不定積分習(xí)題

習(xí)課六內(nèi)：不定分的概念及積分方法基要:．理解原函數(shù)與不定積分的概念。．掌握不定積分的性質(zhì)及不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。．掌握不定積分的積分方.．會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)、無(wú)理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的不定積分。內(nèi)與法講一原函與定分概．原數(shù)定義：在間I上若f(x)即dFx)f(x)

，稱函數(shù)

F()是函數(shù)

f(x

在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。．原數(shù)存在的條:若函數(shù)

f(x

在區(qū)間

I

上連續(xù)。則

f(x

在區(qū)間

I

上有原函數(shù).．不積分：函數(shù)

f(x

在區(qū)間

I

上的所有原函數(shù)

F()

稱為

f(x

在區(qū)間

I

上的不定積分，記作

f()F)

。．不積分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系：（1先積分再求導(dǎo)（或微分）[x)](x)，d[dx]()（2先求導(dǎo)(或微分）再積分

；

Fdx(x)C

或

()Fx)

．不積分的線性：（1)

)kx)

；（2

(x)])dx

二基積公（略)三不積的法．拆積分法利不定積分的線性性個(gè)復(fù)雜的不定積分拆成若干個(gè)基本積分公式中的積分，從而進(jìn)行積分鍵體現(xiàn)在拆項(xiàng)上，例如：通過有理利用三角公式；在分子上加一項(xiàng)，減一項(xiàng)等都是常用的手段.．湊分法：

f[x)]x)[x)]

主要用來(lái)解決復(fù)合函數(shù)的積切地說是復(fù)合函數(shù)與之間變量導(dǎo)數(shù)之積的積分要熟練常用的幾個(gè)湊微分式子：（1)

f()

1a

f()d)(0)

；（2)

f(ax

1a

f(

)d(

(0)

；（3）

f)

f(ln)dln

；（4）

(

f(

)

；（5）

fx)12

)darctan

；（6）

fx)12

dx(arcsin)x

；（7）

f(sinxxdxx)sinx

；（8）

f(cos)sinxdxx)cos

；

f(tan)2

f(tan)dx

；（10

f(sec)secxtan

f(secx

；（11

f()f()f(

lnf(x).多用于解決無(wú)理函數(shù)的積分。要掌握幾個(gè)常用的固定換元：換元名稱

被積函數(shù)特點(diǎn)

具體換元公式

換元目的含有

a

2

2

sin三角換元

含有

2

xtant

去根號(hào)化為有理函含有

xtan

sect

數(shù)或三角根式換元

含有

ax

t

函數(shù)有理

根式換元

含有

axcx

t

n

axcx

式的積分倒代換

分母冪次比

x

1t

降低分母分子冪次較高

冪次)v()dx．分積分法:或())vx)(x)主要用來(lái)解決兩類不同的簡(jiǎn)單函數(shù)乘積的積分.關(guān)鍵是掌握好

u(x與

的選取，原則是

v

好找原函數(shù)，

u(x

的導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單，積分

v(dx

積分

(x

容易（至少不難掌以下幾種常見類型的分部積分：被積函數(shù)類型

條件

(x

取作

v

取作

目的冪函數(shù)×三角函數(shù)冪函數(shù)×指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)×對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)×反三角函數(shù)

正整數(shù)次冪正整數(shù)次冪實(shí)數(shù)次冪實(shí)數(shù)次冪

冪函數(shù)冪函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)

三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)

降低冪次降低冪次去掉對(duì)數(shù)函數(shù)去掉反三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)×三角函數(shù)

u(x與v

任用兩次分部積分，出“打回頭”四幾特函的分

f(x)f(x)dx例題精1若

f(x)xe

，函數(shù)fx).解.)對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，有

f(x)xe．若數(shù)

f(x

滿足

f2x

，且

f

，求函數(shù)

fx).解tan

f

2sec

改寫為

f

，再)對(duì)等式兩邊同時(shí)求積分，有f)2x)tan2xxd22)2tan

2

2)

2

.所以，

f(x)

12

,由

1f(0)得C，是f()x.23設(shè)函數(shù)

f(x),

xx

求不定積分

f(dx解

F(x)

f)dx

）當(dāng)

x

時(shí)，

F(x)

f(x)dx

2

；當(dāng)

x

時(shí)，

Fx)

f(x)xdxx

。有

F)F(0(0)

,有

C1

，得

C1

。所以，

2,,

xx0.4若

f(x

的一個(gè)原函數(shù)為lnx，不定積分

解

f(x

f

由

f(x

的一個(gè)原函數(shù)為2，

f)ln

,所以

f(x)

2lnx

。于是，

dxxf)

f)2lnln2x．設(shè)函數(shù)

F()

是

f(x

在

x

時(shí)的一個(gè)原函數(shù)，滿足

f(x)F(x

x)

,且f(xF(0)(x)0.求數(shù).解F()F()

f(x)F(x

x)

f(x由

F()(x

的一個(gè)原函數(shù)及

f(x)F(x)

xex)

，有

F()

xx)

,對(duì)上式兩邊同時(shí)求積,得F(x)2

F()dx

xx)

1dxx()1x(1)xx()212(1x)

.由

F及()0得C0，F(xiàn)x)

ex

,所以,

fxF

dexe/2()12(1)

/2

.6求下列不定積分（1）

x1lnx

；(2）

(ex)

；（2)

4x

；（4）

arctan12

1

；（5)

tanx

；（6）

lntansin

dx

。解：(1）

xx

(1lnx)d(1x)1

arctan1x22arctan1x22

[ln

11

2]dln)(1x)3

3/2

ln

（2）

(

x

dx4x1(ex(ex)4(e2x2(2x4

111[(e2(ex(e

2x

1exC(ex(e23exC

。（3

4

dxx

d1)2xx2

darcsinx

xlnarcsin2

。（4)

dx

x

arctan1x[1)x

arctan1dxx(]1)2]x1arctand

11(arctan)2

。(5)

tanx

dx

dx

C

.（6)

lntanxlntanlntanxxcosxtanx

dxdlntanx

12

2tanx

7求下列不定積分（1）

33

；）

(x

dx;（）32x(12)

。解）()

x3x3

2(12

)dxdx()xln2(3)2x)22

2xln

2

arctan3

(1)23

22xlnarctan.(x3

2

（2

(x

n

)

(xx

n

)

n

x(

dx(x33323(x323(x32

dx

31[3x3(x3

dxdx(1][](32333x31x31(ln).3x33（3令

1t

,則

t2

，于

x

8

dx

2

t)1

2

dt

(t

6

4

2

1)dt1

ttt11arctant).7tx53x3x．下列不定積分（1）

sincos1

dx

；（）

2tanxcosx

；（3）

xcos

；

(4）

xx

解1

fxcosxdx

cossindxx

x

sin

dsin21arctan(sinx)1x)

R(sin

,

x)dx

，

tanx

2x

(tan22tandx

xtan

tanx2xtanx.4323

311311

1sin2cos(sin2cosx

(secxx)dxxxx)x4

1sin(sectanx)x(44cos2

tan)）方法一

sinx1(sincosx)(sinxcosx)1sindxdxsinxx2xcosx2sinxx

)dxd(sincos)[x](lnxcosx.sinxx2方法二（伴侶型積分記

I

xxx

，I

xx

。則II

sinxxsinxx

dx

dxII2

sinxx(sin)dxsinxxsinxcosx

sincos兩式相加得

x1I(xlnsinxcos)x2方法三：

cxx

sincosx2cosxcosx22

1(1tan2)(lncos2xlntansec2x)2221(xlnsinx)2方法四:

2

sinx1x4)xsinxcosx2x4)

1(cot(xd(x(ln4))(xsincosx).(2

方法五

x

令

ttanx，xarctan

1

，于是

tantdtcosxtan

11()21

)111(arctantln(1)ln1)(sinxcosx22方法六：用萬(wàn)能代換，令

tan

2

，則

sindxsin

2

)(1

2

1u1()1211

2

)du1arctanu2)ln1u221xxx[ln(12)tantan22

].．下列不定積分（1

4

；（2

dx

;（3

1

dx

；（

x

。解

f(

)xdx

t方法一：

32

12

)]4

12

2)/

14(4)2]d(42)(42)5/(42/53方法二：令

xt

則

dx2t

，于是42dx32t4tt)dcost4cos5t3t)5/35/2)x0時(shí)令sec(0（2)方法一

)

/

.

dx2

ttdtarccosttx

x

時(shí)，方法類結(jié)果為

dx2

arccos

1

.方法二：本題也可以通過雙曲函數(shù)代換達(dá)到去根號(hào)的目的。當(dāng)

x

時(shí)，令

ch

t

（

t0

x

時(shí)，方法類似，結(jié)果相同）

dx2

chtshtdtarctan(sht)x2t12t方法三：本題特別，作代換

2

也可以達(dá)到去根的目的。當(dāng)

x

時(shí)，令

x

2

，則

x

2

dx

1

2

，于是

dx2

arctanx2.t2)2當(dāng)

x0

時(shí),方法類似，令

，則

2

，結(jié)果相同方法四x1令，則t

t2

。于是當(dāng)0時(shí)有

dx

dt1

2

arcsintarcsin

1

當(dāng)

x0

時(shí)，

dx2

dt1

2

tarcsin

1

）方法一

Rx,

)dx

令n

x

，則

tx,2

dx

2tdt2)

于是

t21tdx1)12t

txarctan2121方法二x

(x,

ax

)

222222

x1

dx

xdxdxx[x2xx

dx]1dx2)[(1/x

dx2)]xx2(注：轉(zhuǎn)化為

后，也可以用代換

x

1sin2

求解）方法三：令

xsin2

，則

2sintcostdt

，于是

2sintcost2dx2)cost2x

2

.（4t

t

3

x

txt1

x

方法一：不妨設(shè)

0

（

0

時(shí)也類似）令

t

3

x

則

x

,

dxt2

，于是

xdx1

2

t5dt1

2

32

2

)

2

1

2

)d(1

2

)

35

(1

2

)

5/2

2

)

3/

2

35

(1x2)/22(12)/1（注：轉(zhuǎn)化為

3

t1

后，也可以再作代換

t

求解）方法二：令

t1

x

則

(

，

tt

2

，于是

x

tt3t3()x2)5/2x)/x.10．下列不定積（1）

3x

;（2)

lnxx)/2

;（3）

arcsin

dx

；

（4）

arctan22)

；(5）

xedxe

，（6

e

)

。解

cosxddxxdsin3xsin2dxx()(sin2sin2x2sin

cot)（2

xlnx1ln(1dx)/(1)/2

)

1lnlnxd121

dxx1

ln1

d(1/)1x)

ln1

1ln()x

ln1

ln

11x

（3本(

arcsinx

1arcsin

x

arcsinx

x

arcsinxx（4因?yàn)?/p>

1(arctanx2)x21

，所

xxx2

)

xd(arctanxx

x1x()x1x

x1xx()xdxxx2

arctanx2ln221（5

dxe

(ee

2

xd

2(e

e

dx)對(duì)積分

，令

e

，則

x

，

tdt12

，于是

ex

t2dt12

1C(1)dttarctan)12ex/2.

dxex

x2)e（6)

ex

x

)

dx

x)de

xe

edxex(1x)

e

x11)()xln(1).e1x11．下列不定積（1）

lnx2

；（2)

(1tan)dx

.解）

lnxdxx11dxx()dx2lnx2xlnxln2xlnx

4545

dxdxlnx2lnxlnx（2）

2dxtanxtanx)

2x

(sec

2

)

2

d

2x

tanxdx

2x

tanx

2

tan

2x

tanxdx2xtan.同練：求

。（

x3xx4

）

1x

。

(

1lnx

)

．

求

1x

。（

lnsin

）求

dx

。

(

4

)xx