北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第一章習(xí)題課件

BS版九年級上1菱形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第1課時菱形及其性質(zhì)1．如圖，若要使?ABCD成為菱形，則需要添加的條件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝ACC．AB＝BC

D．AC＝BDC2．【2019·河北】如圖，菱形ABCD中，∠D＝150°，則∠1＝(

)A．30°B．25°C．20°D．15°D【答案】B【點(diǎn)撥】如圖，取AD的中點(diǎn)M′，連接M′N，M′P，則有MP＝M′P.MP＋PN的最小值為線段M′N的長，即菱形的邊長1.故選B.4．【2019·貴陽】如圖，菱形ABCD的周長是4cm，∠ABC＝60°，那么這個菱形的對角線AC的長是(

)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cmA5．【2019·玉林】菱形不具備的性質(zhì)是(

)A．是軸對稱圖形B．是中心對稱圖形C．對角線互相垂直D．對角線一定相等D6．【2018·宿遷】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若菱形ABCD的周長為16，∠BAD＝60°，則△OCE的面積是(

)A．

B．2C．

D．4A7．【2019·瀘州】一個菱形的邊長為6，面積為28，則該菱形的兩條對角線的長度之和為(

)A．8B．12C．16D．32【答案】C【答案】C9．【中考·懷化】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，點(diǎn)P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)．若以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P，A(P，A兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為______cm.【點(diǎn)撥】如圖，連接BD，AC，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10cm，∴∠BAD＝∠BCD＝60°.∴△ABD，△BCD都是等邊三角形．①若以邊BC為底，則BC的垂直平分線上(在菱形的邊上及其內(nèi)部)的點(diǎn)滿足題意，此時就轉(zhuǎn)化為“直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)連接的線段中，垂線段最短”，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，PA最小，最小值為10cm；10．【2019·百色】如圖，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分別交AD，AB的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：AE＝BF.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.∴△AEB≌△BFC(AAS)．∴AE＝BF.(2)若點(diǎn)E恰好是AD的中點(diǎn)，AB＝2，求BD的值．解：∵E是AD中點(diǎn)，且BE⊥AD，∴直線BE為AD的垂直平分線，∴BD＝AB＝2.11．【2019·聊城】如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)E，F(xiàn)是AP上的兩點(diǎn)，連接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求證：(1)△ABF≌△DAE；證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC.∴∠BPA＝∠DAE.∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE.∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)．(2)DE＝BF＋EF.證明：∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，AF＝DE.∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF，∴DE＝BF＋EF.12．如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E為對角線AC上一點(diǎn)，連接DE并延長交AB的延長線于點(diǎn)F.連接CF，BD，BE.(1)求證：∠AFD＝∠EBC.證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCE.又∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE(SAS)．∴∠EBC＝∠EDC.又∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠EDC.∴∠AFD＝∠EBC.解：如圖，設(shè)DF交BC于點(diǎn)P，AC交BD于點(diǎn)O.∵E為△BCD的重心，∴P為BC的中點(diǎn)．∴BP＝CP.又∵∠CDP＝∠BFP，∠CPD＝∠BPF，∴△CDP≌△BFP(AAS)．∴DP＝FP.∴四邊形BFCD是平行四邊形．∴FC∥BD.∴∠ACF＝∠AOB.∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOB＝90°.∴∠ACF＝∠AOB＝90°.(2)若E為△BCD的重心，求∠ACF的度數(shù)．13．已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是BC上任意一點(diǎn)，連接AF交對角線BD于點(diǎn)E，連接EC.(1)求證：AE＝EC.證明：如圖，連接AC.∵BD是菱形ABCD的對角線，∴線段BD所在直線是線段AC的垂直平分線．∵E是線段BD上一點(diǎn)，∴AE＝EC.(2)當(dāng)∠ABC＝60°，∠CEF＝60°時，點(diǎn)F在線段BC上的什么位置？并說明理由．解：點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)．理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分線，∴BF＝CF.即點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)．BS版九年級上1菱形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第2課時菱形的判定1．如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，且OB＝OD，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件________，使四邊形ABCD成為菱形(只需添加一個即可).OA＝OC(答案不唯一)C2．如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝13，AC＝24，DB＝10，則四邊形ABCD是(

)A．一般的平行四邊形B．長方形C．菱形D．不能確定3．【2019·大慶】下列說法中不正確的是(

)A．四邊相等的四邊形是菱形B．對角線垂直的平行四邊形是菱形C．菱形的對角線互相垂直且相等D．菱形的鄰邊相等CC4．【2019·寧夏】如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，且互相平分，添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是(

)A．AC⊥BD

B．AB＝ADC．AC＝BD

D．∠ABD＝∠CBD5．如圖，在?ABCD中，AE，CF分別是∠BAD和∠BCD的平分線，添加一個條件，仍無法判定四邊形AECF為菱形的是(

)A．AE＝AF

B．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分線C6．【中考·遵義】如圖，將?ABCD沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在AD上的點(diǎn)F處，則下列結(jié)論不一定成立的是(

)A．AF＝EF

B．AB＝EFC．AE＝AF

D．AF＝BEC7．【2018·舟山】用尺規(guī)在一個平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD，下列作法中錯誤的是(

)C*8．【2019·永州】如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，則四邊形ABCD的面積為(

)A．40B．24C．20D．15【答案】B【點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四邊形ABCD是菱形，根據(jù)勾股定理得到AO＝3，于是得到結(jié)論.9．下列命題：①四邊都相等的四邊形是菱形；②兩組鄰邊分別相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；④對角線相等的四邊形是菱形；⑤一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形．其中正確的是__________(填序號)．錯解：①②③⑤診斷：②是最容易出錯的，兩組鄰邊分別相等的四邊形不一定是菱形，如圖，AB＝AD，BC＝CD，但四邊形ABCD不是菱形．判定菱形時，要區(qū)分是在四邊形還是平行四邊形的基礎(chǔ)上進(jìn)行判定的，要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系．正解：①③⑤10．【2019·蘭州】如圖，AC＝8，分別以A，C為圓心，以長度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B和D，依次連接A，B，C，D，連接BD交AC于點(diǎn)O.(1)判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由；解：四邊形ABCD為菱形．理由如下：由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，∴四邊形ABCD為菱形．(2)求BD的長．11．【2019·吉林】圖①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．在圖①中已畫出線段AB，在圖②中已畫出線段CD，其中A，B，C，D均為格點(diǎn)．按下列要求畫圖：(1)在圖①中，以AB為對角線畫一個菱形AEBF，且E，F(xiàn)為格點(diǎn)；解：答案不唯一，菱形AEBF即為所求．(2)在圖②中，以CD為對角線畫一個對邊不相等的四邊形CGDH，且G，H為格點(diǎn)，∠CGD＝∠CHD＝90°.解：答案不唯一，四邊形CGDH即為所求．12．如圖①，△ABC為等腰三角形，AB＝AC＝a，P點(diǎn)是底邊BC上的一個動點(diǎn)，PD∥AC，PE∥AB.(1)用a表示四邊形ADPE的周長為________；2a(2)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ADPE是菱形，請說明理由；解：當(dāng)P為BC中點(diǎn)時，四邊形ADPE是菱形．理由如下：連結(jié)AP，如圖①.∵PD∥AC，PE∥AB，∴四邊形ADPE為平行四邊形．∵AB＝AC，P為BC中點(diǎn)，∴∠PAD＝∠PAE.∵PE∥AB，∴∠PAD＝∠APE.∴∠PAE＝∠APE.∴EA＝EP.∴四邊形ADPE是菱形．(3)如果△ABC不是等腰三角形(圖②)，其他條件不變，點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ADPE是菱形?請說明理由．解：如圖②，P運(yùn)動到∠A的平分線上時，四邊形ADPE是菱形．∵PD∥AC，PE∥AB，∴四邊形ADPE是平行四邊形．∵AP平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵AB∥EP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴AE＝EP.∴四邊形ADPE是菱形．13．【2018·北京】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE.(1)求證：四邊形ABCD是菱形．證明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA.∵AC平分∠BAD∴∠OAB＝∠DAC.∴∠DCA＝∠DAC.∴CD＝AD＝AB.∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AD＝AB，∴四邊形ABCD是菱形．BS版九年級上2矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第1課時矩形及其性質(zhì)1．下列說法中，正確的是(

)A．菱形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形B．平行四邊形的鄰邊相等C．矩形是軸對稱圖形且有四條對稱軸D．菱形的面積等于兩條對角線長度乘積的一半D【答案】A3．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD延長線上的一點(diǎn)，且DE＝AD，連接BE交CD于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論中不正確的是(

)A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOC【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADO＝∠EDO＝∠C＝90°.∵AD＝DE，∴BC＝DE.在△BOC與△EOD中，∠BOC＝∠EOD，∠C＝∠EDO＝90°，BC＝DE，∴△BOC≌△EOD.故B選項(xiàng)正確．在△AOD和△EOD中，AD＝DE，∠ADO＝∠EDO＝90°，OD＝OD，∴△AOD≌△EOD.故C選項(xiàng)正確．由B，C知△AOD≌△BOC，故D選項(xiàng)正確．而A選項(xiàng)中兩個三角形明顯不全等．故應(yīng)選A.【答案】A【答案】C【答案】D6．【2019·十堰】矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是(

)A．對邊相等B．對角相等C．對角線相等D．對角線互相平分C【答案】B8．【2019·赤峰】如圖，菱形ABCD的周長為20，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，則OE的長是(

)A．2.5B．3C．4D．5A*9.【2018·眉山】如圖，在?ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于點(diǎn)E，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，連接EF，BF，下列結(jié)論：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四邊形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正確結(jié)論的個數(shù)共有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】D30°10．如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且AB＝BE，∠1＝15°，則∠2＝________.【點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是求出△AOB是等邊三角形，盡而推出OB＝OE，從而求出∠2＝30°.本題易錯點(diǎn)是對矩形的性質(zhì)不能靈活的運(yùn)用．11．【2019·鄂州】如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB，CD邊于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：四邊形DEBF是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠DFO＝∠BEO.∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)．∴DF＝BE.又∵DF∥BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形．(2)當(dāng)DE＝DF時，求EF的長．12．【2018·安順】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：AF＝DC.(2)若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．13．【2019·哈爾濱】已知：在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F.(1)如圖①，求證AE＝CF.解：△ABE，△CDF，△BCE，△ADF.14．【2019·賀州】如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD邊上的點(diǎn)，且AE＝CF.(1)求證：△ABE≌△CDF.(2)當(dāng)AC⊥EF時，四邊形AECF是菱形嗎？請說明理由．解：當(dāng)AC⊥EF時，四邊形AECF是菱形．理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.∵BC＝AD，∴CE＝AF.∵CE∥AF，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形．BS版九年級上2矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第2課時矩形的判定1．如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦危枰砑拥臈l件是(

)A．AB＝CD

B．AD∥BC

C．AB＝BC

D．AC＝BDDD2．【2019·永州】下列說法正確的是(

)A．有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等B．有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形C．如果一個角的補(bǔ)角等于它本身那么這個角等于45°D．點(diǎn)到直線的距離就是該點(diǎn)到該直線的垂線段的長度【答案】A4．【2019·重慶】下列命題正確的是(

)A．有一個角是直角的平行四邊形是矩形B．四條邊相等的四邊形是矩形C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形D．對角線相等的四邊形是矩形A5．【2018·上海】已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是(

)A．∠A＝∠B

B．∠A＝∠CC．AC＝BDD．AB⊥BCB6．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列各組條件中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是(

)A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°C．AO＝CO，BO＝DO，∠AOB＝90°D．∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDAC7．如圖，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是(

)A．AB∥DC

B．AC＝BD

C．AC⊥BD

D．AB＝DCCB8．在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，當(dāng)?ABCD的面積最大時，下列結(jié)論正確的是(

)①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④*9.【2019·安順】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為________．10．在一組對邊平行的四邊形中，添加下列條件中的哪一個，可判定這個四邊形是矩形(

)A．另一組對邊相等，對角線相等B．另一組對邊相等，對角線互相垂直C．另一組對邊平行，對角線相等D．另一組對邊平行，對角線互相垂直【點(diǎn)撥】此題易因?qū)匦蔚呐卸ǚ椒ɡ斫忮e誤而出錯．在一組對邊平行的前提下，再找該組對邊相等或另一組對邊平行即可判定這個四邊形為平行四邊形，再結(jié)合對角線相等即可判定這個四邊形是矩形．【答案】C11．【2019·云南】如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.(1)求證：四邊形ABCD是矩形．證明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO.∴AO＝DO.∴AC＝BD.∴四邊形ABCD是矩形．

(2)若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度數(shù)．12．【中考·日照】如圖，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足為E.(1)求證：△DCA≌△EAC；

(2)只需添加一個條件，即________，可使四邊形ABCD為矩形．請加以證明．AD＝BC證明：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.由(1)得△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°.∴四邊形ABCD為矩形．【點(diǎn)撥】答案不唯一．13．【2019·新疆】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，連接OE.過點(diǎn)C作CF∥BD交OE的延長線于點(diǎn)F，連接DF.求證：(1)△ODE≌△FCE；

(2)四邊形OCFD是矩形．證明：∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC.∵CF∥BD，∴四邊形OCFD是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90°.∴四邊形OCFD是矩形．14．【中考·達(dá)州】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線EF∥BC分別交∠ACB，外角∠ACD的平分線于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的長；

(2)連接AE，AF.問：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．解：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，四邊形AECF是矩形．理由如下：如圖所示．當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵∠ECF＝90°，∴平行四邊形AECF是矩形．BS版九年級上3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第1課時正方形及其性質(zhì)1．【中考·蘭州】?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件：________，使得?ABCD為正方形．AC＝BD【點(diǎn)撥】判定一個菱形是正方形，只需一個角是90°或?qū)蔷€相等即可．答案不唯一．A2．【2018·臨沂】如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則下列說法中正確的個數(shù)是(

)①若AC＝BD，則四邊形EFGH為矩形；②若AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等．A．1B．2C．3D．4123．【2019·北京】把圖①中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖②、圖③所示的正方形，則圖①中菱形的面積為________．【點(diǎn)撥】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DH＝EH.在Rt△CEH中，設(shè)CH＝x，則EH＝DH＝9－x，易得EC＝3，可以根據(jù)勾股定理列出方程，從而得出CH的長．*4.【中考·畢節(jié)】如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.若BE：EC＝2：1，則線段CH的長是(

)A．3

B．4C．5

D．6BC5．【2019·黃石】在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB邊的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，將正方形繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(

)A．(－1，2)B．(1，4)C．(3，2)D．(－1，0)【點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用SAS即可證明△ABE≌△BCF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BFC＝∠AEB，又易得∠DAE＝∠AEB，∠BFC＝∠ABF，從而求解．C6．【2019·河池】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE＝CF，則圖中與∠AEB相等的角的個數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．4C【答案】D9．【中考·安順】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE＝1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF＝2，P為AC上一個動點(diǎn)，則PF＋PE的最小值為________．10．【2019·內(nèi)江】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上的一點(diǎn)，且BE＝DF，連接AE，AF，EF.(1)求證：△ABE≌△ADF.

(2)若AE＝5，請求出EF的長．11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A作AG⊥ED交DE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G.(1)證明：△ADG≌△DCE.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC.又∵AG⊥DE，∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF.∴∠DAG＝∠CDE.∴△ADG≌△DCE(ASA)．

(2)連接BF，證明：AB＝FB.12．【2019·天門】如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CB，DC延長線上的點(diǎn)，且BE＝CF，過點(diǎn)E作EG∥BF，交正方形外角的平分線CG于點(diǎn)G，連接GF，求證：(1)AE⊥BF；

(2)四邊形BEGF是平行四邊形．證明：延長AB至點(diǎn)P，使BP＝BE，連接EP，如圖所示．則AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°.∵CG為正方形ABCD外角的平分線，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG.由(1)得∠BAE＝∠CEG，13．【2018·隴南】如圖，已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)F，G，H分別是BC，BE，CE的中點(diǎn)．(1)求證：△BGF≌△FHC.

(2)設(shè)AD＝a，當(dāng)四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積．BS版九年級上3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第2課時正方形的判定1．【2019·攀枝花】下列說法錯誤的是(

)A．平行四邊形的對邊相等B．對角線相等的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D．正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形BB【答案】D【點(diǎn)撥】

先沿對角線對折，看兩側(cè)的三角形是否重合，再沿四邊形一組對邊的中點(diǎn)連線對折，看上下兩個四邊形是否重合，如果兩次對折后都能重合，那么四邊形絲巾的形狀是正方形．故選B.*4.【中考·臺州】小紅用次數(shù)最少的對折方法驗(yàn)證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對折了(

)A．1次B．2次C．3次D．4次B5．【2019·巴中】下列命題是真命題的是(

)A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相垂直的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的矩形是正方形D．四邊相等的平行四邊形是正方形C6．下列說法正確的是(

)A．四個角都相等的四邊形是正方形B．四條邊都相等的四邊形是正方形C．對角線互相垂直的平行四邊形是正方形D．對角線相等的菱形是正方形【點(diǎn)撥】A.四個角都相等的四邊形是矩形，故錯誤；B.四條邊都相等的四邊形是菱形，故錯誤；C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤；D.對角線相等的菱形是正方形，正確．D7．【中考·日照】小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中選兩個作為補(bǔ)充條件，使?ABCD為正方形(如圖)，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯誤的是(

)A．①②B．②③C．①③D．②④B*8.【2019·北京】在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，對于任意矩形ABCD，下面四個結(jié)論中，①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；③存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號是________．【點(diǎn)撥】①如圖，∵四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線MP分別交AB，CD于點(diǎn)M，P，過點(diǎn)O作直線QN分別交AD，BC于點(diǎn)Q，N，則四邊形MNPQ是平行四邊形．故當(dāng)MQ＝PN，PQ＝MN時，四邊形MNPQ是平行四邊形，故存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形，故①正確．②如圖，當(dāng)PM＝QN時，四邊形MNPQ是矩形，故存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形，故②正確．【答案】①②③③如圖，當(dāng)PM⊥QN時，四邊形MNPQ是菱形，故存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形．故③正確．④當(dāng)四邊形MNPQ是正方形時，MQ＝PQ，則△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四邊形MNPQ是正方形與任意矩形ABCD矛盾，故④錯誤．9．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，假設(shè)有下列條件：①AB＝AD;②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO;④四邊形ABCD為矩形；⑤四邊形ABCD為菱形；⑥四邊形ABCD為正方形．則下列推理不成立的是(

)A．①④?⑥B．①③?⑤C．①②?⑥D(zhuǎn)．②③?④【點(diǎn)撥】本題易將特殊四邊形的判定相混淆導(dǎo)致出錯，選項(xiàng)C的四邊形可以是一個如圖所示的梯形，不一定是正方形．【答案】C10．【中考·青島】如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，OE，OF.(1)求證：△BCE≌△DCF.

(2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時，四邊形AEOF是正方形？請說明理由．11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：△BED≌△CFD.證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.∴△BED≌△CFD.

(2)若∠A＝90°，求證：四邊形DFAE是正方形．證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵∠A＝90°，∴四邊形DFAE為矩形．由(1)知，△BED≌△CFD，∴DE＝DF.∴四邊形DFAE是正方形．12．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：AD＝AF.

(2)如果AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．解：當(dāng)AB＝AC時，四邊形ADCF是正方形．證明如下：由(1)可知，AD＝AF＝DC，又∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵AB＝AC，AD是中線，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.又∵AD＝AF，∴四邊形ADCF是正方形．13．【2019·天水】如圖①，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．解：四邊形ABCD是垂美四邊形．理由：連接BD，AC.∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上．∵CB＝CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形．證明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°.由勾股定理，得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.

(2)性質(zhì)探究：如圖①，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD.試證明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2.解：如圖，連接CG，BE，CE與AB交于點(diǎn)M.∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE.

(3)解決問題：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．BS版九年級上3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第3課時正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用1．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE，并延長AE交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對角線，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∴∠AOE＝∠DOF＝90°.∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE