2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(江蘇卷,解析版)

2021年通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一試（江蘇卷）數(shù)學(xué)I一填題本題14小，小5分共分請(qǐng)把案寫答卡應(yīng)置已知集

，若

A

則實(shí)數(shù)

的值為_【答案】1【解析】或a

(取不到，所以.【點(diǎn)評(píng)今年的第一題屬基礎(chǔ)題難度較之前有提高考察學(xué)生利用集合運(yùn)算求參數(shù)的能力已知復(fù)（1+i1+2i,中i是虛數(shù)單位，則z的模是__________.【答案】

【解析】

，

10

【點(diǎn)評(píng)】第二題考察復(fù)數(shù)計(jì)算和模的計(jì)算，難度屬于基礎(chǔ)題，與往年難度基本持某工廠產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別件為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件.【答案】【解析】總產(chǎn)量為件所以應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取60

件.【點(diǎn)評(píng)】本題考察分層抽樣，難度基.右圖是個(gè)算法流程圖入x的為

輸出的y的是

【答案】【解析】經(jīng)判斷

，

yloglog2

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查判斷型的流程圖和對(duì)數(shù)計(jì)算，屬于基礎(chǔ).若tan

1=46

則tan=.【答案】

【解析】

4

tan16

解得

1

11212121212121121212121212【點(diǎn)評(píng)】本題考察恒等變換，屬于基礎(chǔ).如圖圓柱OO內(nèi)有一個(gè)球O球與圓柱上面母線均相切柱OO的體積為V球的積為V，【答案】

VV

的值是

【解析】設(shè)球的半徑為r

，圓柱的體積

V2r

，球的體積

rV3，所以.V2【點(diǎn)評(píng)】本題考察圓柱內(nèi)接球的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ).記函數(shù)

f()

的定義域?yàn)樵陂g[-4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)xx

D的率是

【答案】

【解析】函數(shù)定義域D為

，解得

，區(qū)間長度為，區(qū)間

長度為，在區(qū)間[上機(jī)取一個(gè)數(shù)x，x

D的率為P

【點(diǎn)評(píng)】本題考察幾何概型，難度中.在平面直角坐標(biāo)系中,雙線

3

的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，其焦點(diǎn)是,,則四邊形FPF的積是

【答案】

3【解析邊FF中PQ⊥

2

漸近線方程為

33

右準(zhǔn)線為

x

a23c

，當(dāng)

x

3時(shí)，y所PQ3，F(xiàn)c2

，四邊形FF的面積為S

【點(diǎn)評(píng)考雙曲線的準(zhǔn)線和漸近線方程對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積的計(jì)算，學(xué)生可能在面積時(shí)易出錯(cuò).2

1818等比數(shù)

為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為，知

S3

64

，則=.【答案】【解析】因?yàn)?/p>

a5123

q

，所以

q

SS

，所以

，那么Saa31

11，，744

【點(diǎn)評(píng)本題考察等比數(shù)列的基計(jì)算度中等學(xué)生要善于發(fā)現(xiàn)相鄰的三項(xiàng)之間的比值為q，簡化計(jì)算的關(guān)鍵.某公司一年購買某種貨物噸每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小，則值是【答案】【解析】設(shè)費(fèi)用為yy

43600x43600x4x當(dāng)

x

時(shí)等號(hào)成立，解得

=30.【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式取等條件，較為簡.已函數(shù)f

x

3

+e

，其中是然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f1【答案】[-1,]2

，則實(shí)數(shù)

的取值范圍是?！窘馕觥縡(x

3

可得f(()，(x)

為奇函f

'

)x

2

1當(dāng)x時(shí)ex

，所以

f()

，(x)

為增函數(shù)，且f(0)0

f(af

)0,f(2a

)(af(1即2

，

]

【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，難度適中。12圖同個(gè)平面內(nèi)量

的模分別為1,1，

2

，

與的夾角為，且tan，

與

的夾角為45°。若3

，則

+n=【答案】3【解析】過點(diǎn)

C

作

交

的延長線于點(diǎn)

D

，根據(jù)向量加法的三角形法則，，在三角形

中，由正弦定理OCpp4

-a

=

CDp4

=

ODsin其中，

OC=

a

=

，可計(jì)算出

sin

a=

2pp,sin(-a)sin()45所以O(shè)D=

5CD

，所以所以m+n=+=【點(diǎn)評(píng)】本題考察向量、解三角形，中檔題、在平面直角坐標(biāo)系中A-

，點(diǎn)

P

在圓

Ox2+y=50

上，若【答案】

，則點(diǎn)的坐的取值范圍是[2,1]【解析】設(shè)點(diǎn),y)

，因?yàn)樗?/p>

，因?yàn)?/p>

P

在圓上，故x

+y

=50代入有506y20化簡有2x所以此題意思轉(zhuǎn)化為圓

x

+y

=50

上滿足

2x+

的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，利用線性規(guī)劃，可知，只要找到圓上位于直線上方的點(diǎn)，故橫坐標(biāo)取值范圍[2,1]【點(diǎn)評(píng)】考察直線與圓，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解題。此題為易錯(cuò)題，錯(cuò)位答案5,1]因?yàn)楫?dāng)成了直線和圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍。設(shè)f()

是定義在R

且周期為1的數(shù)，在區(qū)間

0,1

上，

,Dfx,D

其中集合D=

nn

,n

，則方程(x)

的解的個(gè)數(shù)是

【答案】8【解析】fx)

由以為周期的f)x

去掉當(dāng)

x3

時(shí)的取值，與在這些4

離散點(diǎn)時(shí)

f(x

所組成的函數(shù)，當(dāng)f()

時(shí)，分別考慮f()

的這兩部分與lg的交點(diǎn)，但因?yàn)?/p>

x

時(shí)lg

取值均為無理數(shù)，所以它與

f()

,x

無交點(diǎn)，其與xx

有個(gè)點(diǎn)?！军c(diǎn)評(píng)本題考查分段函數(shù)及對(duì)函數(shù)的取值解題時(shí)需通過數(shù)形結(jié)合來解決問題一定難度。（本小題滿分14分如圖，在三棱錐中AB⊥AD⊥，平面⊥面BCD點(diǎn)EF（EA、不重合）分別在棱AD，BD上且EF⊥。求證）∥面；（2）ADAC【答案】證明1）由題意知AD,EF

又,EF,AD平\//AB又

面，EF面，EF//平（2）面ABD面，面ABD面BD,BC,平面

,

平面

,

,

AD

,

ABB

,

AB

、

平面ABC

,AD面,平面,ADAC

?！窘馕觥康谝恍栃枰C明線面平面，根據(jù)線面平行判定定理，欲證明線面平行證明線線平行第二問則要求證明線垂直往需先從題目中找目標(biāo)線與面后據(jù)線面垂直判定定理證明線面垂直。【點(diǎn)評(píng)本小題主要考查直線與線線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系考查空間想象能力和推理論證能力題難度不大形一個(gè)三棱錐要學(xué)生掌握直三棱錐的性質(zhì)，同時(shí)對(duì)于面面垂直的掌握和理解是解決這道題的關(guān)鍵出發(fā)點(diǎn)。16.（小滿分14分）已知向量a（,sinx）,（1若∥，求x的；

.（2記

求

的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值5

【答案）

（2

時(shí)，；

時(shí)，

【解析）a∥;

;;∵

;;;（2∵

;;當(dāng)，

;時(shí)，；當(dāng)，

時(shí)，

（本小題滿分14分6

12111221211211122121如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓

E:

2ya＞a22

的左、右焦點(diǎn)分別為，F(xiàn)，離心率為

12

，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)在圓上，且位于第一限，過點(diǎn)作線PF的線l,過點(diǎn)作直線PF2的線l（1求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2若直線l，l的交點(diǎn)在圓上求點(diǎn)P的標(biāo)【答案）【解析】，代橢圓方程得：由在第一象限，解得【點(diǎn)評(píng)要察橢圓方程的求線方程的求法直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法直垂直，斜率是否存在的討論，點(diǎn)在橢圓上，如何設(shè)求點(diǎn)的坐標(biāo)等，計(jì)算量適中，屬中檔題。18.（小滿分16分）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的為

cm，容器Ⅱ的兩底面對(duì)角，G的分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水均為12cm.現(xiàn)一根玻璃棒l度7

111111（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）（1將l放容器Ⅰ中l(wèi)一端置于點(diǎn)A處另一端置于側(cè)棱CC上求l沒水部分的長度；（）將l放容器Ⅱ中l(wèi)的端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上求l入水中部分的長度【答案】（1

（2）20cm【解析】（1如圖所示，設(shè)玻璃棒與水面的交點(diǎn)為O，CC交于點(diǎn)1則有

2AC30

作

1

垂直與底面交于點(diǎn)

O由

OO1

則

AOOO，有AE答：玻璃棒沒入水面的長度為1（2如圖所示，設(shè)玻璃棒與水面的交點(diǎn)為O，交點(diǎn)P，11

G11在等腰梯形

EGCE11

中,

HGGH2HC1則有

H

GH4GC5設(shè)

，由正弦定理得8

EPEGPG又

37cos，則解得,5則有PG50sin(

cos

過點(diǎn)P

作點(diǎn)

，則PDPGsin(

則由已知

EQPDEP

則答：玻璃棒沒入水面的長度為

20【點(diǎn)評(píng)要查幾何類型應(yīng)用以運(yùn)用三角函數(shù)來解決可以用建系的方法來解決，但計(jì)算量較大，因?yàn)樽帜篙^多，解題時(shí)應(yīng)注意，難度中檔。（小滿分16分）對(duì)于給定的正整數(shù)k若數(shù)列

n

n

an

an

an

n

ka=2ka對(duì)意正整數(shù)n(n>總立，n則稱數(shù)列

是P(k)列”證明：等差數(shù)列

P(3)數(shù)；（2若數(shù)列

P(2)數(shù)列，又是“P(3)列，證明：

列【解析】證明：（1若

{}

為等差數(shù)列，令

，則有

aa2akanNnnn

即證（2

{}

是"P(2)"

數(shù)列，則滿足

a

……①{}"P

數(shù)列，則滿足

aannn

……②由①得a

(

……③a

(n

……④將③，④代入②得

a

a

則有

a

a(3){}a為首項(xiàng)，公差為的差數(shù)列;3

；由②-①得：9

a

;(3)

，所以a;a;a;72369則13

；則有數(shù)列

{}

為等差數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)本題考查數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列的判定和性質(zhì)對(duì)于數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間的處理以及n范圍的細(xì)節(jié)處理。（本小題滿分16分已知函數(shù)

f

=

ax

bR)

有極值且導(dǎo)函數(shù)f

的極值點(diǎn)是f的零點(diǎn)值是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）（1求關(guān)a的數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2證明：

（3若

，f

這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于

，求a的值范圍。【答案）

2a

（3

3【解析）

f()

有極值f)

存在小于0的即

(2a

b，a

f)ax

的極值點(diǎn)是x

，a3f()()327b

3a233(2+)即

a所以a（2由（）知：10

11a

2

b

32)a

4

9a2

a3)3aa

3

a3

是單調(diào)增函數(shù)即

2

a

4

99a232b

（3由（）知：f()x

3

ax

2

a)af'()x

2

axa)令'(x

，得

xx2則x12

，xaf2

axx221

)x)

3a9x)

(x)

x2

(x)

xx2

3a()a9

2a22a(a)2))()399a9a9

a911

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，2103a2a22-(a-6)(2a12+【點(diǎn)評(píng)后一題作為壓軸題取的函數(shù)載體非常簡單次函數(shù)綜合考察導(dǎo)數(shù)極值、單調(diào)性以及二次方程的根的判別式等。但是這個(gè)題的重點(diǎn)以及難點(diǎn)是放在對(duì)數(shù)據(jù)的靈活處理，對(duì)式子的合理轉(zhuǎn)換上，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)要求很高。年通等校生國一試江卷數(shù)II附題選題本題括、C、D四小，選其兩題，在應(yīng)答區(qū)內(nèi)作。多，按答前小評(píng)。答應(yīng)出字說、明程演步。選：矩陣與變換]（本小題滿分分）已知矩陣A=（1求

，（2若曲線C

2y2=1在陣對(duì)的變換作用下得到另一曲線C求的方.82【解析）AB=

102任取曲線上的一點(diǎn)

2，他在矩陣對(duì)變換下為

則有，

2y1yx故

y

x2

xy

12

222222整理得：

8

2

所以曲線的方程為

+y2選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方]（本小題滿分分）在平面坐標(biāo)系中xOy中知直線l的參考方程為ty

（t為參數(shù),線C的參數(shù)方s2程為2s

（為數(shù)p曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到線l的離的最小值【解析】直線l的般方程為

曲線方程的般方程為

2設(shè)曲線上點(diǎn)

,a

所以P到線l離的最小值為

45522.如，平行六面體

ABCDABCD

中，

AA

平

ABCD

，且AB

，AA

，

（1求異面直線AB與所成角的余弦值（2求二面角

BA

的余弦值【解析）圖，過點(diǎn)A作AEAD，BC于E，以｛AE，｝為基地建立控件直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A33，3,1,3

13

kmnnkmnn

cosB,

B