七年級數(shù)學(xué)下冊全冊教案

七年級數(shù)學(xué)下冊全冊教案

1.1同底數(shù)嘉的乘法

譽(yù)闔圜櫥

1.理解并掌握同底數(shù)褰的乘法法則；（重點(diǎn)）

2.運(yùn)用同底數(shù)塞的乘法法則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.（難點(diǎn)）

問題：2015年9月24日，美國國家航空航天局（下簡稱：NASA）對外宣稱將有

重大發(fā)現(xiàn)宣布，可能發(fā)現(xiàn)除地球外適合人類居住的星球，一時間引起了人們的廣泛

關(guān)注.早在2014年，NASA就發(fā)現(xiàn)一顆行星，這顆行星是第一顆在太陽系外恒星

旁發(fā)現(xiàn)的適居帶內(nèi)、半徑與地球相若的系外行星，這顆行星環(huán)繞紅矮星開普勒

186,距離地球492光年.1光年是光經(jīng)過一年所行的距離，光的速度大約是3x

105km/s.問：這顆行星距離地球多遠(yuǎn)（1年=3.1536x107s）?

3x105x3.1536x107x492=3x3.1536x4.92x105x107x102=

4.6547136x10x105x107x102.

問題："10x105x107x102”等于多少呢？

二、合作探究

探究點(diǎn)：同底數(shù)幕的乘法

【類型一】底數(shù)為單項(xiàng)式的同底數(shù)嘉的乘法

m計算：(1)23x24x2；

(2)—a3?(—a)2?(—a)3；

⑶mn+1-mn?m2-m.

解析：(1)根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則進(jìn)行計算即可；(2)先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)

幕的乘法法則進(jìn)行計算即可；(3)根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則進(jìn)行計算即可.

解：(1)原式=23+4+1=28；

(2)原式=-a3-a2-(—a3)=a3-a2-a3=a8；

⑶原式=mn+l+n+2+l=a2n+4.

方法總結(jié)：同底數(shù)幕的乘法法則只有在底數(shù)相同時才能使用；單個字母或數(shù)可以

看成指數(shù)為1的褰，進(jìn)行運(yùn)算時，不能忽略了塞指數(shù)1.

【類型二】底數(shù)為多項(xiàng)式的同底數(shù)塞的乘法

例H計算：

⑴(2a+b)2n+l?(2a+b)3?(2a+b)n-4；

(2)(x-y)2-(y-x)5.

解析：將底數(shù)看成一個整體進(jìn)行計算.

解：⑴原式=(2a+b)(2n+l)+3+(n—4)=(2a+b)3n；

(2)原式=—(x—y)2-(x—y)5=—(x—y)7.

方法總結(jié)：底數(shù)互為相反數(shù)的幕相乘時，先把底數(shù)統(tǒng)一，再進(jìn)行計算.(a—b)

((b-a)"為偶數(shù))，

(b—a)"為奇數(shù)).

n=

【類型三】運(yùn)用同底數(shù)幕的乘法求代數(shù)式的值

m若822+3?81)—2=810,求2a+b的值.

解析：根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則，底數(shù)不變指數(shù)相加，可得a、b的關(guān)系，根

據(jù)a、b的關(guān)系求解.

解：???82a+3-8b-2=82a+3+b-2=810,??.2a+3+b-2=

10,解得2a+b=9.

方法總結(jié)：將等式兩邊化為同底數(shù)塞的形式，底數(shù)相同，那么指數(shù)也相同.

【類型四】同底數(shù)累的乘法法則的逆用

例■已知am=3,an=21,求am+n的值.

解析：把a(bǔ)m+n變成am?an,代入求值即可.

解：1am=3,an=21,二am+n=am?an=3x21=63.

方法總結(jié)：逆用同底數(shù)塞的乘法法則把a(bǔ)m+n變成am?an.

三、板書設(shè)計

1.同底數(shù)幕的乘法法則：

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

即am?an=am+n（m,n都是正整數(shù)）.

2.同底數(shù)塞的乘法法則的運(yùn)用

在同底數(shù)嘉乘法公式的探究過程中，學(xué)生表現(xiàn)出觀察角度的差異：有的學(xué)生只是側(cè)

重觀察某個單獨(dú)的式子，把它孤立地看，而不知道將幾個式子聯(lián)系起來；有的學(xué)生

則既觀察入微，又統(tǒng)攬全局，表現(xiàn)出了較強(qiáng)的觀察力.教師要善于抓住這個契機(jī)，

適當(dāng)對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，培養(yǎng)他們“既見樹木，又見森林”的優(yōu)良觀察品質(zhì).對于公

式使用的條件既要把握好“度"又要把握好“方向”

1.2塞的乘方與積的乘方

第1課時幕的乘方

譽(yù)闔圖櫥

1.理解塞的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)一步體會和鞏固幕的意義；（重點(diǎn)）

2.掌握幕的乘方法則的推導(dǎo)過程并能靈活應(yīng)用.（難點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

1.填空：

(1)同底數(shù)嘉相乘，不變，指數(shù)

(2)a2xa3=；10mx10n=

(3)(—3)7x(-3)6=；

(4)a?a2?a3=；

(5)(23)2=23-23=；

(x4)5=x4-x4-x4-x4-x4=.

2.計算(22)3；(24)3；(102)3.

問題：(1)上述幾道題目有什么共同特點(diǎn)？

(2)觀察計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(3)你能推導(dǎo)一下(am)n的結(jié)果嗎？請?jiān)囈辉?

二、合作探究

探究點(diǎn)一：幕的乘方

限n計算：

(1)(a3)4;(2)(xm—1)2；

(3)([24)3]3;(4)[(m-n)3]4.

解析：直接運(yùn)用(am)n=amn計算即可.

解：⑴(a3)4=a3x4=al2；

(2)(xm—l)2=x2(m—l)=x2m—2；

(3)[(24)3]3=24x3x3=236；

—n)3]4=(m—n)12.

方法總結(jié)：運(yùn)用嘉的乘方法則進(jìn)行計算時，一定不要將募的乘方與同底數(shù)嘉的乘

法混淆，在幕的乘方中，底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.

探究點(diǎn)二：幕的乘方的逆用

【類型一】逆用黑的乘方比較數(shù)的大小

IWI請看下面的解題過程：比較2100與375的大小.

解：???2100=(24)25,375=(33)25,又???24=16,33=27,16<

27,2100<375.

請你根據(jù)上面的解題過程，比較3100與560的大小，并總結(jié)本題的解題方法.

解析：首先理解題意，然后可得3100=(35)20,560=(53)20,再比較

35與53的大小，即可求得答案.

解：v3100=(35)20,560=(53)20,又?.?35=243,53=125,243

>125,即35>53,???3100>560.

方法總結(jié)：此題考查了累的乘方的性質(zhì)的應(yīng)用.注意理解題意，根據(jù)題意得到3

100=(35)20,560=(53)20是解此題的關(guān)鍵.

【類型二】逆用幕的乘方求代數(shù)式的值

m已知2x+5y-3=0,求4x-32y的值.

解析：由2x+5y—3=0得2x+5y=3,再把4x?32y統(tǒng)一為底數(shù)為2的

乘方的形式，最后根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則即可得到結(jié)果.

解：???2x+5y—3=0,二2x+5y=3,4x?32y=22x?25y=22x

+5y=23=8.

方法總結(jié)：本題考查了幕的乘方的逆用及同底數(shù)幕的乘法，整體代入求解也比較

關(guān)鍵.

【類型三】逆用嘉的乘方結(jié)合方程思想求值

11

IW1已知221=8y+l,9y=3x—9,則代數(shù)式3x+5y的值為.

解析：由221=8y+l,9y=3x-9得221=23（y+l）,32y=3x-

12

9,則21=3（y+l）,2y=x-9,解得x=21,y=6,故代數(shù)式暖+立

y=7+3=10.故答案為10.

方法總結(jié)：根據(jù)幕的乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到x和y的方程組，求出x、y,

再計算代數(shù)式.

三、板書設(shè)計

1.幕的乘方法則：

累的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

即（am）n=amn（m,n都是正整數(shù)）.

2.幕的乘方的運(yùn)用

段甑恩

塞的乘方公式的探究方式和前節(jié)類似，因此在教學(xué)中可以利用該優(yōu)勢展開教學(xué)，

在探究過程中可以進(jìn)一步發(fā)揮學(xué)生的主動性，盡可能地讓學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上,

通過自主探究，獲得塞的乘方運(yùn)算的感性認(rèn)識，進(jìn)而理解運(yùn)算法則

第2課時積的乘方

譽(yù)匐詢

1.掌握積的乘方的運(yùn)算法則；（重點(diǎn)）

2.掌握積的乘方的推導(dǎo)過程，并能靈活運(yùn)用.（難點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

1.教師提問：同底數(shù)塞的乘法公式和幕的乘方公式是什么？

學(xué)生積極舉手回答：

同底數(shù)幕的乘法公式：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

幕的乘方公式：幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

2.肯定學(xué)生的發(fā)言，引入新課：今天學(xué)習(xí)幕的運(yùn)算的第三種形式一一積的乘方.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：積的乘方

【類型一】直接運(yùn)用積的乘方法則進(jìn)行計算

說fi計算：(1)(-5ab)3;(2)—(3x2y)2；

4

⑶(一斑)2c3)3;(4)(—xmy3m)2.

解析：直接運(yùn)用積的乘方法則計算即可.

解：(1)(-5ab)3=(-5)3a3b3=-125a3b3；

⑵一(3x2y)2=-32x4y2=-9x4y2；

4

-

4364

(3)(—2c3)33a3b6c9=一27a3b6c9；

(4)(—xmy3m)2=(—1J2x2my6m=x2my6m.

方法總結(jié)：運(yùn)用積的乘方法則進(jìn)行計算時,注意每個因式都要乘方，尤其是字

母的系數(shù)不要漏乘方.

【類型二】含積的乘方的混合運(yùn)算

IWI計算：

(l)[-2a2)3-a3+(-4a)2-a7-(5a3)3；

(2)(-a3b6)2+(—a2b4)3.

解析：(1)先進(jìn)行積的乘方，然后根據(jù)同底數(shù)基的乘法法則求解；(2)先進(jìn)行積的

乘方和暴的乘方，然后合并.

解：（1）原式=-8a6,a3+16a2-a7—125a9=l8a9+16a9—125a9

=一117a9；

⑵原式=a6b12—a6b12=0.

方法總結(jié)：先算積的乘方，再算乘法，然后算加減，最后合并同類項(xiàng).

【類型三】積的乘方的實(shí)際應(yīng)用

?太陽可以近似地看作是球體，如果用V、R分別代表球的體積和半徑，那

4

么V=&rR3,太陽的半徑約為6x105千米，它的體積大約是多少立方千米（IT

取3）?

4

解析：將R=6xl05千米代入V=%R3,即可求得答案.

44

--

米

解

千33

VR=6X5V-nR3

:10105)378.64x1017(立方

千

米-

答：它的體積大約是8.64x1017立萬千米.

方法總結(jié)：讀懂題目信息，理解球的體積公式并熟記積的乘方的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

探究點(diǎn)二：積的乘方的逆用

【類型一】逆用積的乘方進(jìn)行簡便運(yùn)算

23

硒1計算：(3)2014X(2)2015.

3

335

解析：將（為2015轉(zhuǎn)化為百）2014再逆用積的乘方公式進(jìn)行計算.

32333

23-----

3

2=rX62OX2=2

解:原式=(3)2014x(為2014LP14

方法總結(jié)：對公式2展1511=（215）11要靈活運(yùn)用，對于不符合公式的形式，要

通過恒等變形轉(zhuǎn)化為公式的形式，運(yùn)用此公式可進(jìn)行簡便運(yùn)算.

【類型二】逆用積的乘方比較數(shù)的大小

m試比較大?。?13X310與210X312.

解：--?213x310=23x（2x3）10,210x312=32x（2x3）10,又???23〈

32,213x310<210x312.

方法總結(jié)：利用積的乘方，轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的同指數(shù)幕是解答此類問題的關(guān)鍵.

三、板書設(shè)計

1.積的乘方法則：

積的乘方等于各因式乘方的積.

即（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）.

2.積的乘方的運(yùn)用

教甑思

在本節(jié)的教學(xué)過程中教師可以采用與前面相同的方式展開教學(xué).教師在講解積的

乘方公式的應(yīng)用時.，再補(bǔ)充講解積的乘方公式的逆運(yùn)算：an-bn=（ab）n,同

時教師為了提高學(xué)生的運(yùn)算速度和應(yīng)用能力，也可以補(bǔ)充講解：當(dāng)n為奇數(shù)時，

（—a）n=-an（n為正整數(shù)）；當(dāng)n為偶數(shù)時，（一a）n=an（n為正整數(shù)）

1.3同底數(shù)幕的除法

第1課時同底數(shù)嘉的除法

譽(yù)匐圜櫥

1.理解并掌握同底數(shù)幕的除法運(yùn)算并能運(yùn)用其解決實(shí)際問題；（重點(diǎn)）

2.理解并掌握零次幕和負(fù)指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì).（難點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

一種液體每升含有1012個有害細(xì)菌，為了試驗(yàn)?zāi)撤N殺菌劑的效果，科學(xué)家們進(jìn)行

了實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)1滴殺菌劑可以殺死109個此種細(xì)菌.要將1升液體中的有害細(xì)菌

全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：同底數(shù)幕的除法

【類型一】直接運(yùn)用同底數(shù)嘉的除法進(jìn)行運(yùn)算

限n計算：

⑴（-xy）13+（-xy）8；

（2）（x-2y）3+（2y—x）2；

⑶(a2+l)7+(a2+l)4+(a2+l)2.

解析：利用同底數(shù)塞的除法法則即可進(jìn)行計算，其中(1)應(yīng)把(-xy)看作一個

整體；(2)把(x—2y)看作一個整體，2y—x=-(x-2y)；⑶把(a2+

1)看作一個整體.

解：(1)(—xy)13+(—xy)8=(—xy)13—8=(-xy)5=-x5y5；

(2)(x—2y)3+(2y—x)2=(x—2y)3+(x—2y)2=x—2y；

(3)(a2+l)7+(a2+l)4+(a2+l)2=(a2+l)7—4-2=(a2+l)l

=a2+1.

方法總結(jié)：計算同底數(shù)塞的除法時，先判斷底數(shù)是否相同或可變形為相同，再

根據(jù)法則計算.

【類型二】逆用同底數(shù)幕的除法進(jìn)行計算

例R已知am=4,an=2,a=3,求am—n—1的值.

解析：先逆用同底數(shù)累的除法，對am-n-l進(jìn)行變形，再代入數(shù)值進(jìn)行計

算.

2

解：ram=4,an=2,a=3,二am—n-1=am+an+a=4+2+3=3.

方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵是逆用同底數(shù)累的除法得出am—n—l=am+an+a.

m聲音的強(qiáng)弱用分貝表示，通常人們講話時的聲音是50分貝，它表示聲音

的強(qiáng)度是105,汽車的聲音是100分貝，表示聲音的強(qiáng)度是1010,噴氣式飛機(jī)

的聲音是150分貝，求：

(1)汽車聲音的強(qiáng)度是人聲音的強(qiáng)度的多少倍？

(2)噴氣式飛機(jī)聲音的強(qiáng)度是汽車聲音的強(qiáng)度的多少倍？

解析：(1)用汽車聲音的強(qiáng)度除以人聲音的強(qiáng)度，再利用“同底數(shù)塞相除，底數(shù)

不變，指數(shù)相減"計算；(2)將噴氣式飛機(jī)聲音的分貝數(shù)轉(zhuǎn)化為聲音的強(qiáng)度，再

除以汽車聲音的強(qiáng)度即可得到答案.

解：(1)因?yàn)?010+105=1010—5=105,所以汽車聲音的強(qiáng)度是人聲音的

強(qiáng)度的105倍；

(2)因?yàn)槿说穆曇羰?0分貝，其聲音的強(qiáng)度是105,汽車的聲音是100分貝，其

聲音的強(qiáng)度為1010,所以噴氣式飛機(jī)的聲音是150分貝，其聲音的強(qiáng)度為1015,

所以1015+1010=1015—10=105,所以噴氣式飛機(jī)聲音的強(qiáng)度是汽車聲

音的強(qiáng)度的105倍.

方法總結(jié)：本題主要考查同底數(shù)幕除法的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握其運(yùn)算性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

探究點(diǎn)二：零指數(shù)幕和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

【類型一】零指數(shù)幕

M若（x—6）0=1成立，則x的取值范圍是（）

A.x>6B.x<6

C.x，6D.x=6

解析：,?,（x-6）0=1成立，:x一6黃0,解得xH6.故選C.

方法總結(jié)：本題考查的是0指數(shù)幕成立的條件，非0的數(shù)的0次基等于1,注意

0指數(shù)塞的底數(shù)不能為0.

【類型二】比較數(shù)的大小

23

的囪I若a=（一?）—2,b=（—1）—1,c=（-2）0,則a、b、c的大

小關(guān)系是（）

A.a>b=cB.a>c>b

c>>bDb>>

caca

293

---

析

解34^

a--2-J

故

a>c>b選B

方法總結(jié)：本題的關(guān)鍵是熟悉運(yùn)算法則，利用計算結(jié)果比較大小.當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù),

指數(shù)為負(fù)整數(shù)時，只要把底數(shù)的分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

【類型三】零指數(shù)塞與負(fù)整數(shù)指數(shù)幕中底數(shù)的取值范圍

m若（x—3）0—2（3X—6）—2有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>3B.x=3且x，2

C.x/3或x，2D.x<2

解析：根據(jù)題意，若（x—3）0有意義，則x—3w0,即x/3.（3x—6）—2

有意義，則3x-6±0,即x黃2,所以xW3且x力2.故選B.

方法總結(jié)：任意非0的數(shù)的0次塞為1,底數(shù)不能為0,負(fù)整數(shù)指數(shù)累的底數(shù)不

能為0.

【類型四】含整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)塞與絕對值的混合運(yùn)算

I^|Q計算:—22+（一，）-2+（2015—IT）0—|2—2|.

解析：分別根據(jù)有理數(shù)的乘方、零指數(shù)塞、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕及絕對值的性質(zhì)計算出

各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算.

]nJI

解：―22+（一為-2+（2015—IT）0—|2—2|=-4+4+1-2+2=

n

2-1.

方法總結(jié)：熟練掌握有理數(shù)的乘方、零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)累及絕對值的性質(zhì)是

解答此題的關(guān)鍵.

三、板書設(shè)計

1.同底數(shù)幕的除法法則：

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

2.零次幕:

任何一個不等于零的數(shù)的零次幕都等于1.即a0=1（a40）.

3.負(fù)整數(shù)次累：

任何一個不等于零的數(shù)的一p（p是正整數(shù)）次幕，等于這個數(shù)p次褰的倒數(shù).即a

—p=/（a,0,p是正整數(shù)）.

從計算具體問題中的同底數(shù)塞的除法，逐步歸納出同底數(shù)暴除法的一般性質(zhì).教

學(xué)時要多舉幾個例子，讓學(xué)生從中總結(jié)出規(guī)律，體驗(yàn)自主探究的樂趣和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的

魅力，為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)

第2課時用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)

譽(yù)羽圜櫥

1.理解并掌握科學(xué)記數(shù)法表示小于1的數(shù)的方法；（重點(diǎn)）

2.能將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原為原數(shù).

一、情境導(dǎo)入

同底數(shù)幕的除法公式為am+an=am—n,有一個附加條件：m>n,即被除

數(shù)的指數(shù)大于除數(shù)的指數(shù).當(dāng)被除數(shù)的指數(shù)不大于除數(shù)的指數(shù)，即m=n或m<

n時;情況怎樣呢？

二、合作探究

探究點(diǎn)：用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)

【類型一】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)

限II2014年6月18日中商網(wǎng)報道，一種重量為0.000106千克，機(jī)身由碳纖

維制成，且只有昆蟲大小的機(jī)器人是全球最小的機(jī)器人，0.000106用科學(xué)記數(shù)法

可表示為()

A.1.06x10-4B.1.06x10-5

C.10.6x10-5D.106x10-6

解析：0.000106=1.06x10—4.故選A.

方法總結(jié)：絕對值小于1的數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為ax10-n,

其中l(wèi)va<10,n為正整數(shù).與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整

數(shù)指數(shù)累，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)前面的0的個數(shù)所決定.

【類型二】將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原為原數(shù)

m用小數(shù)表示下列各數(shù)：

(1)2x10-7;(2)3.14x10-5；

(3)7.08x10-3;(4)2.17x10-1.

解析：小數(shù)點(diǎn)向左移動相應(yīng)的位數(shù)即可.

解：(1)2x10-7=0.0000002；(2)3.14x10-5=0.0000314；

(3)7.08x10-3=0.00708；(4)2.17x10-1=0.217.

方法總結(jié)：將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)ax10-n還原成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的

小數(shù)點(diǎn)向左移動n位所得到的數(shù).

三、板書設(shè)計

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)：

一般地，一個小于1的正數(shù)可以表示為axlOn,其中l(wèi)va<10,n是負(fù)整數(shù).

從本節(jié)課的教學(xué)過程來看，結(jié)合了多種教學(xué)方法，既有教師主導(dǎo)課堂的例題講解,

又有學(xué)生主導(dǎo)課堂的自主探究.課堂上學(xué)習(xí)氣氛活躍，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性被充分調(diào)

動，在拓展學(xué)生學(xué)習(xí)空間的同時.，又有效地保證了課堂學(xué)習(xí)質(zhì)量

1.4整式的乘法

第1課時單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

譽(yù)羽圜櫥

1.復(fù)習(xí)幕的運(yùn)算性質(zhì)，探究并掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則；(重點(diǎn))

2.能夠熟練運(yùn)用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算并解決實(shí)際問題.(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

根據(jù)乘法的運(yùn)算律計算：

⑴2x-3y；⑵5a2b?(-2ab2).

解：(1)2x-3y=(2x3)-(x-y)=6xy；

(2)5a2b?(—2ab2)=5x(-2>(a2?a)?(b?b2)=-10a3b3.

觀察上述運(yùn)算，你能歸納出單項(xiàng)式乘法的運(yùn)算法則嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

【類型一】直接利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計算

例n計算：

25

(1)(一5a2b>&ac2；

(2)(一'x2y)3?3xy2?(2xy2)2；

1

(3)—6m2n-(x—y)3-^mn2(y—x)2.

解析：運(yùn)用幕的運(yùn)算法則和單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則計算即可.

5

2525-

9

解：（1）（一務(wù)2bA*ac2=一或“a3be23be2；

113

（2）（一±x2y）3?3xy2-（2xy2）2=—&6y3x3xy2x4x2y4=—^x9y9；

11

(3)—6m2n?(x-y)3?2(y—x]2=-6x^m3n3(x—y]5=-2m

3n3(x—y)5.

方法總結(jié)：(1)在計算時，應(yīng)先進(jìn)行符號運(yùn)算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；

(2)注意按順序運(yùn)算；(3)不要丟掉只在一個單項(xiàng)式里含有的字母因式；(4)此性

質(zhì)對于多個單項(xiàng)式相乘仍然成立.

【類型二】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式與同類項(xiàng)的綜合

例H已知一2x3m+ly2n與7x5m—3y5n—4的積與x4y是同類項(xiàng),

求m2+n的值.

解析：根據(jù)一2x3m+ly2n與7x5m—3y5n—4的積與x4y是同類項(xiàng)可

得出關(guān)于m,n的方程組，進(jìn)而求出m,n的值，即可得出答案.

解：??,-2x3m+ly2n與7x5m—3y5n—4的積與x4y是同類項(xiàng)，二

r_3

加=7

3/n+1+5/M—3=4,v

5143

2w+5w—4=1>.n=7j,--

解nZF得=1l7...m2+n="2.

方法總結(jié)：掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則，再結(jié)合同類項(xiàng)，列出二元一次

方程組是解題關(guān)鍵.

【類型三】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的實(shí)際應(yīng)用

m有一塊長為xm,寬為ym的長方形空地，現(xiàn)在要在這塊地中規(guī)劃一塊長

33

5xm,寬9m的長方形空地用于綠化，求綠化的面積和剩下的面積.

解析：先求出長方形的面積，再求出綠化的面積，兩者相減即可求出剩下的面

積.

332

解：長方形的面積是xym2,綠化的面積是x9=20xy(m2),則剩下的面積

9II

是xy—20xy=20xy(m2).

方法總結(jié)：掌握長方形的面積公式和單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵.

三、板書設(shè)計

1.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則：

單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)褰分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項(xiàng)式里

面含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

2.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的應(yīng)用

敬卷底題

本課時的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解單項(xiàng)式的乘法法則并能熟練應(yīng)用.要求學(xué)生在乘法的

運(yùn)算律以及累的運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究.教師在課堂上應(yīng)該處于引導(dǎo)位置，鼓

勵學(xué)生"試一試"，學(xué)生通過動手操作，能夠更為直接的理解和應(yīng)用該知識點(diǎn)

第2課時單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

1.能根據(jù)乘法分配律和單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則探究單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法

則；

2.掌握單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則并會運(yùn)用.(重點(diǎn)，難點(diǎn))

麒娥溟

一、情境導(dǎo)入

計算：(-12)、(5一3一百.我們可以根據(jù)有理數(shù)乘法的分配律進(jìn)行計算，那么

怎樣計算2x-(3x2—2x+1)呢？

二、合作探究

探究點(diǎn)：單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

【類型一】直接利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計算

例II計算：

21

(1)(5ab2—2ab)-5ab；

1

(2)—2x?(2y+3y—1).

解析：利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計算即可.

222IJI1

解：(1)(?ab2—2ab)-5ab=5ab2-5ab—2ab-5ab=?a2b3—a2b2；

11

(2)—2x-(2x2y+3y—1)=—2x-2x2y+(—2x)-3y+(—2x)-(—1)=

—x3y+(-6xy)+2x=-x3y-6xy+2x.

方法總結(jié)：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)

式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

【類型二】單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法的實(shí)際應(yīng)用

?一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬a米，下底寬(a+2b)米，壩

高5a米.

(1)求防洪堤壩的橫斷面面積；

(2)如果防洪堤壩長100米，那么這段防洪堤壩的體積是多少立方米？

解析：(1)根據(jù)梯形的面積公式，然后利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計算；

(2)防洪堤壩的體積=梯形面積x壩長.

解：⑴防洪堤壩的橫斷面面積

S=2[a+(a+2b)]x2a=4aC2a+2b)=2a

2+5ab(平方米).故防洪堤壩的橫斷面面積為(當(dāng)2+5ab)平方米；

(2)堤壩的體積V=S1=(務(wù)2+Wb)x100=50a2+50ab(立方米).故這段

防洪堤壩的體積是(50a2+50ab)立方米.

方法總結(jié)：本題要知道梯形的面積公式及堤壩的體積(堤壩體積=梯形面積x長

度)的計算方法，同時掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【類型三】利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式化簡求值

m先化簡，再求值：5a(2a2-5a+3)—2a2(5a+5)+7a2,其中

a—2.

解析：首先根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則去掉括號，然后合并同類項(xiàng)，最后

代入已知的數(shù)值計算即可.

解：5a(2a2-5a+3)-2a2(5a+5)+7a2=10a3-25a2+15a-

10a3-10a2+7a2=-28a2+15a,當(dāng)a=2時，原式=-82.

方法總結(jié)：本題考查了整式的化簡求值.在計算時要注意先化簡然后再代值計

算.整式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是去括號與合并同類項(xiàng).

三、板書設(shè)計

1.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加.

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法的應(yīng)用

敬卷底題

本節(jié)課在已學(xué)過的單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.教學(xué)中

注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生積極參與課堂活動，并通過不斷糾錯而提高解題

水平

第3課時多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

譽(yù)國圜櫥

1.理解多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，能夠按多項(xiàng)式乘法步驟進(jìn)行簡單的乘法運(yùn)

算；（重點(diǎn)）

2.掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則的應(yīng)用.（難點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n

米和b米.用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積.

學(xué)生積極思考，教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

這塊林區(qū)現(xiàn)在長為（m+n）米，寬為（a+b）米，因而面積為（m+n）（a+b）

平方米.

另外，如圖，這塊地由四小塊組成，它們的面積分別為ma平方米，mb平方米、

na平方米，nb平方米，故這塊地的面積為（ma+mb+na+nb）平方米.

由此可得（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.今天我們就學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以

多項(xiàng)式.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

【類型一】直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計算

物＞1計算：

(1)(3x+2)(x+2)；

(2)(4y—1)(5—y).

解析：利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計算，即可得到結(jié)果.

解：(1)原式=3x2+6x+2x+4=3x2+8x+4；

(2)原式=20y-4y2-5+y=-4y2+21y-5.

方法總結(jié)：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；多項(xiàng)

式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的

項(xiàng)數(shù)之積.

【類型二】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的混合運(yùn)算

例。計算：(3a+1)(2a—3)—(6a—5)(a—4).

解析：根據(jù)整式混合運(yùn)算的順序和法則分別進(jìn)行計算，再把所得結(jié)果合并即可.

解：(3a+1)(2a—3)—(6a—5)(a—4)=6a2—9a+2a-3—6a2+

24a+5a—20=22a—23.

方法總結(jié)：在計算時要注意混合運(yùn)算的順序和法則以及運(yùn)算結(jié)果的符號.

探究點(diǎn)二：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的化簡求值及應(yīng)用

【類型一】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的化簡求值

m先化簡，再求值：(a—2b)(a2+2ab+4b2)—a(a-5b)(a+3

b),其中a=-1,b=1.

解析：先將式子利用整式乘法展開，合并同類項(xiàng)化簡，再代入計算.

解：(a—2b)(a2+2ab+4b2)—a(a-5b)(a+3b)=a3—8b3一(a

2-5ab)(a+3b)=a3-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab2=-8b3

+2a2b+15ab2.當(dāng)a=-1,b=l時，原式=-8+2—15=-21.

方法總結(jié)：化簡求值是整式運(yùn)算中常見的題型，一定要注意先化簡，再求值，

不能先代值，再計算.

【類型二】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式與方程的綜合

M解方程：(x—3)(x—2)=(x+9)(x+1)+4.

解析：方程兩邊利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計算，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，將X系數(shù)

化為1,即可求出解.

解：去括號后得X2—5x+6=x2+10x+9+4,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得一15

7

x=7,解得x=-15.

方法總結(jié)：解答本題就是利用多項(xiàng)式的乘法，將原方程轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的方程解答.

【類型三】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的實(shí)際應(yīng)用

M千年古鎮(zhèn)楊家灘的某小區(qū)的內(nèi)壩是一塊長為(3a+b)米，寬為(2a+b)

米的長方形地塊，物業(yè)部門計劃將內(nèi)壩進(jìn)行綠化(如圖陰影部分)，中間部分將修

建一仿古小景點(diǎn)(如圖中間的正方形)，則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)a

=3,b=2時的綠化面積.

解析：根據(jù)長方形的面積公式，可得內(nèi)壩、景點(diǎn)的面積，根據(jù)面積的差，可得

答案.

解：由題意，得(3a+b)(2a+b)—(a+b)2=6a2+5ab+b2-a2—2

ab—b2=5a2+3ab(平方米).當(dāng)a=3,b=2時，，5a2+3ab=5x32

+3x3x2=63(平方米)，故綠化的面積是63平方米.

方法總結(jié)：掌握長方形的面積公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵.

【類型四】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式求待定系數(shù)的值

例Q已知ax2+bx+1(aH0)與3x—2的積不含x2項(xiàng)，也不含x項(xiàng)，求系

數(shù)a、b的值.

解析：首先利用多項(xiàng)式乘法法則計算出(ax2+bx+1)(3x—2),再根據(jù)積不

含x2項(xiàng)，也不含x項(xiàng)，可得含x2項(xiàng)和含x項(xiàng)的系數(shù)等于零，即可求出a與b

的值.

解：(ax2+bx+1)(3x—2)=3ax3—2ax2+3bx2—2bx+3x—2.「積

3

不含x2項(xiàng)，也不含x項(xiàng)，-2a+3b=o,-2b+3=0,解得b=Za

993

=4.??系數(shù)a、b的值分別是42

方法總結(jié)：解決此類問題首先要利用多項(xiàng)式乘法法則計算出展開式，合并同類項(xiàng)

后，再根據(jù)不含某一項(xiàng)，可得這一項(xiàng)系數(shù)等于零，再列出方程解答.

三、板書設(shè)計

1.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再

把所得的積相加.

2.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法的應(yīng)用

本節(jié)知識的綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生熟練掌握前面所學(xué)的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘及單

項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的知識，同時為了讓學(xué)生理解并掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則,

教學(xué)中一定要精講精練，讓學(xué)生從練習(xí)中再次體會法則的內(nèi)容，為以后的學(xué)習(xí)奠定

基礎(chǔ)

1.5平方差公式

卷國圜櫥

1.掌握平方差公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，以及對平方差公式的幾何背景的理解；（重點(diǎn)）

2.掌握平方差公式的應(yīng)用.（重點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

1.教師引導(dǎo)學(xué)生回憶多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則.

學(xué)生積極舉手回答.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別

乘以另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

2.教師肯定學(xué)生的表現(xiàn)，并講解一種特殊形式的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘一一平方

差公式.

二、合作探究

探究點(diǎn)：平方差公式

【類型一】直接運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計算

限11利用平方差公式計算:

(1)(3X-5)(3x+5)；

(2)(—2a-b](b—2a)；

(3)(—7m+8n)(—8n—7m)；

(4)(x—2)(x+2)(x2+4).

解析：直接利用平方差公式進(jìn)行計算即可.

解：(1)(3x-5)(3x+5)=(3x)2—52=9x2—25；

⑵(-2a—b)(b—2a)=(-2a)2—b2=4a2—b2；

(3)(—7m+8n)(—8n—7m)=(-7m)2—(8n[2=49m2-64n2；

(4)(x—2)(x+2)(x2+4)=(x2—4)(x2+4)=x4—16.

方法總結(jié)：應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項(xiàng)

式相乘，并且這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)右邊是

相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；(3)公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以

是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

【類型二】利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算

的R利用平方差公式計算：

12

--

3X3

2019(2)13.2x12.8.

1212

解析：⑴把20Kl9?寫成(20+?)X(20—？)，然后利用平方差公式進(jìn)行計算;

⑵把13.2x12.8寫成(13+0.2)x(13-0.2)，然后利用平方差公式進(jìn)行計算.

28

-

一3JLJL19

解：⑴20Gx(20+5)x(20-5)=202-f2=400

(2)13.2x12.8=(13+0.2)x(13-0.2)=132-0.22=169-0.04=168.96.

方法總結(jié)：熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.

【類型三】化簡求值

例?先化簡，再求值：(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x),其中x=

1,y=2.

解析：利用平方差公式展開并合并同類項(xiàng)，然后把x、y的值代入進(jìn)行計算即可

得解.

解：(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x)=4x2—y2—(4y2—x2)=4

x2—y2—4y2+x2=5x2—5y2.當(dāng)x=1,y=2時，原式=5x12—5

x22=-15.

方法總結(jié)：利用平方差公式先化簡再求值，切忌代入數(shù)值直接計算.

【類型四】平方差公式的幾何背景

陶H如圖①，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形(a>b),

把剩下部分拼成一個梯形(如圖②)，利用這兩幅圖形的面積，可以驗(yàn)證的乘法

公式是.

h

國①圖②

解析：???圖①中陰影部分的面積是a2—b2,圖②中梯形的面積是2(2a+2

b)(a—b)=(a+b)(a—b),a2—b2=(a+b)(a—b),即可驗(yàn)證的

乘法公式為(a+b)(a—b)=a2—b2.

方法總結(jié)：通過幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系可對平方差公式做出幾何解釋.

【類型五】平方差公式的實(shí)際應(yīng)用

m王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽.今年王大伯

對李大媽說："我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價租給你，

你看如何？"李大媽一聽，就答應(yīng)了.你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎？為什么？

解析：根據(jù)題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長后的面積，然后比較

二者的大小即可.

解：李大媽吃虧了.理由如下：原正方形的面積為a2,改變邊長后面積為(a+

4)(a-4)=a2-16.va2>a2-16):.李大媽吃虧了.

方法總結(jié)：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡解決問

題.

三、板書設(shè)計

1.平方差公式：

兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于它們的平方差.即(a+b)(a—b)=a2—b2.

2.平方差公式的應(yīng)用

賦副萌

學(xué)生通過“做一做"發(fā)現(xiàn)平方差公式，同時通過“試一試"用幾何方法證明公式的

正確性.通過這兩種方式的演算，讓學(xué)生理解平方差公式.本節(jié)教學(xué)內(nèi)容較多，因

此教材中的練習(xí)可以讓學(xué)生在課后完成

1.6完全平方公式

等謝)圜櫥

1.會推導(dǎo)完全平方公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算；(重點(diǎn))

2.靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計算.(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

計算：

(l)(x+l)2;(2)(x-1)2；

(3)(a+b)2;(4](a-b)2.

由上述計算，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

二、合作探究

探究點(diǎn)：完全平方公式

【類型一】直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計算

限n利用完全平方公式計算：

(1)(5-a)2；

⑵(-3m—4n)2；

⑶(—3a+b)2.

解析：直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計算即可.

解：⑴(5—a)2=25—10a+a2；

(2)(—3m—4n)2=9m2+24mn+16n2；

⑶(—3a+b)2=9a2-6ab+b2.

方法總結(jié)：完全平方公式：(a士b)2=a2±2ab+b2,可巧記為"首平方，末

平方，首末兩倍中間放".

【類型二】利用完全平方公式求字母的值

m如果36x2+（m+1）xy+25y2是一個完全平方式，求m的值.

解析：先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式確定m的值.

解：36x2+（m+1）xy+25y2=（6x）2+（m+1）xy+（5y）2,二（m

+1）xy=±2-6x-5y,m+1=±60,m=59或一61.

方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方

式.注意積的2倍的符號，避免漏解.

【類型三】靈活運(yùn)用完全平方公式的變式求代數(shù)式的值

I砸1若（x+y）2=9,且（x—y）2=l.

lI

（1）求*+丫的值；

⑵求（x2+l）（y2+1）的值.

解析：（1）先去括號，再整體代入即可求出答案；（2）先變形，再整體代入，即

可求出答案.

解：（l）；（x+y）2=9,（x—y）2=l,二x2+2xy+y2=9,x2—2

11%2療（x+y?:一句

xy+y2=1,二4xy=9—1=8,二xy=2,:.x'+丁=x'y'=力一

9-2X25

=~=4.

⑵丫仆+丫)2=9,xy=2,二(x2+l)(y2+l)=x2y2+y2+x2+l

=x2y2+(x+y)2—2xy+1=22+9—2x2+1=10.

方法總結(jié)：所求的展開式中都含有xy或x+y時，我們可以把它們看作一個整體

代入到需要求值的代數(shù)式中，整體求解.

【類型四】完全平方公式的幾何背景

IW1我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積

來解釋一些代數(shù)恒等式.例如圖甲可以用來解釋（a+b）2—（a-b）2=4ab.

那么通過圖乙面積的計算，驗(yàn)證了一個恒等式，此恒等式是（）

ffi?國乙

A.a2—b2=(a+b)(a—b)

B.（a—b）（a+2b）=a2+ab—2b2

C.（a—