（河北專版）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 專題拓展 8.5 圓的綜合問題（試卷部分）

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8.5圓的綜合問題中考數(shù)學(xué)

(河北專用)精選ppt一、與圓相關(guān)的翻折問題好題精練1.(2017邯鄲一模,25)如圖1,已知以AE為直徑的半圓圓心為O,半徑為5,矩形ABCD的頂點(diǎn)B在直

徑AE上,頂點(diǎn)C在半圓上,AB=8,點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn).(1)矩形ABCD的邊BC的長(zhǎng)為

;(2)將矩形沿直線AP折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處.①點(diǎn)B'到直線AE的最大距離是

;②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),如圖2所示,AB'交DC于點(diǎn)M,求證:四邊形AOCM是菱形,并通過證明判斷

CB'與半圓的位置關(guān)系;③當(dāng)EB'∥BD時(shí),直接寫出EB'的長(zhǎng).圖1圖2精選ppt解析(1)4.連接OC,∵OB=8-5=3,OC=5,∴BC=

=4.(2)①8.(提示:當(dāng)AB'⊥AE時(shí),點(diǎn)B'到直線AE的距離最大,最大距離是8.)②證明:由折疊可知∠OAC=∠MAC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠MAC,∴OC∥AM,又∵CM∥OA,∴四邊形AOCM是平行四邊形,又∵OA=OC,∴?AOCM是菱形.結(jié)論:CB'與半圓相切.證明:由折疊可知∠AB'C=∠ABC=90°.∵OC∥AM,∴∠AB'C+∠B'CO=180°,∴∠B'CO=90°,∴CB'⊥OC,∵OC為半圓的半徑,∴CB'與半圓相切.精選ppt③4

+2

或4

-2

.

提示:過點(diǎn)B'作B'G⊥AE.若EB'∥BD,則有∠ABD=∠AEB'.∵tan∠ABD=

=

=

,∴tan∠AEB'=

=

.設(shè)B'G=x,EG=2x,則AG=10-2x.在Rt△AB'G中,AB'2=AG2+B'G2,∴82=(10-2x)2+x2,解得x=4±

,∴EB'=

=

x=4

±2

.

精選ppt2.如圖,☉O的半徑為6,AB為弦,將☉O沿弦AB所在的直線折疊后,?上的點(diǎn)H與圓心O重合.(1)求弦AB的長(zhǎng)度;(2)點(diǎn)E是?上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作?的切線交☉O于C、D兩點(diǎn).①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí),判斷CD與AB的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),判斷CD與AB的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;③請(qǐng)直接寫出線段CD的長(zhǎng)度的范圍.

精選ppt解析(1)如圖,連接OH,交AB于M,連接BO,∵☉O的半徑為6,沿AB折疊,H和O重合,∴OM=HM=3,OH⊥AB,由勾股定理得BM=

=3

,由垂徑定理得AB=2BM=6

.(2)①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí),CD∥AB,理由如下:如圖1,連接HE,∵OH是半徑,CD切☉H于E,∴OH⊥CD,∵OH⊥AB,∴CD∥AB.精選ppt②如圖2,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),CD=AB=6

.理由如下:連接HD,∵CD切☉H于A,∴HA⊥CD,∴∠HAD=90°,∴HD為直徑,即HD=2×6=12,∵AH=6,∴在Rt△DAH中,AD=

=6

,即CD=AB=6

.③6

≤CD≤12.思路分析

(1)連接OH,交AB于M,連接BO,根據(jù)勾股定理求出BM,根據(jù)垂徑定理求出AB=2BM,

得出弦AB的長(zhǎng);(2)①連接EH,根據(jù)折疊得出AB⊥OH,根據(jù)切線的性質(zhì)定理得出OH⊥CD,可推

出CD與AB的位置關(guān)系;②先判斷HD為☉O的直徑,然后在Rt△DAH中求出AD的長(zhǎng),即可得出

CD=AB;③當(dāng)點(diǎn)C和A或B重合時(shí),CD=AB,當(dāng)和A、B不重合時(shí),根據(jù)直徑是最長(zhǎng)的弦,得CD=12,

從而可得出線段CD的長(zhǎng)度的范圍.精選ppt二、與圓相關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題1.(2018保定競(jìng)秀一模,25)已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以AB為直徑的半圓O在矩形ABCD的外

部(如圖1),將半圓O繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0≤α≤180).(1)半圓的直徑落在對(duì)角線AC上時(shí),如圖2所示,半圓與AB的交點(diǎn)為M,求AM的長(zhǎng);(2)半圓與直線CD相切時(shí),切點(diǎn)為N,與線段AD的交點(diǎn)為P,如圖3所示,求劣弧AP的長(zhǎng);(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,半圓弧與直線CD只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),設(shè)此交點(diǎn)與點(diǎn)C的距離為d,直接寫出d的

取值范圍.

精選ppt解析(1)如圖1,連接B'M,

圖1在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,∴AC=

=5,∵AB'為直徑,∴∠AMB'=90°.∵∠AMB'=∠ABC'=90°,∠B'AM=∠CAB,∴△ABC∽△AMB'.

=

,∴

=

,∴AM=

.(2)如圖2,連接NO并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接OP.精選ppt

圖2∵半圓弧與直線CD相切于點(diǎn)N,∴ON⊥CN,∴NQ=AD=3,ON=2,OQ=1.∴在Rt△OAQ中,sin∠OAQ=

=

,∴∠OAQ=30°,∴∠PAO=60°,又∵OA=OP,∴△APO為等邊三角形,∴∠AOP=60°,∴

的長(zhǎng)度=

=

.(3)4-

≤d<4或d=4+

.詳解:當(dāng)B'第一次落在CD上時(shí)(如圖3),精選ppt半圓弧開始與直線CD有交點(diǎn).此時(shí)AD=3,AB'=AB=4,∴DB'=

=

,∴CB'=d=4-

.從圖3開始半圓弧與直線CD有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)B'第二次落在直線CD上時(shí)(如圖4),半圓弧開始與直線CD有兩個(gè)交點(diǎn).此時(shí)半圓弧與直線CD的交點(diǎn)與點(diǎn)D重合并且出現(xiàn)第二個(gè)交點(diǎn),即d=4.當(dāng)半圓弧與直線CD相切時(shí)(如圖2),半圓弧與直線CD只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí),AQ=DN=

,CN=4+

.∴d的取值范圍是4-

≤d<4或d=4+

.思路分析

(1)利用圓周角定理和相似三角形的性質(zhì)引出含有AM的等式得解;(2)利用切線的

性質(zhì)先求得OQ的長(zhǎng),進(jìn)而得出∠OAQ和∠PAO的大小,最后利用弧長(zhǎng)公式求出?的長(zhǎng);(3)弄清半圓弧與直線CD的交點(diǎn)情況的界點(diǎn)即可得d的取值范圍.精選ppt2.(2017保定蓮池一模,25)在等邊△AOB中,將扇形COD按圖1擺放,使其半徑OC、OD分別與

OA、OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,等邊三角形AOB不動(dòng),讓扇形COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),線段

AC、BD也隨之變化,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤360°).(1)當(dāng)OC∥AB時(shí),旋轉(zhuǎn)角α=

;(2)發(fā)現(xiàn):線段AC與BD有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)根據(jù)圖2給出證明;(3)應(yīng)用:當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí),求BD的長(zhǎng);(4)拓展:P是線段AB上任意一點(diǎn),在扇形COD的旋轉(zhuǎn)過程中,請(qǐng)直接寫出PC的最大值與最小值.精選ppt解析(1)60°或240°.(2)AC=BD.證明:∵△AOB為等邊三角形,∴∠AOB=∠COD=60°,AO=OB,又∵∠AOC=60°-∠AOD,∠BOD=60°-∠AOD,∴∠AOC=∠BOD,在△AOC與△BOD中,

∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD.(3)當(dāng)A、D、C三點(diǎn)順次共線時(shí),如圖,連接CD,過點(diǎn)O作OE⊥CD,垂足為E,精選ppt易知△COD為等邊三角形,∵OC=OD=1,∴CE=DE=

,OE=

,在Rt△AOE中,AE=

=

=

,∴AC=AE+CE=

+

.∵AC=BD,∴BD=

+

.當(dāng)A、C、D三點(diǎn)順次共線時(shí),如圖,

由上述方法可知,此時(shí)BD=AC=

-

.(4)PC的最大值為3,最小值為

-1.提示:在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心,OC為半徑的圓上,當(dāng)點(diǎn)A、O、C順次共線,且點(diǎn)P與點(diǎn)

A重合時(shí),PC取最大值,為3;當(dāng)點(diǎn)P位于AB的中點(diǎn),且點(diǎn)O、C、P順次共線時(shí),PC取最小值,為

-1.)精選ppt3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8,半徑為

的☉M與射線BA相切,切點(diǎn)為N,且AN=3,將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°≤α≤180°)(1)當(dāng)α為

時(shí),AC和☉M相切;(2)當(dāng)AC落在AN上時(shí),設(shè)點(diǎn)B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D,E.①畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△ADE;(草圖即可)②Rt△ADE的直角邊DE被☉M截得的弦PQ的長(zhǎng)為

;③判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與☉M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3)設(shè)點(diǎn)M與AC的距離為x,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)邊AC與☉M有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直接寫出x的取值.精選ppt解析(1)60°,120°.旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí),AC'與☉M相切于G,連接MG,MN,∴∠AGM=90°,∵AN與☉M相切于N,∴∠ANM=90°,連接AM,∴∠GAN=2∠MAN,在Rt△AMN中,MN=

,AN=3,∴tan∠MAN=

=

,∴∠MAN=30°,∴∠GAN=60°,∵∠BAC=60°,∴α=∠CAC'=180°-60°-60°=60°;精選ppt當(dāng)AC與AN重合時(shí),AN與☉M也相切,所以α=120°.(2)①如圖,Rt△ADE就是要畫的圖形,②2

.連接MQ,過M點(diǎn)作MF⊥DE,垂足為F,在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=8,∴AC=

AB=4,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知AC=AE=4,NE=AE-AN=4-3=1,在Rt△MFQ中,FQ=

=

=

,故弦PQ的長(zhǎng)度為2

.③AD與☉M相切.證明:過點(diǎn)M作MH⊥AD于H,連接MN,MA,則MN⊥AE,且MN=

,由(1)知∠MAN=30°,∵∠DAE=∠BAC=60°,∴∠MAD=30°,∴∠MAN=∠MAD=30°,∴MH=MN,∴AD與☉M相切.(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8,∴AC=4,連接MN,在Rt△AMN中,MN=

,AN=3,∴AM=2

,精選ppt∴☉M上的點(diǎn)到點(diǎn)A的最大距離為2

+

=3

>4,∵邊AC與☉M有一個(gè)公共點(diǎn),∴AC和☉M相切或點(diǎn)C在☉M內(nèi),①AC與☉M相切時(shí),x是☉M的半徑,∴x=

,②當(dāng)點(diǎn)C剛好落在☉M上時(shí),如圖,連接C‘M,AM,過點(diǎn)M作MG⊥AC’,在Rt△C'MG中,GM2=C'M2-C'G2,∵AC'=AG+C'G=4,∴GM2=C'M2-(4-AG)2,在Rt△AMG中,GM2=AM2-AG2,∴C'M2-(4-AG)2=AM2-AG2,∴(

)2-(4-AG)2=(2

)2-AG2,∴AG=

,∴x=MG=

=

,∴0≤x<

或x=

.思路分析

(1)先利用切線的性質(zhì)得出∠GAN=2∠MAN,再利用三角函數(shù)求出∠MAN,進(jìn)而得

出α的值.(2)①把三角形ABC繞A旋轉(zhuǎn)120°就能得到圖形.②先求出NE的長(zhǎng),作MF⊥DE,在Rt△

MFQ中,利用勾股定理可求出QF,根據(jù)垂徑定理知QF就是弦PQ的一半,即可求出PQ的長(zhǎng).③過

M作AD的垂線,垂足為H,先判斷∠MAN=∠MAD,然后利用角平分線的性質(zhì)定理可得MN=MH

進(jìn)而得解.(3)分兩種情況AC與☉M相切或點(diǎn)C在☉M內(nèi)部,利用勾股定理即可得出結(jié)論.精選ppt三、與圓相關(guān)的平移與滾動(dòng)問題1.(2018秦皇島海港一模,25)如圖,在等邊△ABC中,AB=3,點(diǎn)O在AB的延長(zhǎng)線上,OA=6,且∠AOE

=30°.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒

個(gè)單位的速度沿射線OE方向運(yùn)動(dòng),以P為圓心,OP為半徑作☉P,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿折線B-C-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),Q與A重合時(shí),P,Q同時(shí)

停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)△POB是直角三角形時(shí),求t的值;(2)當(dāng)☉P過點(diǎn)C時(shí),求☉P與線段OA圓成的封閉圖形的面積;(3)當(dāng)☉P與△ABC的邊所在直線相切時(shí),求t的值;(4)當(dāng)線段OQ與☉P只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直接寫出t的取值范圍.

精選ppt解析(1)連接OC,∵∠ABC=60°,OB=BC,∴∠AOC=∠BCO=30°,∴OE經(jīng)過點(diǎn)C,∠ACO=90°,當(dāng)∠PBO=90°時(shí),OP=

=2

(如圖1).所以t=

=2.圖1當(dāng)∠BPO=90°時(shí),OP=OB·cos30°=

(如圖2).所以t=

=

.所以,當(dāng)t=

或t=2時(shí),△POB是直角三角形.(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)時(shí),☉P過點(diǎn)C,設(shè)☉P交OA于點(diǎn)F,圖2精選ppt∵PO=PF,∴∠POF=∠PFO=30°,∴∠OPF=120°,又∵PO=

,∴OF=

,點(diǎn)P到OF的距離為

.∴S弓形=S扇形OPF-S△OPF=

-

×

×

=

π-

或S弓形=S扇形OCF+S△OPF=

+

圖3×

×

=

π+

.(3)☉P不可能與AB所在直線相切.當(dāng)☉P與AC所在直線相切時(shí),切點(diǎn)為點(diǎn)C(如圖4).∵∠ACO=90°,∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)時(shí),☉P與AC邊所在直線相切,圖4精選ppt此時(shí)t=

.當(dāng)☉P與BC的邊所在直線相切時(shí),切點(diǎn)為點(diǎn)B(如圖5).∵∠PBC=90°,PB=OP=PC·sin30°=

PC,∴OP=

.此時(shí)t=1,∴當(dāng)t=1或t=

時(shí),☉P與△ABC的邊所在直線相切.(4)t的取值范圍是

<t≤6.圖5詳解:開始運(yùn)動(dòng)后,OQ與☉P有兩個(gè)公共點(diǎn),一直到☉P過點(diǎn)Q(如圖6).從這個(gè)時(shí)刻后一直到停止運(yùn)動(dòng),OQ與☉P只有一個(gè)公共點(diǎn).∵OP=

t,OC=3

,BQ=t,BC=3.∴

=

,∴PQ∥OB.∴∠QPC=∠BOC=30°,圖6∴∠QPC=∠OCB=30°,∴PQ=CQ,∴

t=3-t,解得t=

.∴t的取值范圍為

<t≤6.精選ppt2.(2017邢臺(tái)模擬,25)如圖,∠A=45°,∠ABC=60°,AB∥MN,BH⊥MN于點(diǎn)H,BH=8,點(diǎn)C在MN上,

點(diǎn)D在AC上,DE⊥MN于點(diǎn)E,半圓的圓心為點(diǎn)O,直徑DE=6,G為?的中點(diǎn),F是?上的動(dòng)點(diǎn).發(fā)現(xiàn):CF的最小值是

,CF的最大值為

.探究:沿直線MN向右平移半圓.(1)當(dāng)G落在△ABC的邊上時(shí),求半圓與△ABC重合部分的面積;(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí),求半圓在BC上截得的線段長(zhǎng);(3)當(dāng)半圓與△ABC的邊相切時(shí),求CE的長(zhǎng).精選ppt解析發(fā)現(xiàn):如圖1,圖1①當(dāng)F與E重合時(shí),CF的最小值為CE的長(zhǎng)=6.②當(dāng)CF經(jīng)過圓心時(shí),CF的長(zhǎng)最大,最大值=OC+OF=

+3=3

+3.探究:(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G落在AC邊上時(shí),點(diǎn)E與C重合,連接OG,精選ppt

圖2∵G為?的中點(diǎn),則∠DOG=∠GOC=90°,半圓與△ABC重合部分的面積=扇形ODG的面積+△OCG的面積=

×

×π·32+

×3×3=

π+

.如圖3,當(dāng)點(diǎn)G落在BC上,精選ppt圖3∵OG∥MN,∴∠BGO=∠BCE=60°,設(shè)BC與半圓相交的另一個(gè)點(diǎn)為S,連接OS,∵OS=OG,∴△OSG是等邊三角形,∴半圓與△ABC重疊部分的面積=扇形OGS的面積-△OGS的面積=

·π·32-

×32=

π-

.綜上,當(dāng)G落在△ABC的邊上時(shí),半圓與△ABC重合部分的面積為

π+

或

π-

.(2)點(diǎn)E與H重合時(shí),BH=8,OE=3,BO=5,設(shè)BC交半圓于R、T,OP⊥RT于點(diǎn)P,則PT=PR,精選ppt

圖4∵∠CBE=30°,∴OP=

,連接OR,則RP=

=

,∴RT=2PR=

.(3)①如圖5,當(dāng)半圓與AC相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為K,則CK=CE,作KU⊥DE于U,精選ppt

圖5∵∠KOE=45°,OK=3,∴KU=OU=

,EU=3-

,作KL⊥MN于L,可得KL=EU,∵∠KCL=45°,∴CK=CE=

KL=

EU=3

-3.②如圖6,當(dāng)半圓與BC相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為W,連接OW,則CE=CW,∠OCE=∠OCW=30°,精選ppt圖6∵OE=3,∴tan30°=

,∴CE=3

.所以當(dāng)半圓與△ABC的邊相切時(shí),CE=3

-3或3

.思路分析

發(fā)現(xiàn):①當(dāng)F與E重合時(shí),CF的最小值為CE的長(zhǎng).②當(dāng)CF經(jīng)過圓心時(shí),CF的長(zhǎng)最大.探

究:(1)分兩種情形,當(dāng)點(diǎn)G落在AC邊上時(shí),點(diǎn)E與C重合,半圓與△ABC重合部分的面積=扇形

ODG的面積+△OCG的面積;當(dāng)點(diǎn)G落在BC上時(shí),重疊部分的面積=扇形OGS的面積-△OGS的

面積.(2)點(diǎn)E與H重合時(shí),BH=8,OE=3,BO=5,作OP⊥RT,先求出OP的長(zhǎng),然后利用勾股定理求得

PR,即可求出RT的長(zhǎng).(3)①當(dāng)半圓與AC相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為K,則CK=CE,作KU⊥DE于U,根據(jù)CK=

EU得解;②當(dāng)半圓與BC相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為W,連接OW,則CE=CW,在Rt△COE中,解直角三角形即可.精選ppt3.(2016石家莊模擬,24)如圖1,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3,分別以頂點(diǎn)B、A、C為圓心,BA長(zhǎng)為半徑

作?、?、

,我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三角形,顯然萊洛三角形仍然是軸對(duì)稱圖形,設(shè)點(diǎn)I為對(duì)稱軸的交點(diǎn).(1)如圖2,將這個(gè)圖形在線段MN上做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng),當(dāng)它滾動(dòng)一周后點(diǎn)A與端點(diǎn)N重合,則線段

MN的長(zhǎng)為

;(2)如圖3,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn)A與等邊△DEF的頂點(diǎn)D重合,且AB⊥DE,DE=2π,將它沿等邊△

DEF的邊做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng),當(dāng)它第一次回到起始位置時(shí),求這個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的區(qū)

域的面積;(3)如圖4,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn)B與☉O的圓心O重合,☉O的半徑為3,將它沿☉O的圓周做無(wú)滑動(dòng)

的滾動(dòng),當(dāng)它第n次回到起始位置時(shí),點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為

.(請(qǐng)用含n的式子表示)精選ppt解析(1)∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,?=?=

,∴l(xiāng)

=l

=l

=

=π,∴線段MN的長(zhǎng)為l

+l

+l

=3π.(2)如圖,

由題意知,AG⊥AF,又AB⊥DE,等邊△DEF的邊長(zhǎng)為2π,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3,∴S矩形AGHF=2π×3=6π,易知∠BAG=120°,∴S扇形BAG=

=3π,精選ppt∴圖形在運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的區(qū)域的面積為3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6π+3π)=27π.(3)如圖,

連接BI并延長(zhǎng)交AC于D,連接AI,∵I是△ABC的外心也是內(nèi)心,∴∠DAI=30°,AD=

AC=

,∴OI=AI=

=

=

,∴當(dāng)它第1次回到起始位置時(shí),點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑是以O(shè)為圓心,OI為半徑的圓周長(zhǎng),∴當(dāng)它第n次回到起始位置時(shí),點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為n·2π·

=2

nπ.思路分析

(1)先求出?的弧長(zhǎng),繼而得出萊洛三角形的周長(zhǎng)為3π,即可得出MN的長(zhǎng);(2)先判斷出萊洛三角形繞等邊△DEF一周掃過的面積的圖形,再求面積;(3)先判斷出萊洛三角形的一

個(gè)頂點(diǎn)和O重合旋轉(zhuǎn)一周點(diǎn)I的路徑,再用圓的周長(zhǎng)公式即可得出點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).精選ppt一、與圓相關(guān)的翻折問題教師專用題組1.如圖,在☉O中,AB為直徑,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn),將劣弧?沿弦AC翻折,交AB于點(diǎn)D,連接CD,如果∠BAC=20°,則∠BDC=

()

A.80°

B.70°

C.60°

D.50°精選ppt答案

B如圖,連接BC,

∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∵∠BAC=20°,∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°.根據(jù)翻折的性質(zhì),?所對(duì)的圓周角為∠B,?所對(duì)的圓周角為∠ADC,∴∠ADC+∠B=180°,又∠ADC+∠BDC=180°,∴∠BDC=∠B=70°,故選B.思路分析連接BC,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B,再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到∠ADC+∠B

=180°,進(jìn)而推出∠BDC=∠B,即可得出結(jié)論.精選ppt2.如圖,扇形OAB的半徑為4,∠AOB=90°,P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn),Q是弧AB上的一動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)P是OB中點(diǎn),且PQ∥OA時(shí)(如圖1),弧AQ的長(zhǎng)為

;(2)將扇形OAB沿PQ對(duì)折,使折疊后的弧QB'恰好與半徑OA相切于C點(diǎn)(如圖2).若OP=3,則O到

折痕PQ的距離為

.

精選ppt解析(1)

π.如圖,連接OQ,∵P是OB中點(diǎn),OB=4,∴OP=2,∵PQ∥OA,∴∠BPQ=∠AOB=90°,∵OP=

OQ,∴∠1=30°,∴∠2=∠1=30°,所以弧AQ的長(zhǎng)=

=

π.

(2)

.如圖,找點(diǎn)O關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O',連接OO'、O'B、O'C、O'P,設(shè)OO'與PQ交于點(diǎn)M,則OM=O'M,OO'⊥PQ,O'P=OP=3,點(diǎn)O'是

所在圓的圓心,∴O'C=OB=4,∵折疊后的弧QB'恰好與半徑OA相切于C點(diǎn),∴O'C⊥AO,∴O'C∥OB,∴四邊形OCO'B是矩形,在Rt△O'BP中,O'B=

=2

,精選ppt在Rt△OCO'中,OO'=

=2

,∴OM=

OO'=

×2

=

,即O到折痕PQ的距離為

.

思路分析

(1)連接OQ,利用直角三角形直角邊是斜邊的一半,則這條直角邊所對(duì)的銳角為30°

及平行線的性質(zhì)求出∠PQO=∠AOQ=30°,再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算得解.(2)先找點(diǎn)O關(guān)于PQ的對(duì)

稱點(diǎn)O',連接OO'、O'B、O'C、O'P,則易證四邊形OCO'B是矩形,利用勾股定理求得O'B的長(zhǎng),從

而求出OO'的長(zhǎng),則OM=

OO'=

.精選ppt二、與圓相關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題1.(2017石家莊正定二模,26)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5,圓D的半徑是3,在圓D上任取一點(diǎn)P,

連接AP,將AP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AP',連接BP'.發(fā)現(xiàn):無(wú)論點(diǎn)P在圓D上的什么位置,BP'的大小不變,BP'的長(zhǎng)是

.思考:(1)△APD的最大面積是

;(2)點(diǎn)P與P'之間的最小距離是

;(3)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B之間的距離最大時(shí),∠CBP'的度數(shù)是

.探究:當(dāng)AP與圓D相切時(shí),求△CDP'的面積.

精選ppt解析發(fā)現(xiàn):連接DP,如圖所示:

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP'=AP,∠PAP'=90°,∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=AB=AD=5,∠BAD=90°,∴∠BAD-∠DAP'=∠PAP'-∠DAP',即∠BAP'=∠DAP,在△ABP'和△ADP中,

∴△ABP'≌△ADP(SAS),∴BP'=DP=3.思考:(1)7.5.當(dāng)PD⊥AD時(shí),如圖所示:精選ppt

△APD的最大面積=

×5×3=7.5.(2)2

.當(dāng)P在AD上時(shí),PP'最小,此時(shí)P'在AB上,AP'=AP=5-3=2,∵∠PAP'=90°,∴PP'=

=2

.(3)45°.當(dāng)點(diǎn)P在射線BD上時(shí),如圖所示:

點(diǎn)P與點(diǎn)B之間的距離最大,此時(shí)∠ABP'=∠ADP=180°-45°=135°,精選ppt∴∠CBP'=135°-90°=45°.探究:分兩種情況:①如圖所示:

連接DP、DP'、CP',過點(diǎn)P'作AB的垂線,交AB于F,交CD于E,則EF⊥CD,EF=BC=5,∵AP是圓D的切線,∴∠APD=90°,∵△ABP'≌△ADP,∴∠AP'B=∠APD=90°,AP'=AP=

=4,在Rt△ABP'中,P'F=

=

,∴P'E=5-

=

,∴△CDP'的面積=

×5×

=

;精選ppt②如圖所示,連接DP、DP'、CP',過點(diǎn)P'作AB的垂線,交AB于F,交CD于E,同理得P'F=

=

,∴P'E=5+

=

,∴△CDP'的面積=

×5×

=

.綜上所述,當(dāng)AP與圓D相切時(shí),△CDP'的面積為

或

.思路分析

發(fā)現(xiàn):連接DP,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出△ABP'≌△ADP,進(jìn)而BP'=DP=3.

思考:(1)當(dāng)PD⊥AD時(shí),△APD的面積最大=

×5×3=7.5;(2)當(dāng)P在AD上時(shí),AP最小也就是PP'最小;(3)當(dāng)點(diǎn)P在射線BD上時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)B之間的距離最大,此時(shí)∠ABP'=∠ADP=135°,∠CBP'=45°.探究:分兩種情況:在AD上方和AD下方連接DP、DP'、CP',過點(diǎn)P'作AB的垂線,交AB于F,交CD

于E,先由勾股定理得出AP'=AP=

=4,再利用等積法求出P'F=

,進(jìn)而得出P'E=

或P'E=

,即可求出△CDP'的面積.精選ppt2.(2017秦皇島海港二模,25)如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,點(diǎn)O在AB的延長(zhǎng)線上,OB=2

,∠AOE=60°.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OE方向運(yùn)動(dòng),以P為圓心,OP為

半徑作☉P.設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)∠BOC=

,PA的最小值是

;(2)當(dāng)☉P過點(diǎn)C時(shí),求☉P與線段OA圍成的封閉圖形的面積;(3)當(dāng)☉P與矩形ABCD的邊所在直線相切時(shí),求t的值.

精選ppt解析(1)30°;2

+3.如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,

圖1∴∠ABC=90°,∴∠OBC=90°,tan∠BOC=

=

=

,∴∠BOC=30°.當(dāng)AP⊥OP時(shí),PA的值最小,OA=AB+OB=4+2

,在Rt△AOP中,∵∠AOE=60°,∴sin60°=

,∴AP=

×(4+2

)=2

+3.精選ppt故PA的最小值是2

+3.(2)如圖2,由題意得:OP=r=2t,

圖2設(shè)☉P與OA的另一個(gè)交點(diǎn)為M,連接PC、PM,則PC=PM=PO=r=2t,∴∠POC=∠PCO=∠BOP-∠BOC=60°-30°=30°,∵∠BCO=90°-∠BOC=90°-30°=60°,∴∠PCB=∠BCO+∠PCO=60°+30°=90°,即PC⊥BC(此時(shí)直線BC與☉P相切),精選ppt過點(diǎn)P作PN⊥OM于N,∴∠PNB=∠NBC=∠BCP=90°,∴四邊形PCBN是矩形,∴BN=PC=2t,∵∠NOP=60°,∴在Rt△PNO中,∠OPN=30°,∴ON=

OP=t,∵BN+ON=BO,∴2t+t=2

,∴t=

,∴r=

,∴當(dāng)t=

時(shí),☉P經(jīng)過點(diǎn)C,∵∠POM=60°且PO=PM,∴△POM是等邊三角形,∴OM=2ON=2t=

,PN=

t=2,∵S小弓形OM=S扇形POM-S△POM,∴S小弓形OM=

-

×

×2=

π-

,精選pptS大弓形OM=S圓P-S小弓形OM=π×

-

=

π+

.故☉P與線段OA圍成的封閉圖形的面積為

π-

或

π+

.(3)①由(2)可知當(dāng)☉P與矩形ABCD的邊BC所在的直線相切時(shí),t=

;②當(dāng)☉P與矩形ABCD的邊AD所在的直線相切時(shí),如圖3,

圖3過P作PF⊥AD于F,過P作PN⊥AO于N,精選pptAN=FP=r=2t,ON=

OP=t,∵AN+NO=AO,∴2t+t=2

+4,t=

;③當(dāng)☉P與矩形ABCD的邊CD所在的直線相切時(shí),如圖4,

圖4過P作PM⊥DC于M,交OA于H,則PM=OP=2t,PH=

t,∵PM+PH=BC,∴2t+

t=2,t=4-2

,綜上所述,當(dāng)☉P與矩形ABCD的邊所在直線相切時(shí),t的值是

或

或4-2

.精選ppt思路分析

(1)在直角△OBC中,先根據(jù)銳角的正切求∠BOC的度數(shù);根據(jù)垂線段最短可知:當(dāng)

AP⊥OP時(shí),PA的值最小,根據(jù)三角函數(shù)可求AP的最小值.(2)過點(diǎn)P作PN⊥OM,可得矩形PCBN,

等邊三角形POM,☉P與線段OA圍成的封閉圖形是大弓形OM或小弓形OM,利用扇形面積公

式、三角形面積公式可得結(jié)論.(3)分三種情況:①當(dāng)☉P與矩形ABCD的邊BC所在的直線相切

時(shí),是第(2)問中的情況,此時(shí)t=

;②當(dāng)☉P與矩形ABCD的邊AD所在的直線相切時(shí),根據(jù)AN+NO=AO列式可得t的值;③當(dāng)☉P與矩形ABCD的邊CD所在的直線相切時(shí),根據(jù)PM+PH=BC列

式可得t的值.精選ppt3.如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=

,以點(diǎn)B為圓心,1為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)P為☉B(tài)上一點(diǎn),線段CP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD,連接DA,PD,PB.(1)求證:AD=BP;(2)若DP與☉B(tài)相切,則∠CPB的度數(shù)為

;(3)如圖2,當(dāng)B,P,D三點(diǎn)在同一直線上時(shí),求BD的長(zhǎng);(4)BD的最小值為

,此時(shí)tan∠CBP=

;BD的最大值為

,此時(shí)tan∠CPB=

.

圖1圖2備用圖精選ppt解析(1)證明:∵∠ACB=90°,∠DCP=90°,∴∠ACD=∠BCP.∵AC=BC,CD=CP,∴△ACD≌△BCP(SAS),∴AD=BP.(2)45°或135°.(3)∵△CDP為等腰直角三角形,∴∠CDP=∠CPD=45°,則∠CPB=135°.由(1)知,△ACD≌△BCP,∴∠CDA=∠CPB=135°,AD=BP=1,∴∠BDA=∠CDA-∠CDP=90°.在Rt△ABC中,AB=

=2,∴在Rt△BDA中,BD=

=

.(4)1;1;3;

.思路分析(1)根據(jù)SAS即可證明△ACD≌△BCP,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=BP;(2)利用切線的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形求解;(3)當(dāng)B、P、D三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),利用勾股定理可得BD的長(zhǎng);(4)當(dāng)B、D、A三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)(∠PBC=45°),BD有最小值1,進(jìn)而得出當(dāng)B、A、D三點(diǎn)

在同一條直線上時(shí)(∠PBC=135°),BD有最大值3.精選ppt三、與圓相關(guān)的平移與滾動(dòng)問題1.(2017石家莊模擬,25)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,BC=12cm,半圓O的直徑DE=12

cm,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)D、E始終在BC所在

的直線上.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),半圓O與△ABC重疊部分的面積為S(cm2).(1)當(dāng)x=

(s)時(shí),點(diǎn)O與線段BC的中點(diǎn)重合;(2)在(1)的條件下,求半圓O與△ABC的重疊部分的面積S;(3)當(dāng)x為何值時(shí),半圓O所在的圓與△ABC的邊所在的直線相切?

精選ppt解析(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)O在AB的中點(diǎn)時(shí),x=

=6s.

圖1(2)如圖1,設(shè)☉O與AB交于點(diǎn)H,連接OH,CH.∵BC是直徑,∴∠CHB=90°,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠HBC=∠HCB=45°,∴HC=HB,∴OH⊥BC,OH=OB=OC=6cm,∴S=S扇形OHC+S△OHB=

·π·62+

×6×6=(18+9π)cm2.(3)如圖2,當(dāng)☉O與邊AB所在的直線相切時(shí)(點(diǎn)O在點(diǎn)B左側(cè)),易知OH=BH=6cm,OB=6

cm,精選pptOC=(12-6

)cm,∴x=

=(9-3

)s.

圖2如圖3,當(dāng)☉O與邊AB所在的直線相切時(shí)(點(diǎn)O在點(diǎn)B右側(cè)),易知OH=BH=6cm,OB=6

cm,OC=(12+6

)cm,∴x=

=(9+3

)s.精選ppt

圖3如圖1,x=6s時(shí),☉O與AC所在的直線相切.易知當(dāng)x=0s時(shí),☉O與AC所在的直線相切.綜上所述,當(dāng)x=0或(9-3

)或6或(9+3

)s時(shí),半圓O所在的圓與△ABC的邊所在的直線相切.精選ppt2.(2016石家莊二模,26)如圖1,已知點(diǎn)A(0,9),B(24,9),C(22+3

,0),半圓P的直徑MN=6

,且P、A重合時(shí),點(diǎn)M、N在AB上,過點(diǎn)C的直線l與x軸的夾角α為60°.現(xiàn)點(diǎn)P從A出