用特征方程求數(shù)列的通項

.z.-一、遞推數(shù)列特征方程的研究與探索遞推(迭代)是中學數(shù)學中一個非常重要的概念和方法，遞推數(shù)列問題能力要求高，內(nèi)在聯(lián)系密切，蘊含著不少精妙的數(shù)學思想和方法。遞推數(shù)列的特征方程是怎樣來的.n1n+1n n1n+1n下的參數(shù)法，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列：設(shè)a+t=c(a+t),則a=ca+(c-1)t，令(c-1)t=d，即t=d，當n+1nn+1nc-1ad=(a+d)cn-1將a=b代入并整理，得a=bcn+(d-b)cn-1-d故數(shù)列a=ca+d對應的特征方1nc-1.n+1n (二)、二階線性遞推數(shù)列a=pa+qa,n+1nn-1n+1nn+1nnn-1n+1nn-1n+1nnn-1n+1nn-1(s-t=plst=q (1)若方程組(※)有兩組不同的實數(shù)解(s,t),(s,t),1122n+11n1n1n-1n+12n2n2n-1n+11nn+11n1n1n-1n+12n2n2n-1n+11nn2n12n+12n2212n+12n22121(a+ta)a+ta∵t1豐t2,由上兩式①+②消去an+1可得()().s2n.112212(s=s (2)若方程組(※)有兩組相等的解〈lt11=t22，易證此時t1=-s1，則n+11n1n1n-11n-11n-2(a)1211aaa-aaa-san1211這樣，我們通過參數(shù)方法，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比(差)數(shù)列，從而求得二階線性遞推數(shù)列的通項，若將方程組(※)消去t即得s2-ps-q=0，顯然s、s就是方程12n+1nn-1n+1nn-1nnn-1nnn-112n112212n12112 n將上述方法繼續(xù)類比，仿照前面方法，等式兩邊同加參數(shù)t，則 (1)若t士t，將t,t分別代入①式可得212記②的兩根為t,t，2na+ta+cta+t(a+t)2n2122 (2)若t=t，將t=tn點，兩邊取倒數(shù)得-1c11(1)cn1111n分式線性遞推數(shù)列a=的特征方程為x=ax+bnc.a+dcx+dn(1)c值得指出的是，上述結(jié)論在求相應數(shù)列通項公式時固然有用，但將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比(等差)數(shù)列的思想方法更為重要。如對于其它形式的遞推數(shù)列，我們也可借鑒前面的參數(shù)法，求得通項公式，其結(jié)論與特征方程法完全一致，、例題12n+1nn一1n-aa3(a)a13aa3(a)a13n1n+12a+7n.n1n+12a+7n.nnn兩式相除n+1nn1．可用特征方程解決遞推數(shù)列的三類模型1n+1n⑵．齊次二階線性遞推關(guān)系：已知a=a,a=b,且a=pa+qa,12n+1nn一1nnn+1n+1n121212.z..z.-n121212nn+13n1nn12n+2n+1nn2.已知數(shù)列{a}滿足a=3,n12n+2n+1nnn12n+2n+1nn3.已知數(shù)列{a}滿足a=3,n12n+2n+1nn4.各項均為正數(shù)的數(shù)列{a}a=a,a=b，且對任意的m+n=p+q的正整數(shù)m，n，p，q，n12a+aa+a14都有=當a=2,b=5時，求通項an5:已知數(shù)列{a}滿足a=2,a=2一1,n=N*,求通項a.n1nann12n+2n+1nnnn12n+2n+1nnnan12n+2n+1nnnn312323n223n312323n2232、解：作特征方程*2=4*-4由特征根方程得a=b=2故設(shè)a=(c+cn)2n一1,其中n1