2021新必修第一冊完美題型精講（120個題型完美講解）

目錄

1.1集合的概念及特征...............................................................................4

考點一集合的判斷..............................................................................5

考點二集合的表示方法.........................................................................6

考點三集合中元素的意義.......................................................................8

考點四元素與集合的關系.......................................................................9

考點五求參數(shù)..................................................................................9

1.2集合間的關系...................................................................................10

考點一集合關系的判斷........................................................................11

考點二（真）子集的個數(shù).......................................................................12

考點三集合相等與空集.......................................................................13

考點四已知集合關系求參數(shù)....................................................................14

1.3集合的基本運算.................................................................................15

考點一交集...................................................................................17

考點二并集...................................................................................18

考點三補集與全集.............................................................................19

考點四集合運算綜合運用......................................................................19

考點五求參數(shù).................................................................................20

1.4充分、必要條件.................................................................................22

考點一命題及其判斷..........................................................................22

考點二充分、必要條件........................................................................23

考點三求參數(shù).................................................................................24

考點四充分性必要性的證明....................................................................24

1.5全稱量詞與存在量詞............................................................................26

考點一全稱命題的判斷........................................................................26

考點二特稱命題的判斷........................................................................27

考點三全稱、特稱命題真假的判斷.............................................................28

考點四命題的否定.............................................................................29

考點五全稱特稱求參數(shù)........................................................................30

2.1等式與不等式的性質............................................................................32

考點一等式性質...............................................................................32

考點二不等式性質.............................................................................33

考點三比較大小...............................................................................34

考點四代數(shù)式的取值范圍......................................................................34

考點五不等式證明.............................................................................35

2.2基本不等式.....................................................................................37

考點一公式的直接運用........................................................................37

考點二條件型.................................................................................38

考點三配湊型.................................................................................38

考點四換元法.................................................................................39

考點五求參數(shù).................................................................................40

考點六實際應用題.............................................................................41

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式...............................................................42

考點一解無參數(shù)一元二次不等式...............................................................42

考點二解含有參數(shù)的一元二次不等式...........................................................44

考點三三個一元二次的關聯(lián)....................................................................45

考點四一元二次的恒成立.....................................................................46

考點五實際運用題.............................................................................48

3.1函數(shù)的概念.....................................................................................49

考點一區(qū)間的表示.............................................................................50

考點二函數(shù)的判斷.............................................................................51

考點三定義域..........................................................................53

考點四解析式.................................................................................54

考點五函數(shù)值................................................................................55

考點六相等函數(shù)...............................................................................55

考點七分段函數(shù)...............................................................................57

3.2函數(shù)的性質.....................................................................................58

考法一性質法求單調性（單調區(qū)間）...........................................................60

考法二定義法求單調性（單調區(qū)間）............................................................61

考法三圖像法求單調性（單調區(qū)間）...........................................................62

考法四利用單調性求參數(shù)....................................................................62

考法五奇偶性的判斷..........................................................................63

考法六利用奇偶性求解析式....................................................................64

考法七利用奇偶性求參數(shù).....................................................................64

考法八單調性與奇偶性的綜合運用.............................................................65

3.3賽函數(shù)..........................................................................................66

考點一森函數(shù)的判斷..........................................................................67

考點二賽函數(shù)的三要素........................................................................67

考法三軍函數(shù)的性質..........................................................................68

考法四森函數(shù)的圖像..........................................................................69

3.4函數(shù)的應用（一）..............................................................................70

考點-----次函數(shù)模型...........................................................................70

考點二二次函數(shù)模型..........................................................................71

考點三分段函數(shù)模型..........................................................................72

4.1指數(shù)的運算.....................................................................................73

考點一根式的運算.............................................................................74

考點二分數(shù)指數(shù)森的運算......................................................................75

考點三條件等式求值..........................................................................76

考點四綜合運算...............................................................................77

4.2指數(shù)函數(shù)........................................................................................77

考點一指數(shù)函數(shù)的判斷........................................................................79

考點二定義域和值域..........................................................................79

考點三指數(shù)函數(shù)性質..........................................................................81

考點四定點...................................................................................83

考點五圖像...................................................................................83

4.3對數(shù)的運算....................................................................................85

考點一指數(shù)對數(shù)的轉化.......................................................................86

考點二對數(shù)式求值............................................................................87

考點三對數(shù)式化簡............................................................................88

考點四換底公式..............................................................................88

考點五指數(shù)對數(shù)運算的綜合...................................................................89

4.4對數(shù)函數(shù).......................................................................................89

考點一對數(shù)函數(shù)的概念辨析...................................................................90

考點二單調性（區(qū)間）.......................................................................91

考點三定義域和值域.........................................................................92

考點四比較大小..............................................................................93

考點五解不等式..............................................................................94

考點六定點...................................................................................95

考點七圖像..................................................................................95

考點八對數(shù)函數(shù)綜合運用.....................................................................97

4.5函數(shù)的應用（二）.............................................................................98

考點一零點的求解.............................................................................99

考點二零點區(qū)間的判斷.......................................................................100

考點三零點個數(shù)的判斷.......................................................................100

考點四根據(jù)零點求參數(shù).......................................................................101

考點五二分法................................................................................102

考法六函數(shù)模型..............................................................................103

5.1任意角和弧度制...............................................................................105

考點一基本概念的辨析.......................................................................108

考點二角度與弧度的轉換.....................................................................109

考點三終邊相同.............................................................................110

考點四象限的判斷............................................................................111

考點五扇形..................................................................................111

5.2三角函數(shù)的概念...............................................................................114

考點一三角函數(shù)的定義.......................................................................116

考點二三角函數(shù)值正負判斷...................................................................117

考點三三角函數(shù)線............................................................................118

考點四同角三角函數(shù)........................................................................119

考點五弦的齊次..............................................................................120

考點六sinacosa與sina±cosa......................................................................................................................................121

5.3誘導公式.....................................................................................122

考點一化簡（求值）........................................................................123

考點二誘導公式與定義綜合運用.............................................................125

考點三誘導公式與同角三角綜合運用.........................................................126

考點四角的拼湊.............................................................................127

5.4三角函數(shù)的圖象與性質........................................................................128

考點一五點畫圖..............................................................................128

考點二周期..................................................................................130

考點三對稱性................................................................................130

考點四單調性................................................................................131

考點五奇偶性................................................................................132

考點七值域.................................................................................134

考點八正切函數(shù)性質.........................................................................134

5.5三角恒等變換.................................................................................136

考點一兩角和差公式.........................................................................136

考點二給值求值.............................................................................137

考點三給值求角..............................................................................139

考點四二倍角...............................................................................139

考點五角的拼湊..............................................................................141

考點六恒等變化..............................................................................141

5.6函數(shù)y=/sin（Myc+9）........................................................................143

考點一求解析式..............................................................................143

考點二伸縮平移..............................................................................145

考點三綜合運用..............................................................................146

1.1集合的概念及特征

1.集合的概念

(1)含義：一般地，我們把所研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集).

(2)集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等.

［知識點撥］集合中的元素必須滿足如下性質：

(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬

于這個集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一.

(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的.

(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合｛1,2,3｝與｛2,3,1｝表示同一集合.

2.元素與集合的關系

關系概念記法讀法

如果。是集合4中的元素，就說。屬

屬于aGAa屬于集合A

于集合4

如果。不是集合”中的元素，就說。

不屬于aiAa不屬于集合力

不屬于集合4

［知識點撥］符號"G”和"C"只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有

方向性，左右兩邊不能互換.

3.集合的表示法

(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法.例如：小于3的實數(shù)組成的集合.

(2)字母表示法：用一個大寫拉丁字母表示集合，如4B,C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a,b,c等.常

用數(shù)集的表示：

非負整數(shù)集

名稱正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

(自然數(shù)集)

符號NN*或N+ZQR

(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“｛｝''括起來表示集合的方法叫做列舉法.

(4)描述法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后

寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.

【典例精講】

考點一集合的判斷

【例1】(2020?浙江高一課時練習)下列四組對象中能構成集合的是().

A.本校學習好的學生B.在數(shù)軸上與原點非常近的點

C.很小的實數(shù)D.倒數(shù)等于本身的數(shù)

本例題主要考查的是元素的確定性，即集合的中元素要有客觀的標準可以衡量，不能用主

觀去衡量，例如“好”、“小”“近”等詞沒有統(tǒng)一的客觀標準衡量、

【玩轉跟蹤】

1.（2020?全國高一）下列各組對象中能構成集合的是（）

A.充分接近的實數(shù)的全體B.數(shù)學成績比較好的同學

C.小于20的所有自然數(shù)D.未來世界的高科技產品

2.（2020?全國高一課時練習）下列對象能構成集合的是（）

A.高一年級全體較胖的學生B.比較接近1的全體正數(shù)

C.全體很大的自然數(shù)D.平面內到A48C三個頂點距離相等的所有點

【例2】（2020?全國高一課時練習）由實數(shù)羽-羽|刈,正,-在所組成的集合中，含有元素的個數(shù)最多為

（）

A.2B.3C.4D.5

本例題主要考查的是元素互異性，即一個集合中每個元素不能一樣或重復

【玩轉跟蹤】

xv

1.（2020?全國高一課時練習）已知x,y均不為0,即「一十的所有可能取值組成的集合中的元素個數(shù)

\x\\y\

為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2020?全國高三其他（文））已知集合力={（》））|》+^《2,》/€%},則Z中元素的個數(shù)為（）

A.1B.5C.6D.無數(shù)個

3.（2020?全國高一）已知集合"={1,m+2,m2+4],且5CM,則5的值為（）

A.1或一1B.1或3

C.-1或3D.1,一1或3

考點二集合的表示方法

【例2】（2020?全國高一）用合適的方法表示下列集合，并說明是有限集還是無限集.

(1)到4、8兩點距離相等的點的集合

(2)滿足不等式—>1的％的集合

(3)全體偶數(shù)

(4)被5除余1的數(shù)

(5)20以內的質數(shù)

(6){(x,y)\x+y=6,x&N*,yeN*}

(7)方程x(x—a)=0,aeR的解集

本例題主要考查集合的表示方法，列舉法一般適用于有限集合且元素個數(shù)少；描述法一般

適用于有限集合但元素個數(shù)多或者無限集合

【玩轉跟蹤】

1.(2020?全國高一課時練習)用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)一年中有31天的月份的全體；

(2)大于—3.5小于12.8的整數(shù)的全體;

(3)梯形的全體構成的集合；

(4)所有能被3整除的數(shù)的集合；

(5)方程(》-1)(*-2)=0的解組成的集合；

(6)不等式2奇一1>5的解集.

2.(2020?全國高一課時練習)用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

2x-3y=14,

(1)方程組的解集;

3x+2y=8

（2）方程--2》+1=0的實數(shù)根組成的集合；

（3）平面直角坐標系內所有第二象限的點組成的集合；

（4）二次函數(shù)丁=/+28-10的圖象上所有的點組成的集合:

（5）二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象上所有點的縱坐標組成的集合.

考點三集合中元素的意義

【例3】（2020?浙江高一課時練習）試說明下列集合各表示什么？

Z==B=^x\y=A/X2-2X}；C="x,y）|y=：］

0=((x,y)|-^=l；E={x=0,y=1}；F={x+^=l,x-^=-l}.

x-J

本例題考查的是集合中的元素的意義，元素的意義可能是數(shù)集、點集等，一般用描述法表

示，注意看描述法最左端。

【玩轉跟蹤】

1.（2020?上海高一課時練習）集合?0,工€凡歹6/?}是指（）

A.第二象限內的所有點B.第四象限內的所有點

C.第二象限和第四象限內的所有點D.不在第一、第三象限內的所有點

2.（2020?嫩江市高級中學高一月考）下列各組中的M、P表示同一集合的是（）

①河={3,-l},P={(3,T)}；

②"={(3,1)},尸={(1,3)}；

③M={小=/_1},。={"=/-1}；

④“={山=--l},P={(x,y)[y=/_1}

A.①B.②C.③D.④

考點四元素與集合的關系

【例4】(2020?全國高一課時練習)用符號“W”或“任”填空：(1)2N；(2)苴Q；(3)-Z；

33

(4)3.14R；(5)-3N；(6)79Q.

本例題考查元素與集合的關系，即蝸，開口朝向集合背靠元素

【玩轉跟蹤】

1.(2020?全國高一課時練習)用符號或“史”填空:

cl1

0N；-3N；0.5Z；V2Z；-0；兀R.

2.(2019?浙江湖州高一期中)設集合Z={x|(x-l)(x+l)=0},則()

A.0eAB.leAC.{T}e4D.{-1,1}eZ

3.(2020?浙江高一課時練習)已知集合4={x|x?%},a=JI+百，則”與集合4的關系是().

A.aeAB.AC.a-AD.{a}"

考點五求參數(shù)

【例5】(2020?吳起高級中學高二月考(文))若2e{l,a2+31,a+1},則a=()

A.2B.1或一1C.1D.-1

本例題根據(jù)題意求參數(shù)時，求完參數(shù)記得檢驗元素之間的互異性！?。?/p>

【玩轉跟蹤】

1.（2020?上海高一課時練習）若集合4=5|。/一38+2=0｝中至多有一個元素，則實數(shù)。的取值范圍是

2.（2020?上海市進才中學高二期末）已知集合力=｛2,（a+l>,a2+3a+3｝，且1eZ,則實數(shù)。的值為

3.（2020?浙江高一課時練習）已知集合力=R|ax2-3x-4=0）.

（1）若4中有兩個元素，求實數(shù)。的取值范圍：

（2）若/中至多有一個元素，求實數(shù)。的取值范圍.

1.2集合間的關系

1.Venn圖的優(yōu)點及其表示

（1）優(yōu)點：形象直觀.

(2)表示：通常用封閉曲線的內部表示集合.

2.子集、真子集、集合相等的相關概念

［知識點撥］(1)“/是8的子集”的含義：集合N中的任何一個元素都是集合8的元素，即有任意能推

出xWB.

(2)不能把“ZU8”理解為7是8中部分元素組成的集合”，因為集合/可能是空集，也可能是集合反

(3)特殊情形：如果集合”中存在著不是集合8中的元素，那么集合/不包含于8,或集合8不包含集合4

(4)對于集合4,B,C,若/U8,BQC,則ZUC；任何集合都不是它本身的真子集.

(5)<AQB,且Z翔,則力?B.

3.空集

(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為0.

(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.

4.集合間關系的性質

(1)任何一個集合都是它本身的子集，即/U4

(2)對于集合小B,C,

①若羔8,且匹C,則/UC；

②若NUB,BGC,則4UC.

(3)若力=8,A+B,貝Ij/UB.

【典例精講】

考點一集合關系的判斷

【例1】(2020?浙江高一單元測試)設集合/={0,1,2},B={m\m=x+y,x^A,y^A},則集合4與8的關

系為()

A.AwBB.A=BC.BqAD.A=B

注意區(qū)分：元素與集合的關系為屬于I或不屬于I,集合與集合間的關系是包含1、不包含

u、真包含U

【玩轉跟蹤】

1.（2020?上海高一開學考試）（多選題）下列關系中，正確的有（）

A.0U{0}B.ge?C.Q^ZD.0e{O}

2.（2020?浙江高一課時練習）已知集合/={x|x是平行四邊形},8={x|x是矩形},C={x|x是正方

形},D={x|x是菱形}，則（）

A.AjBB.C葭6C.DqCD.A^D

3.（2020?浙江高一課時練習）已知集合用={出2=2，yGR}和集合尸=依,y^=2x,yWR},則兩個集

合間的關系是（）

A.M^PB.P注M

C.M=PD.M,P互不包含

考點二（真）子集的個數(shù)

【例2】（1）（2020?全國高三月考（文））設集合/={司/7=0},則集合Z的真子集的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

（2）（2020?浙江高一課時練習）已知。為給定的實數(shù)，那么，集合〃=*卜2-3;<:-/+2=0,;<：6/?}的

子集的個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.不確定

1.求子集或真子集的個數(shù)：（1）確定集合中元素的個數(shù)（2）代入對應的公式

2.子集與真子集的區(qū)分：子集比真子集多了一個子集即集合本身（集合相等）

【玩轉跟蹤】

1.（2020?沙坪壩重慶一中高三月考（理））已知集合/={x|-<2,xeZ},則幺的真子集共有（）

個

A.3B.4C.6D.7

2.（2020?浙江高一課時練習）滿足{a,b,c,d}的集合M共有（）.

A.6個B.7個C.8個D.15個

3.（2020?貴州鳳岡一中高一月考）已知集合河U{4,7,8},且〃中至多有一個偶數(shù)，則這樣的集合共有

（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

考點三集合相等與空集

【例3】（2020?廣東潮州）下列各組集合中，表示同一集合的是（）

A.M={（3,2）},#={（2,3）}B.M={2,3},#={3,2}

C.M={(3)|x+y=1},N={y|x+y=l}D.M={1,2},N={(1,2)}

同一集合的判斷：（1）元素的意義相同（2）元素屬性的關系式相同

【玩轉跟蹤】

1.下列集合與集合/={2,3}相等的是()

A.{(2,3)}B.{(x,y])\x=2,y=3}

C.{x|》2-5x+6=。}D.{x-2,y-3}

2.給出以下5組集合：

(1)〃={(-5,3)},N={-5,3}；

（2）M={l,-3},TV={3,-1}；

（3）M^0,N={0}；

（4）/={兀},N={3.1415}；

（5）A/={X|X2-3X+2=0},"={山2一3尸2=0}.

其中是相等集合的有（）.

A.1組B.2組C.3組D.4組

考點四已知集合關系求參數(shù)

【例4】（1）（2020?河南林州一中）己知集合工={1+》2,彳},8={1,2,3},且則實數(shù)x的值是（）

A.-1B.1C.3D.4

（2）（2020?浙江高一課時練習）若集合N={xeR||x-4區(qū)2},集合3={xe火12a4x4。+3},若

則實數(shù)。的取值范圍是（）.

A.{x|x>3}B.{x|x刊}C.{x|l<x<3}D.{x|l<x<3}

1.真子集求參數(shù)，要注意檢驗是否出現(xiàn)集合相等的情況

2.子集求參數(shù)，對于不等式要注意端點是否取等號，一般情況下里實外空不取等號。

【玩轉跟蹤】

1.（2020?盤錦市第二高級中學）己知集合”={-1,3,2m-\},集合8={3,m2}.^BQA,則實數(shù)相等于

（）

A.±1B.-1C.1D.0

2.（2020?全國高一）設集合Z={x|0<x<2019},6={x|x<。},若Z￡8,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.{ala<0}B.{a|0<a<2019}

C.{a\a>2019}D.{a|0<a<2019}

3.（2020?全國高一）M={x|6x2—5x+l=0},P={x\ax=l],若P=貝必的取值集合為（）

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.（0,2,3）

1.3集合的基本運算

i.并集和交集的定義

定義并集交集

自然一般地，由所有屬于集合N或集合8一般地，由屬于集合/且屬于集合8

語言的元素組成的集合，稱為集合力與8的所有元素組成的集合，稱為集合/

的并集，記作/U8與8的交集，記作NflB

符號

4n8={x|xG4,且XG8}

語言

圖形

語言

AUB

［知識點撥］（1）簡單地說，集合4和集合8的全部（公共）元素組成的集合就是集合/與8的并（交）集；（2）

當集合48無公共元素時，不能說/與2沒有交集，只能說它們的交集是空集；（3）在兩個集合的并集中，

屬于集合力且屬于集合8的元素只顯示一次；（4）交集與并集的相同點是：由兩個集合確定一個新的集合，

不同點是：生成新集合的法則不同.

2.并集和交集的性質

并集交集

簡單AUA=A；ADA=A；

性質AU0=A4n0=0

AUB=BUA；AnB=BQA；

常用(/ABR；

結論BQ(AUB)；

4UB=B=4GBAC\B=B^BQA

3.全集

文字一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這

語言個集合為全集

4.補集

對于一個集合4由全集U中不屬