河北省秦皇島市昌黎縣劉臺莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

河北省秦皇島市昌黎縣劉臺莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.則的圖象可由函數(shù)y=cosx的圖象（縱坐標(biāo)不變）

（

）A、先把各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,再向左平移個單位B、先把各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個單位C、先把各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個單位D、先把各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個單位參考答案：B2.已知全集U＝R，集合，，則（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B4.在（1+x）6（1+y）4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f（m，n），則f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210參考答案：C【考點】二項式定理的應(yīng)用．【專題】二項式定理．【分析】由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數(shù)，求和即可．【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系數(shù)是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系數(shù)是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系數(shù)是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故選：C．【點評】本題考查二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項式定理的應(yīng)用，考查計算能力．5.如圖所示，U是全集，M、N、S是U的子集，則圖中陰影部分所示的集合是()A．(?UM∩?UN)∩SB．(?U(M∩N))∩SC．(?UN∩?US)∪MD．(?UM∩?US)∪N參考答案：A6.已知三棱錐的正視圖與俯視圖如右圖,俯視圖是等腰直角三角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為參考答案：D略7.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)滿足|z|≤1，則y≥x+1的概率為A． B． C． D．參考答案：C在單位圓上動，故概率為8.已知函數(shù)的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D9.已知，，，則（

）A．

B．C.

D．參考答案：C10.函數(shù)的大致圖象是參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

.參考答案：12.計算：=

．（為虛數(shù)單位）參考答案：因為.13.＝

． （）參考答案：14.雙曲線x2-2y2=1的漸近線方程為______．參考答案：由雙曲線的方程知，所以雙曲線的漸近線方程為．15.函數(shù)的最小正周期為

▲

參考答案：π16.若函數(shù)為奇函數(shù)，則a=_____________

參考答案：17.設(shè)則_______

_.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，其中；（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)a的值，（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，若關(guān)于x的不等式，當(dāng)時恒成立，求t的值.參考答案：解:（Ⅰ）當(dāng)時，，解得經(jīng)驗證滿足條件，（Ⅱ）當(dāng)時，整理得令，則，所以，即∴

19.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0對任意x∈[e，e2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（e為自然常數(shù)）；（Ⅲ）求證ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題；不等式的證明．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=（x＞0），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，從而求導(dǎo)F′（x）=，再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最大值，從而化恒成立問題為最值問題即可；（Ⅲ）令a=﹣1，此時f（x）=﹣lnx+x﹣3，從而可得f（1）=﹣2，且f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而可得﹣lnx+x﹣1＞0，即lnx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，從而可得若n≥2，n∈N*，則有l(wèi)n（+1）＜＜=﹣，從而化ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）為ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；從而證明．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x＞0），當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，則F′（x）=，若﹣a≤e，即a≥﹣e，F(xiàn)（x）在[e，e2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，a≤，無解．若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，F(xiàn)（x）在[e，﹣a]上是減函數(shù)；在[﹣a，e2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤，∴﹣e2≤a≤．若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，F(xiàn)（x）在[e，e2]上是減函數(shù)，F(xiàn)（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，∴a＜﹣e2，綜上所述，a≤．（Ⅲ）證明：令a=﹣1，此時f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，則有l(wèi)n（+1）＜＜=﹣，要證ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*），只需證ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1；所以原不等式成立．20.為了調(diào)查甲、乙兩校高三年級學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績情況，用簡單隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績（百分制）作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：（Ⅰ）若甲校高三年級每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率（60分及60分以上為及格）；

（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為，估計的值.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）0.5

【知識點】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．I2解析：（Ⅰ）設(shè)甲校高三年級總?cè)藬?shù)為n，則=0.05，∴n=600，又樣本中甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的不及格人數(shù)為5，∴估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率1﹣=；（Ⅱ）設(shè)樣本中甲、乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為a1，a2，由莖葉圖可知，30（a1﹣a2）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，∴a1﹣a2==0.5．∴利用樣本估計總體，故估計x1﹣x2的值為0.5．【思路點撥】（Ⅰ）先設(shè)甲校高三年級總?cè)藬?shù)為n，利用甲校高三年級每位學(xué)生被抽取的概率為0.05得=0.05求出n，又樣本中甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的不及格人數(shù)為5，利用對立事件的概率可估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率；（Ⅱ）設(shè)樣本中甲、乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為a1，a2，利用莖葉圖中同一行的數(shù)據(jù)之差可得30（a1﹣a2）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，從而求出a1﹣a2的值，最后利用樣本估計總體的思想得出結(jié)論即可．21.（本小題滿分10分）【選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點的極坐標(biāo)為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求點到曲線上的點的距離的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）由點M的極坐標(biāo)為，得點M的直角坐標(biāo)為(4，4)，所以直線OM的直角坐標(biāo)方程為．

……（4分）（Ⅱ）由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù))，化成普通方程為：，

圓心為A(1，0)，半徑為．

由于點M在曲線C外，故點M到曲線C上的點的距離最小值為．

………………（10分）22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的部分