2023屆湖南省衡陽市高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆湖南省衡陽市高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】先解不等式求出集合，從而可求出.【詳解】解不等式，，解得，所以，則或．故選：B2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)分別是，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的除法計(jì)算法則即得.【詳解】由題可知，則，所以復(fù)數(shù)的虛部為2．故選：A.3．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊點(diǎn)即可排除選項(xiàng)求解.【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故排除C,D,又，所以排除B,故選：A4．過點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【分析】分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時，將直線與方程聯(lián)立，分析即得解；【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，代入拋物線方程可，故直線與拋物線有兩個交點(diǎn)．不滿足要求，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由，消得，，當(dāng)時，解得，直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時，由，可得，即當(dāng)時，符合題意．綜上，滿足條件的直線有2條．故選：B.5．已知為球球面上的三個點(diǎn)，若，球的表面積為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用球的表面積求出球的半徑，由三角形的正弦定理求出三角形外接圓的半徑，然后利用勾股定理求出三棱錐的高，最后利用椎體體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則由球的表面積為，所以設(shè)外接圓的半徑為，圓心為，由，所以為等邊三角形，所以，所以點(diǎn)O到平面的距離為，所以三棱錐的體積為：，故選：C.6．“碳達(dá)峰”是指二氧化碳的排放不再增長，達(dá)到峰值之后開始下降，而“碳中和”是指企業(yè)、團(tuán)體或個人通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某地區(qū)二氧化碳的排放量達(dá)到峰值a（億噸）后開始下降，其二氧化碳的排放量S（億噸）與時間t（年）滿足函數(shù)關(guān)系式，若經(jīng)過4年，該地區(qū)二氧化碳的排放量為（億噸）．已知該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要實(shí)現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．13年 B．14年 C．15年 D．16年【答案】D【分析】由條件列式先確定參數(shù)，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算解方程.【詳解】由題意，，即，所以，令，即，故，即，可得，即．故選：D7．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔爾舉行．現(xiàn)要安排甲、乙等5名志愿者去A，B，C三個足球場服務(wù)，要求每個足球場都有人去，每人都只能去一個足球場，則甲、乙兩人被分在同一個足球場的安排方法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．36 D．48【答案】C【分析】先按3，1，1或2，2，1分組，再安排到球場.【詳解】將5人按3，1，1分成三組，且甲、乙在同一組的安排方法有種，將5人按2，2，1分成三組，且甲、乙在同一組的安排方法有種，則甲、乙兩人被分在同一個足球場的安排方法種數(shù)為．故選：C8．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用三角函數(shù)恒等變換進(jìn)行湊角化簡，再根據(jù)，的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】由已知可將，，則，，，即或．又，所以，所以，所以選項(xiàng)A，B錯誤，即，則，所以．則C錯，D對，故選：D二、多選題9．將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，則（

）A． B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．在內(nèi)是增函數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得的解析式，利用代入驗(yàn)證法判斷BC選項(xiàng)的正確性，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】將的圖象向右平移個單位長度得到，A正確.因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，B錯誤；因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，C正確；因?yàn)?，所以函?shù)在內(nèi)不是增函數(shù)，D錯誤．故選：AC10．為了解某班學(xué)生每周課外活動的時間，甲同學(xué)調(diào)查了10名男生，其平均數(shù)為9，方差為11；乙同學(xué)調(diào)查了10名女生，其平均數(shù)為7，方差為8．若將甲、乙兩名同學(xué)調(diào)查的學(xué)生合在一起組成一個容量為20的樣本，則該樣本數(shù)據(jù)的（

）A．平均數(shù)為8.5 B．平均數(shù)為8 C．方差為10.5 D．方差為10【答案】BC【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義計(jì)算求解即可.【詳解】由題意，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差．故選：BC11．已知定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A． B．有三個零點(diǎn)C．在上為減函數(shù) D．不等式的解集是【答案】ABC【分析】令求解判斷A；由題得在上是減函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖像平移變換判斷BC；令，進(jìn)而得，函數(shù)在均為單調(diào)遞減函數(shù)，再分，，，，五種情況討論求解即可.【詳解】解：令，得，所以，選項(xiàng)A正確．，且，則，，所以，，所以在上是減函數(shù)，又為上的奇函數(shù)，，所以有三個零點(diǎn)，將的圖像向右平移2個單位長度得到的圖像，所以有三個零點(diǎn)，選項(xiàng)B正確．由于為奇函數(shù)，所以在上也是減函數(shù)，選項(xiàng)C正確．由于的圖像向右平移2個單位長度得到的圖像，即，則，函數(shù)在均為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，當(dāng)時，；時，；當(dāng)時，；時，；所以，所以，當(dāng)時，；時，；時，；當(dāng)時，；時，.所以，不等式的解集是，故D錯誤.故選：ABC．12．如圖，在棱長為的正方體中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)，滿足，其中，則（

）A．存在，使得平面平面B．存在，使得平面平面C．對任意的最小值為D．當(dāng)時，過，，三點(diǎn)的平面截正方體得到的截面多邊形的面積為【答案】ACD【分析】證明平面可判斷A；由平面平面，可判斷和的重合點(diǎn)，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)B；找出最小時的位置，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C；利用構(gòu)造平形四邊的方法，找到截面，進(jìn)而求解判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于A，由正方體中，，又平面，平面，，可證平面,可得,又，平面，平面，，可證平面，可得，所以由，平面，平面，，可得平面，所以當(dāng)時，平面，即平面平面，故A項(xiàng)正確；對于B，平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以與重合，與重合，此時，不符合題意，故B項(xiàng)錯誤；對于C，當(dāng)時，，此時最小，最小值為，故C項(xiàng)正確；對于D，當(dāng)時，在上取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，易得點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，在上取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，如下圖：則，且又因?yàn)槠矫?，所以，即，則四邊形為矩形，又，，則矩形的面積為，故D項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題13．已知向量，若，則__________．【答案】16【分析】根據(jù)向量垂直列方程，由此求得的值.【詳解】由，得，即，則．故答案為：14．已知集合，函數(shù)滿足不等式的解集為P，則函數(shù)__________．（寫出一個符合條件的即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得答案.【詳解】令，則的解集為P．故答案為：.15．雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P為C上一點(diǎn)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，，則C的離心率為__________．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)與雙曲線頂點(diǎn)連線斜率的關(guān)系，結(jié)合雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，由，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)，即，，，所以，即，所以C的離心率為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用雙曲線上的點(diǎn)與雙曲線頂點(diǎn)連線斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16．已知是函數(shù)的一個零點(diǎn)，且，則的最小值為__________．【答案】##.【分析】由題意得，設(shè)直線，則點(diǎn)是直線l上的一點(diǎn)，然后求出原點(diǎn)O到直線l的距離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.【詳解】由已知可得．不妨設(shè)直線，則點(diǎn)是直線l上的一點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離，則，設(shè)，在上遞減，在遞增可得，所以的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)直線，則點(diǎn)是直線l上的一點(diǎn)，然后將問題轉(zhuǎn)化為則大于等于原點(diǎn)O到直線l的距離，再構(gòu)造函數(shù)，求出其最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題17．在數(shù)列中，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得出的表達(dá)式，再驗(yàn)證的值是否滿足的表達(dá)式，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）計(jì)算得出，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)椋賱t當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，②①②得，所以，也滿足，故對任意的，.（2）證明：，所以．18．某電視臺舉行沖關(guān)直播活動，該活動共有四關(guān)，只有一等獎和二等獎兩個獎項(xiàng)，參加活動的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān)．已知第一關(guān)的通過率為0.7，第二關(guān)、第三關(guān)的通過率均為0.5，第四關(guān)的通過率為0.2，四關(guān)全部通過可以獲得一等獎（獎金為500元），通過前三關(guān)就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，獎金可以累加．假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動．(1)求甲獲得獎金的期望；(2)已知甲和乙最后所得獎金之和為900元，求甲獲得一等獎的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知甲獲得的獎金可能的取值為0，200，700，進(jìn)而依次計(jì)算對應(yīng)的概率，求解期望即可；（2）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式求解即可.【詳解】（1）解：（1）設(shè)甲獲得的獎金為元，則可能的取值為0，200，700．，，，所以，甲獲得的獎金的概率分布列為：0200700所以．（2）解：由（1）可知，獲得二等獎的概率為0.14，獲得一等獎的概率為0.035．設(shè)事件A：甲和乙最后所得獎金之和為900元，設(shè)事件B：甲選手獲得一等獎，由（1）知獲得二等獎的概率為，獲得一等獎的概率為，所以，所以，所求的概率．19．在中，角、、所對的邊分別為、、，，．(1)證明：．(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化簡得出，求出的取值范圍，討論與的關(guān)系，可證得結(jié)論成立；（2）由為銳角三角形求出的取值范圍，利用正弦定理化簡得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：由，可得，所以，則．因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，則.所以，或（舍去），即．（2）解：由為銳角三角形，可得，即，解得，所以，，則，由正弦定理可得，則.故的取值范圍是.20．在三棱柱中，，O為的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)已知，在線段上（不含端點(diǎn)）是否存在點(diǎn)Q，使得二面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)Q的位置，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)邊相等可證明三角形全等，進(jìn)而可證線線垂直，進(jìn)而可證線面垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量共線以及法向量的夾角即可求解【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以，所以．又，所以，即，．因?yàn)?，平面，所以平面．?）如圖所示，分別以所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，,．設(shè)平面的法向量為，由得令，得，即．設(shè)平面的法向量為，由得令，得，即．，解得，即當(dāng)時，二面角的余弦值為．21．已知，曲線在處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得.（2）化簡，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）由題可知，即．又，所以，解得，即．（2），，要證，，只需證，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時，．22．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是橢圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，設(shè)點(diǎn)N的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程．(2)若點(diǎn)A，B，C，D在橢圓上，且與交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在上．證明：的面積為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法即得