)際值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模擬值，BS精品文檔放心下載代表由Black-Scholes公式計(jì)算出的理論值。感謝閱讀五糧YGC1價(jià)格模擬比較圖馬鋼CWB1價(jià)格模擬比較圖伊利CWB1價(jià)格模擬比較圖YGC1和伊利CWB1的模擬結(jié)果比較好，謝謝閱讀蒙特卡洛模擬值和Black-Scholes模型的理論值均與實(shí)際值謝謝閱讀CWB1的實(shí)證結(jié)果不理想，但是三種結(jié)果的走勢謝謝閱讀圖有共同的趨勢。從比較分析中發(fā)現(xiàn)蒙特卡洛方法模擬的價(jià)謝謝閱讀格比Black-Scholes模型更接近實(shí)際價(jià)格。對于這些認(rèn)股權(quán)謝謝閱讀證價(jià)格的模擬結(jié)果的好壞，受諸多因素影響，主要與選取的感謝閱讀波動(dòng)率和中國權(quán)證市場的發(fā)展特點(diǎn)有關(guān)等等?！綦[含波動(dòng)率及其數(shù)值計(jì)算方法隱含波動(dòng)率是一個(gè)在市場上無法觀察到的波動(dòng)率，是通過Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出來的波動(dòng)率。由于我謝謝閱讀們無法給出它的解析解，因此，只能借助于數(shù)值計(jì)算給出近感謝閱讀似解。下面介紹牛頓迭代法計(jì)算隱含波動(dòng)率。牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域上近精品文檔放心下載似求解方程根的方法。步驟1.將函數(shù)在點(diǎn)附近展開成泰勒級數(shù)步驟2.取泰勒級數(shù)的前兩項(xiàng)作為假設(shè)，求解方程，并令其解為，得，這樣得到迭代公式，經(jīng)感謝閱讀過n次迭代后，可以求出的近似解。根據(jù)牛頓迭代法，隱含波動(dòng)率的計(jì)算步驟如下：1.假設(shè)其他變量保持不變，認(rèn)為函數(shù)是隱含波動(dòng)率的一元函數(shù)，其中的是市場上觀察到的期權(quán)價(jià)感謝閱讀格。2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.由迭代公式計(jì)算波動(dòng)率，直至此外，為了計(jì)算隱含波動(dòng)率，經(jīng)濟(jì)學(xué)家和理財(cái)專家曾做Brenner和感謝閱讀Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分別提出計(jì)算隱精品文檔放心下載含波動(dòng)率的公式，雖然這些公式對于持有平價(jià)期權(quán)的波動(dòng)率感謝閱讀的計(jì)算還算準(zhǔn)確，但是基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格一旦偏離期權(quán)的執(zhí)行精品文檔放心下載1996年，Corrado和Miller謝謝閱讀在前人研究的基礎(chǔ)上建立了如下公式，大大提高了隱含波動(dòng)謝謝閱讀率的計(jì)算的準(zhǔn)確性：§5最小二乘蒙特卡洛模擬與美式期權(quán)定價(jià)運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛模擬方法為美式期權(quán)定價(jià)的基本原理與蒙特卡洛模擬方法基本相同，并且用最小二乘回歸同感謝閱讀時(shí)還可解決各樣本時(shí)點(diǎn)上繼續(xù)持有期權(quán)價(jià)值的確定和各樣本感謝閱讀謝謝閱讀將其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程離散化，隨機(jī)模擬出標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的謝謝閱讀多條樣本路徑，從而得到每個(gè)時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格的截面數(shù)據(jù)。選精品文檔放心下載取以某時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格為變量的一組基函數(shù)作為解釋變量，下精品文檔放心下載一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的貼現(xiàn)值作為被解釋變量，進(jìn)行最小二乘法精品文檔放心下載回歸求得該時(shí)刻期權(quán)的持有價(jià)值，并與該時(shí)刻期權(quán)的內(nèi)在價(jià)精品文檔放心下載值作比較，若后者較大，則應(yīng)該立即執(zhí)行期權(quán)，否則，就應(yīng)感謝閱讀繼續(xù)持有期權(quán)。隨機(jī)生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多條樣本路徑；然后，從到期時(shí)刻感謝閱讀逆向求解，比較期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值與持有價(jià)值，確定出各時(shí)刻謝謝閱讀期權(quán)價(jià)值和每條樣本路徑的最優(yōu)停時(shí)；最后，將所有樣本的感謝閱讀的期權(quán)價(jià)值求取按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的算數(shù)平均值便是模擬的謝謝閱讀期權(quán)價(jià)值。下面，我們運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛模擬方法對單個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，其算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：第一步：隨機(jī)生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的多條樣本路徑現(xiàn)設(shè)一單個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的持有到期日為，期精品文檔放心下載風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，該期權(quán)的初始時(shí)刻價(jià)值為：其中，為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑，是在最優(yōu)執(zhí)行時(shí)刻的期權(quán)價(jià)感謝閱讀值。上式定義的便是將要運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛方法進(jìn)行模謝謝閱讀擬的期權(quán)價(jià)值。將期權(quán)的存續(xù)區(qū)間均分為個(gè)子區(qū)間，則每個(gè)子區(qū)間的長度為，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的離散形式：謝謝閱讀模擬得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的一條樣本路徑，重復(fù)執(zhí)行次模擬，謝謝閱讀我們可得到資產(chǎn)價(jià)格的總樣本。第二步：計(jì)算各個(gè)樣本的最優(yōu)停時(shí)及各時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值對于美式看跌期權(quán)，在期權(quán)的有效時(shí)刻，樣本路徑上的內(nèi)在價(jià)值為，持有價(jià)值為。由于美式期權(quán)在有效期的任何時(shí)謝謝閱讀候都可行權(quán)，所以必須比較該時(shí)刻期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值與持有價(jià)精品文檔放心下載值的大小，以確定該時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值以及是否執(zhí)行期權(quán)，即精品文檔放心下載由期權(quán)的持有價(jià)值表達(dá)式可知它依賴于下一步期權(quán)決策的價(jià)謝謝閱讀值，需通過逆向求解這個(gè)期望價(jià)值，這正是普通的蒙特卡洛感謝閱讀模擬法為美式期權(quán)定價(jià)的難點(diǎn)所在。最小二乘蒙特卡洛模擬方法通過建立一個(gè)當(dāng)前時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與下一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值貼現(xiàn)值的線性回歸計(jì)量模型：感謝閱讀上述模型以所有樣本路徑在時(shí)刻的價(jià)格和作為解釋變量，對謝謝閱讀應(yīng)的下一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的現(xiàn)值作為被解釋變量。采用普通最謝謝閱讀感謝閱讀再將各個(gè)資產(chǎn)價(jià)格樣本代入到回歸方程分別可以得到其期權(quán)精品文檔放心下載的持有價(jià)值估計(jì)值，根據(jù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論，這個(gè)估計(jì)值就是在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下的期權(quán)持有價(jià)值的無偏估計(jì)值。另外，本例中選取基函謝謝閱讀數(shù)作為解釋變量，根據(jù)實(shí)際情況中也可以選取其他形式的基謝謝閱讀函數(shù)：。作為解釋變量。現(xiàn)在，我們從到期日開始倒推計(jì)算求解每條樣本路徑上的最優(yōu)停時(shí)和每個(gè)樣本點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。在到期日，執(zhí)行看跌謝謝閱讀期權(quán)的價(jià)值為。接著，判斷在時(shí)刻是否行權(quán)。若期權(quán)處于實(shí)精品文檔放心下載值狀態(tài)，即，則與繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值相比較，若內(nèi)在價(jià)值精品文檔放心下載大于持有價(jià)值，則應(yīng)立即執(zhí)行期權(quán)；否則，繼續(xù)持有期權(quán)。感謝閱讀考慮在該時(shí)刻期權(quán)處于實(shí)值的樣本子集，近似期權(quán)持有價(jià)值精品文檔放心下載的回歸方程為：精品文檔放心下載在時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格信息下，比較內(nèi)在價(jià)值與繼續(xù)持有期權(quán)的感謝閱讀價(jià)值就可做出是否執(zhí)行期權(quán)的決策。同理，我們可倒推繼續(xù)謝謝閱讀求得時(shí)刻的期權(quán)持有價(jià)值。對于每條樣本路徑，期權(quán)或是在感謝閱讀最優(yōu)停時(shí)執(zhí)行，或是永不執(zhí)行。具體設(shè)計(jì)程序時(shí)，令初值，謝謝閱讀在時(shí)刻，如果繼續(xù)持有期權(quán)，則不變；如果執(zhí)行期權(quán)，則，精品文檔放心下載依此類推。每個(gè)樣本上就只有一個(gè)最優(yōu)停時(shí)，每次更新，最精品文檔放心下載后便求得每條樣本路徑上的最優(yōu)停時(shí)。第三步：對各條樣本路徑上的期權(quán)價(jià)值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)并求其均值經(jīng)過次模擬后，得到條標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的樣本路徑，以及每條樣本路徑上的最優(yōu)停時(shí)和在該時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值：由于每條樣本路徑上的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間不同，期權(quán)價(jià)值的貼現(xiàn)感謝閱讀因子也不同，所以應(yīng)分別進(jìn)行貼現(xiàn)求均值，最終得到初始時(shí)感謝閱讀刻期權(quán)價(jià)值的最小二乘蒙特卡洛模擬值：例35050到精品文檔放心下載期日為5個(gè)月，股票年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，無風(fēng)險(xiǎn)利率精品文檔放心下載為10%，用最小二乘蒙特卡洛模擬其價(jià)格。編制最小二乘蒙特卡洛模擬的MATLAB程序如下：感謝閱讀functionprice=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M)精品文檔放心下載dt=T/N;R=exp((r-sigma^2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M)感謝閱讀);S=cumprod([S0*ones(1,M);R]);謝謝閱讀ExTime=N*ones(M,1);CF=zeros(size(S));CF(end,:)=max(K-S(end,:),0);感謝閱讀forii=N:-1:2Idx=find(S(ii,:)<K);X=S(ii,Idx)';X1=X/S0;Y=CF(ii+1,Idx)'*exp(-r*dt);感謝閱讀R=[ones(size(X1))(1-X1)1/2*(2-4*X1+X1.^2)];精品文檔放心下載a=R\Y;C=R*a;Jdx=max(K-X,0)>C;nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx));謝謝閱讀CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0);謝謝閱讀ExTime(Idx(Jdx))=ii;CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);精品文檔放心下載endPrice=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)謝謝閱讀%%%%%繪制標(biāo)的股票價(jià)格模擬圖%%%%%x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S');精品文檔放心下載subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel('期權(quán)存續(xù)期間')ylabel('股價(jià)的模擬路徑')%%%%%繪制期權(quán)價(jià)值模擬圖%%%%%figure;x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)';fori=1:My4(i)=y3(i,ExTime(i));endplot(x2,y3,ExTime,y4,'*')xlabel('期權(quán)的最優(yōu)停止時(shí)間')ylabel('期權(quán)價(jià)值的模擬路徑')模擬的美式看跌期權(quán)的價(jià)格路徑如下圖所示：模擬的期權(quán)價(jià)值路徑及其最優(yōu)停時(shí)如下圖：本例中的美式看跌期權(quán)價(jià)格為：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,10000謝謝閱讀0)Price=4.2654§6改進(jìn)蒙特卡洛方法計(jì)算效率的常用幾種方差減少技術(shù)方差減少技術(shù)的共性是利用模型特點(diǎn)，調(diào)整或修正模擬的輸出變量，從而降低估計(jì)值的方差。在采用方差減少技術(shù)感謝閱讀時(shí)，要具體問題具體分析，針對不同期權(quán)類型的特點(diǎn)應(yīng)用相精品文檔放心下載關(guān)的方差減少技術(shù)，從而取得效率的最大改進(jìn)。◆對偶變量(Antitheticvariates)技術(shù)謝謝閱讀對偶變量技術(shù)是最簡單和最常用的方差減少技術(shù)。以標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)為例，其標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡洛估計(jì)值為標(biāo)的股票的股價(jià)終值抽樣為由概率論的知識可知也是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中相互獨(dú)立的抽樣值，那么用代替得到的也是股票價(jià)格終值的抽樣，從而由謝謝閱讀的平均值也能得到期權(quán)價(jià)格的無偏估計(jì)量。因此，由對偶變感謝閱讀量技術(shù)得到的期權(quán)價(jià)格蒙特卡洛估計(jì)值為。對偶變量技術(shù)的有效性：由于，所以；并且，令，對于標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)，是單調(diào)遞增函數(shù)。由謝謝閱讀不等式，可知，從而，對偶變量技術(shù)有效。顯然，標(biāo)準(zhǔn)歐式看跌期權(quán)和亞式期權(quán)對應(yīng)的必也是單調(diào)函數(shù)，所以對偶變量技術(shù)對這兩種期權(quán)也適用，而障礙期權(quán)感謝閱讀和回望期權(quán)則反之。對偶變量技術(shù)置信區(qū)間的估計(jì)：由于并不獨(dú)立，而才是n個(gè)而非2n個(gè)來計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差。精品文檔放心下載以上對偶變量技術(shù)采用的輸入變量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，感謝閱讀實(shí)際上使用更廣泛的輸入變量是隨機(jī)數(shù)。顯然，與具有相同精品文檔放心下載分布且兩者負(fù)相關(guān)，從而只要輸入變量與輸出變量存在單調(diào)感謝閱讀感謝閱讀對偶變量技術(shù)有效?！艨刂谱兞?Controlvariates)技術(shù)一元控制變量：若是期權(quán)到期回報(bào)貼現(xiàn)的n次獨(dú)立模擬謝謝閱讀值，那么期權(quán)價(jià)格的蒙特卡羅估計(jì)值是。假設(shè)得到的同時(shí)能精品文檔放心下載b精品文檔放心下載有期權(quán)價(jià)格的控制變量估計(jì)值即為所謂的“控制”是指。由下式可知控制變量估計(jì)值是無偏估計(jì)量。若令，則有對上式關(guān)于b求導(dǎo)數(shù)，解得能夠使最小化的b值應(yīng)為。精品文檔放心下載由此可見，只要X與Y的相關(guān)性越強(qiáng)，那么控制變量估謝謝閱讀計(jì)的方差減少越顯著，所以控制變量技術(shù)的關(guān)鍵是選擇與Y感謝閱讀關(guān)系密切且期望值已知的控制變量。另外，由于計(jì)算的兩個(gè)精品文檔放心下載量和未知，故實(shí)踐中采用的是的估計(jì)值。多元控制變量：控制變量技術(shù)也可以推廣到多元情形，假設(shè)得到的同時(shí)能得到d維向量并且已知，獨(dú)立同分布，的感謝閱讀協(xié)方差矩陣為b感謝閱讀有。多元控制變量估計(jì)值為。精品文檔放心下載其中。下面介紹在一種特殊情形下的推導(dǎo)過程：若多元控制變量之間彼此獨(dú)立，即，則有由多元函數(shù)的極值理論，可解得使最小化的向量的第i個(gè)分量應(yīng)為將代入可得。由與的相關(guān)性，可知控制變量估計(jì)值將是有偏的，并且也將感謝閱讀是有偏的。n增大時(shí)，偏差的響將會變?。涣硪粋€(gè)方法是將模擬分為兩謝謝閱讀謝謝閱讀這樣得到的估計(jì)值將是無偏。不過，現(xiàn)實(shí)情形下，的偏差并精品文檔放心下載不大，從而采用復(fù)雜的分步運(yùn)算獲取無偏估的作法并不吸引精品文檔放心下載人?？刂谱兞康念愋停浩跈?quán)定價(jià)中常采用的三種控制變量有標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、定價(jià)已解決的期權(quán)以及為模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格謝謝閱讀所需的正態(tài)隨機(jī)變量。（1）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅模擬中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是來源最廣的一類控制變量。在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下，假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為精品文檔放心下載常數(shù)r，資產(chǎn)價(jià)格的貼現(xiàn)為鞅，即。而待定價(jià)的期權(quán)價(jià)格是謝謝閱讀標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的函數(shù)，兩者具有相關(guān)性，因此可以采用標(biāo)的精品文檔放心下載資產(chǎn)價(jià)格(或其貼現(xiàn))作為控制變量。感謝閱讀相應(yīng)的控制變量估計(jì)值為實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)K=0時(shí)，控制變量與Y的相關(guān)性最強(qiáng)，從感謝閱讀而方差減少效果顯著，而當(dāng)K很大時(shí)情況相反。N精品文檔放心下載么可將作為控制變量，由于相應(yīng)的控制變量估計(jì)值為（2）定價(jià)己解決的期權(quán)如果兩種期權(quán)的回報(bào)函數(shù)具有相似性，并且其中一種期權(quán)的定價(jià)公式已知，那么可將此期權(quán)作為控制變量為另一種精品文檔放心下載期權(quán)定價(jià)。最著名的例子是Kemna和Vorst使用幾何平均亞謝謝閱讀式期權(quán)作為控制變量為算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)，顯然這兩種謝謝閱讀期權(quán)的回報(bào)具有很強(qiáng)的相關(guān)性，從而方差減少效果顯著。再比如仍是對算術(shù)平均資產(chǎn)價(jià)亞式期權(quán)定價(jià)，由于與其具有相同到期日與敲定價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格可以謝謝閱讀由B-S公式得到，故可將作為控制變量。（3）正態(tài)隨機(jī)變量模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑要用到正態(tài)隨機(jī)變量，因此可考慮將正態(tài)隨機(jī)變量(或其線性組合)作為控制變量。比如為算術(shù)平均執(zhí)行價(jià)亞式期權(quán)定價(jià)精品文檔放心下載從而將作為多元控制變量可得相應(yīng)的控制變量估計(jì)值為?！艟仄ヅ?MomentMatching)技術(shù)為了模擬標(biāo)的資產(chǎn)樣本路徑需要從正態(tài)分布中抽樣，考慮最簡單的情形，標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲股票期權(quán)的蒙特卡洛估計(jì)值精品文檔放心下載需要m個(gè)獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的抽樣。由于的樣本矩不謝謝閱讀一定與總體矩匹配，故而矩匹配技術(shù)的思想就是對這些樣本感謝閱讀進(jìn)行調(diào)整，使其一階矩、二階矩乃至高階矩與總體矩匹配，謝謝閱讀再利用調(diào)整后的樣本得到蒙特卡洛估計(jì)值。生成的股票價(jià)格終值為，從而期權(quán)到期回報(bào)貼現(xiàn)的一次模擬謝謝閱讀值為，利用矩匹配技術(shù)得到的蒙特卡洛估計(jì)量為。和對偶變量技術(shù)一樣，應(yīng)用矩匹配技術(shù)會給置信區(qū)間的估計(jì)帶來變化，因?yàn)椴⒉华?dú)立，導(dǎo)致也不獨(dú)立，所以不能直謝謝閱讀接應(yīng)用中心極限定理估計(jì)誤差。一個(gè)解決方案是將抽樣分隔為不同批次，對每個(gè)批次分別應(yīng)用矩匹配技術(shù)得到彼此獨(dú)立的期權(quán)價(jià)格估計(jì)，再將批均感謝閱讀值作為蒙特卡羅估計(jì)值，由批方差得到誤差估計(jì)。例如可采精品文檔放心下載用10000個(gè)相互獨(dú)立的批次，每個(gè)批次對100個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分感謝閱讀布抽樣應(yīng)用矩匹配技術(shù)，即總共采用100萬個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布精品文檔放心下載抽樣。如果定義為樣本標(biāo)準(zhǔn)，通過如下的調(diào)整可達(dá)到前兩階矩匹配：。需注意由上式得到的不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故相應(yīng)的將是期權(quán)價(jià)格的有偏估計(jì)。這個(gè)偏差在極端情況下可能會很精品文檔放心下載大，由此致的復(fù)雜性使得矩匹配技術(shù)的效率改進(jìn)沒有一個(gè)通感謝閱讀用的量化標(biāo)準(zhǔn)。如果待匹配的抽樣其總體均值，總體方差，作如下變換可分別達(dá)到一階矩匹配和前兩階矩匹配：其中與的定義同上。仍以標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲股票期權(quán)為例，若股價(jià)服從風(fēng)險(xiǎn)中性的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則股價(jià)終值的均值與感謝閱讀方差已知，故可采用上式對運(yùn)用矩匹配技術(shù)?！舴謱映闃?StratifiedSampling)技術(shù)感謝閱讀分層抽樣技術(shù)使樣本的經(jīng)驗(yàn)概率與理論概率相一致，其本質(zhì)是為了使輸入變量分布得更為均勻，這一點(diǎn)與對偶變量感謝閱讀技術(shù)相同。考慮簡單情形下分層樣本的獲取。在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格時(shí)，需要標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中m個(gè)相互獨(dú)立的抽樣，感謝閱讀其經(jīng)驗(yàn)分布不會完全與總體分布相吻合，尤其是尾部表現(xiàn)可感謝閱讀能較差。通過下述分層抽樣方法可以對樣本的經(jīng)驗(yàn)分布加以精品文檔放心下載改進(jìn)。是在[0，1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，以的長度對區(qū)間進(jìn)行感謝閱讀nj層上，精品文檔放心下載從而落在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)與上分位數(shù)之間，故由可感謝閱讀得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)分層抽樣。需要注意的是的高度相關(guān)性使得標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)復(fù)雜化，感謝閱讀在高維情形下，采用拉丁超立方抽樣技術(shù)精品文檔放心下載(LatinHypercubeSampling)較為簡便。精品文檔放心下載假設(shè)是上均勻分布隨機(jī)向量序列，是d個(gè)獨(dú)立抽取的上謝謝閱讀的隨機(jī)排列。令其中是第k個(gè)排列的第j個(gè)元素。那么由得到的仍然是謝謝閱讀k個(gè)坐標(biāo)落入第k個(gè)[0l]感謝閱讀區(qū)間的m個(gè)不同分層內(nèi)，從而也是一種分層抽樣樣本。同樣精品文檔放心下載地，由于不獨(dú)立，故而要改變誤差估計(jì)的方法?！糁匾猿闃?ImportanceSampling)技術(shù)精品文檔放心下載重要性抽樣技術(shù)的思想是用一種概率測度下的期望值代替另一種概率測度下的期望值，這種概率測度的轉(zhuǎn)換是通過謝謝閱讀似然比(Likelihood-Ratio)或Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)實(shí)現(xiàn)的。精品文檔放心下載金融工程中的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)即為此思想的一個(gè)應(yīng)用。在期權(quán)感謝閱讀定價(jià)中，這種方法被用來對小概率事件進(jìn)