高中數(shù)學(xué)三角恒等式變形解題常用方法

高中數(shù)學(xué)三角恒等式變形解題常用方法.知識(shí)分析三角函數(shù)恒等變形公式1）兩角和與差公式sin(ct±p)=sinetcos|3±cosctsinpcos(ct±|3)=cosot-cospi-isinotsinptanMp>UncciUnP1|-Ltanatanp二倍角公式sin2ct=2sinetcosctcos2ct=cosct-sinct.=2coso.-l=l-2sinct小2tancttan2ct.=1一tanJCL三倍角公式sin3a=3sinct-4sin3ctcos3ct.=4cos3ct.-3cosct.4）半角公式1+cosct5）萬能公式C0S-|=±6）積化和差6）積化和差1-tan2-cosa=—1+tan2—,sinotcos|3=isin(ct+|3)+sin(ct-內(nèi)]cosctsinp=i[sin(ct+內(nèi)-sin(Ct-p)]cosotcosp=i[cos(ot.+|3)+cos(ct-p)]cos(ct+13)cos(ct+13)-cosfet-p)](7)和差化積sinat.+sinp=2sinsina-sinp=2cos^^sma-sina-sinp=2cos^^sma-p"I",ct-p丁,2.ct-p丁,2.網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)心cPCOSCt+cosp=2cos—-—cos1一tan*Cdtanor±tan目tan(◎土冏=1|_ltanStancosCd-smCdcosCd-smCdsin2or=2sinseesa相除cos2if2cosa-11-2sina相加減ir2氐1+cosar=2cos—21一cosor=2sin2號(hào)sinSeos0=￡衣門(ir2氐1+cosar=2cos—21一cosor=2sin2號(hào)sinSeos0=￡衣門(4+向+smfor-勸一-二匚sinfor+向一smfor-育cosarsin變形cosorcos=匚°￡(e+0)lr+cosfor-0)sinssmR=2Lcos(o;+角-cosfs-則.氐

sm—二21-cosorA=e+RB=a-acos—二21+cos氐相除任一心①相除任一心①tan-±J2H+cosa

_sinCd_1-cose1+cosssinCdh?d<-、■貝+呂A—BsinH+sm&=2sincos22A.rcA+B.A—Bsin-sm=2cossm22”n山+￡A~BcosA+cosB=2coscos22Hnr-.-A+B.A—BcosA一cosB=-2.sinsin22基礎(chǔ)知識(shí)疑點(diǎn)辨析正弦、余弦的和差角公式能否統(tǒng)一成一個(gè)三角公式？實(shí)際上，正弦、余弦的和角公式包括它們的差角公式，因?yàn)樵诤徒枪街?，P是一個(gè)任意角,可正可負(fù)。另外，公式匚曲兀邛雖然形式不同，結(jié)構(gòu)不同，但本質(zhì)相同：cos(ct+|3)—cos(ct.-|3)—sm(o.+13)—sm(o.-p)。

（2）怎樣正確理解正切的和差角公式？正確理解正切的和差角公式需要把握以下三點(diǎn)推導(dǎo)正切和角公式的關(guān)鍵步驟是把公式皿3內(nèi)，右邊的“分子”、“分母”都除以曲曲汎，從而“化弦為切”，導(dǎo)出了兀卄。公式8綣邛都適用于比P為任意角，但運(yùn)用公式監(jiān)邛時(shí)，必須限定莖E,①土卩都不9ot1-cosottan—=9ot1-cosottan—=tan—=得到，由此得到的三個(gè)公式:用一^代替P，可把兀邙轉(zhuǎn)化為兀邛，其限制條件同②。（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些應(yīng)用？不用計(jì)算器或查表，只通過筆算求得某些特殊角（例如15°,75°，105。角等）的三角函數(shù)值。能由兩個(gè)單角代P的三角函數(shù)值，求得它們和差角的三角函數(shù)值；能由兩個(gè)單角代P的三角函數(shù)值與這兩個(gè)角的范圍，求得兩角和的大小（注意這兩個(gè)條件缺一不可）。能運(yùn)用這些和（差）角公式以及其它有關(guān)公式證明三角恒等式或條件等式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，要注意公式可以正用，逆用和變用。運(yùn)用這些公式可求得簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的最大值或最小值。（4）利用單角的三角函數(shù)表示半角的三角函數(shù)時(shí)應(yīng)注意什么？■：」丄丄一■,L-'J!：■—先用二倍角公式導(dǎo)出，再把兩式的左邊、右邊分別相除,L-lUI——亠.I分別叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根號(hào)前的符號(hào)，由2所在的象限來確定，如果沒有給出限制符號(hào)的條件，根號(hào)前面應(yīng)保持正、負(fù)兩個(gè)符號(hào)。另外，容易tan—==證明21+cosCtsinot.三角函數(shù)變換的方法總結(jié)三角學(xué)中，有關(guān)求值、化簡(jiǎn)、證明以及解三角方程與解幾何問題等，都經(jīng)常涉及到運(yùn)用三角變換的解題方法與技巧，而三角變換主要為三角恒等變換。三角恒等變換在整個(gè)初等數(shù)學(xué)中

涉及面廣，是常用的解題工具，而且由于三角公式眾多，方法靈活多變，若能熟練掌握三角恒等變換的技巧，不但能加深對(duì)三角公式的記憶與內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力都大有益處。下面通過例題的解題說明，對(duì)三角恒等變換的解題技巧作初步的探討研究。變換函數(shù)名對(duì)于含同角的三角函數(shù)式，通常利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，通過“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途徑來減少或統(tǒng)一所需變換的式子中函數(shù)的種類，這就是變換函數(shù)名法．它實(shí)質(zhì)上是“歸一”思想，通過同一和化歸以有利于問題的解決或發(fā)現(xiàn)解題途徑?！纠?】已知e同時(shí)滿足asec29-icose=2(3和乩-處亡匚6二比，且a、b均不為0求a、b的關(guān)系。解析解析：已知L顯然有：cosO^0由①Xcos20+②Xcos0，得：2acos20+2bcos0=0即有：acose＋b=0又aH0所以，cos0=—b/a③將③代入①得：a(-a/b)2-b(―b/a)=2a即a4+b4=2a2b2?：(a2-b2)2=0即丨a1=1bI點(diǎn)評(píng)：本例是“化弦”方法在解有關(guān)問題時(shí)的具體運(yùn)用，主要利用切割弦之間的基本關(guān)系式。變換角的形式對(duì)于含不同角的三角函數(shù)式，通常利用各種角之間的數(shù)值關(guān)系，將它們互相表示，改變?cè)堑男问?，從而運(yùn)用有關(guān)的公式進(jìn)行變形，這種方法主要是角的拆變．它應(yīng)用廣泛，方式靈活，如a可變?yōu)?a+p)—0；2a可變?yōu)?a+p)+(a-p)；2a-p可變?yōu)?a-p)+a；a/2可看作a/4的倍角；(45°+a)可看成(90°+2a)的半角等等。【例2】求sin(0+75°)+cos(0+45°)—胎cos(0+15°)的值。

解析：設(shè)8+15°=a，貝V原式=sin(a+60°)+cos(a+30°)—冉cosa=(sina=(sinacos60°+cosasin60°)+(cosacos30°－sinasin30°)V^cosa=2sina=2sina+2cosa+2cosa2sinaV^cosa=0點(diǎn)評(píng)：本例選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)慕菫椤盎玖俊保瑢⑵溆嗟慕亲兂赡程厥饨桥c這個(gè)“基本量”的和差關(guān)系，這也是角的拆變技巧之一。sin【例3】已知sina=Asin(a+0)(其中cospHA),試證明：tan(a+0)=cos貝證明：已知條件可變?yōu)椋簊in[(a+p)—p]=Asin(a+p)所以有：sin(a+0)cos0－cos(a+0)sin0=Asin(a+0)?°?sin(a+0)(cosp—A)=cos(a+P)sinpsinp???tan(a+0)=匚恥0一月點(diǎn)評(píng)：在變換中通常用到視“復(fù)角”為“單角”的整體思想方法，它往往是尋找解題突破的關(guān)鍵。(3以式代值利用特殊角的三角函數(shù)值以及含有1的三角公式，將原式中的1或其他特殊值用式子代換，往往有助于問題得到簡(jiǎn)便地解決。這其中以“1”的變換為最常見且最靈活?！?”可以看作是sin2x+cos2x,sec2x—tan2x,csc2x—cot2x,tanxcotx,secxcosx,tan45。等，根據(jù)解題的需要，適時(shí)地將“1”作某種變形，常能獲得較理想的解題方法。1-sinex-cos6x【例4】化簡(jiǎn)：1-sin4x-cos4x(sin2x+cos2x)3-sin6x-cos6x解析：原式=伽O+cos2x)-sin4x-cos4x3sin4xcos2x+3sin2xcos4x=2sin2xcos2忑

3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)=2sin2疋匚os2x3點(diǎn)評(píng)：1=“如U+込U”的正用、逆用在三角變換中應(yīng)用十分廣泛。（4）和積互化積與和差的互化往往可以使問題得到解決，升冪和降次實(shí)際上就是和積互化的特殊情形這往往用到倍、半角公式?！纠?】解三角方程：sin2x＋sin22x=sin23x解析：原方程變形為：2(1—cos2x)+2即：(1—cos4x)=2(1—cos2x)+2即：1+cos6x=cos2x+cos4x2cos23x=2cos3xcosx得：解得cos3xsin2xsinx得：解得cos3xsin2xsinx=017F1x=3靶真+6或x=2抵真7T???原方程的解集為｛xlx=E細(xì)■+6或點(diǎn)評(píng)：題中先降次后升冪，這種交錯(cuò)使用的方法在解三角方程中時(shí)有出現(xiàn)，其目的是為了提取公因式。（5）添補(bǔ)法與代數(shù)恒等變換一樣，在三角變換中有時(shí)應(yīng)用添補(bǔ)法對(duì)原式作一定的添項(xiàng)裂項(xiàng)會(huì)使某些問題很便利地得以解決。將原式“配”上一個(gè)因子，同時(shí)除以這個(gè)式子也是添補(bǔ)法的一種特殊情形。例6】求證：例6】求證：sin2x(sinx+cosx-l)(sinx-cosx+1)1+cosx=sinx（sinx+cosx）2-1證明：左邊=〔血疋+匚?！犟庖?）（血x-匚°￡疋+1）(sinx+cosx+1)sinx=(sinx-cosx+1)sinx(1-cos2x)+sinx(l+cosx)—(sinx-cosx+l)sinx(1+cosx)(l一cosx+sinx)=(sinx-cosx+1)sinx1+cosx—e血疋—右邊???原式成立。點(diǎn)評(píng)：本例中采用“加一項(xiàng)再減去一項(xiàng)”，“乘一項(xiàng)再除以一項(xiàng)”的方法，其技巧性較強(qiáng)目的都是為了便于分解因式進(jìn)行約分化簡(jiǎn)。（6）代數(shù)方法三角問題有時(shí)稍作置換，用各種代數(shù)方法對(duì)三角函數(shù)式作因式分解、等量置換等的變形，從而將三角問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題來解，而且更加簡(jiǎn)捷。這其中有設(shè)元轉(zhuǎn)化、利用不等式等方法?！纠?】銳角a、P滿足條件匚宀加q，則下列結(jié)論中正確的是（）真兀A.a+0工2B.a+p<2C.a+0>2D.a+0—2整理得：a－整理得：a－b)2—0即a—b即：sin2a—cos20（a，0同為銳角）即：sina—cos0???a+0—5,故應(yīng)選D。點(diǎn)評(píng)：本例用設(shè)元轉(zhuǎn)化法將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。換元法這種數(shù)學(xué)思想應(yīng)用十分廣泛往往能收到簡(jiǎn)捷解題的效果．7）數(shù)形結(jié)合

有的三角變換問題蘊(yùn)含著豐富的幾何直觀，此時(shí)若能以數(shù)思形，數(shù)形滲透，兩者交融，則可開辟解題捷徑。利用單位圓，構(gòu)造三角形，利用直線、曲線的方程等方法都是數(shù)形結(jié)合的思想。例9】已知：例9】已知：sins+sincoscos=,嚴(yán)，，求M^+^)的值。解析：J點(diǎn)A(匚恥區(qū)如⑵，竝Q均在單位圓上。由已知條件知：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為C(l/6,l/8)，即直線AB過定點(diǎn)C如下圖所示厶0C=厶0C=tan(or+^)=—???據(jù)萬能公式得：點(diǎn)評(píng)：本題用和差化積公式也不難求得，但在三角問題中利用單位圓是常見的研究方法。數(shù)形結(jié)合方法在三角變換中應(yīng)用類型頗多，篇幅所限，僅舉一例，本文不贅。從六、七兩種方法可以看出，將代數(shù)、幾何與三角有機(jī)聯(lián)系起來，綜合運(yùn)用，在解三角變換題中，不僅構(gòu)思精巧，過程簡(jiǎn)易，趣味橫生，而且還溝通數(shù)學(xué)知識(shí)的縱橫關(guān)系，也有利于多向探求，廣泛滲透提高和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。以上探討了三角變換中的七種變換思想和解題方法，在實(shí)際解題中這些方法是交織在一起的，混合于同一問題中靈活使用。掌握這些變換方法的前提是熟悉公式，善于公式的變形運(yùn)用，同時(shí)注意縱橫聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)用發(fā)散性的思維考慮問題。三角變換的技巧除了以上七個(gè)方面外，還有平方消元，萬能置換，利用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，利用輔助角，借用復(fù)數(shù)表示等方法我們以后有機(jī)會(huì)再介紹。非特殊角的化簡(jiǎn)、求值問題的解題方法探究非特殊角的化簡(jiǎn)求值是給角求值中一類常見的三角求值類型，對(duì)于此類求值問題，由于涉及到的三角公式及其變形靈活多樣，因而如何利用三角公式迅速準(zhǔn)確的求值應(yīng)是解決這類問題的重點(diǎn)，現(xiàn)在我們通過一個(gè)題目的解法探尋，體會(huì)非特殊角三角函數(shù)的求法。【題目】求廠曲測(cè)+4沁20。的值。分析1：這是一道給角求值中非特殊角的化簡(jiǎn)求值問題，仔細(xì)觀察可看出在所求式子中有一項(xiàng)是正切函數(shù)、一項(xiàng)是正弦函數(shù)，因此通常運(yùn)用切割化弦，然后通過通分化簡(jiǎn)，使其化為特殊的三角函數(shù)值。解法1：,y=tan20°+4sin20°=Sin2°°+4sm20°cos20°_sin200+4sm20°cos200_sm20°+2sm40°COS20000320°2sm30cos100+sin40°cos100+sin40ocos20°cos20°_亂述0°+如40°_2sin60°uos20°COS200cos20°=2sm60°=a/3點(diǎn)評(píng)：通分以后，要將和式轉(zhuǎn)化為積式，需將2sm40°拆項(xiàng)為sin40o+sm40o,這是將和式轉(zhuǎn)化為積式中常用的變形手段，在將和差化積后要盡可能的出現(xiàn)特殊角特殊值，這樣才有可能使化簡(jiǎn)得以進(jìn)行下去。分析2：運(yùn)用切割化弦，通過通分化簡(jiǎn)后，若不考慮將和式轉(zhuǎn)化為積式，而是對(duì)角進(jìn)行變換，觀察到運(yùn)算的式子中出現(xiàn)的兩角為20°,40°,與特殊角比較則會(huì)有60°—40°=20°,變角后再應(yīng)用兩角差的正弦公式展開進(jìn)行化簡(jiǎn)。解法2：y=tan20°+4sin20°cos20°sin20°+4sin20°cos200COS200亂口20°+2￡11140°cos20°

sin20o+2sm(60o-20°)cos20°sin20°+2sin60c，cos20c，一2cos600sin20°

COS200sin60°c0s2Oo-cos60°sin20°2sin60°COs2°^2S1n60-V3cos20°分析3：我們?cè)谶\(yùn)用“切割化弦”時(shí)，若不利用商數(shù)關(guān)系^=uosB,而是將tan2O2sin60°COs2°^2S1n60-V3cos20°分析3：我們?cè)谶\(yùn)用“切割化弦”時(shí)，若不利用商數(shù)關(guān)系^=uosB,而是將tan2O0利用01-COSStan—=半角公式2sm6進(jìn)行化弦，也能進(jìn)行求值。解法3：y=tan20°+4sin20°上竺竺+4迪沖sm40°l-c0s4Oo+4sm2O°sm40°sm40°-cos40°一2(c0s6Oo一cos20°)sm40°cos20°-COS400sm40°2cos(60°-40°)-cos40°sin40°2cos60°COS400+2sin60°sin40c，-cos40c，sm40°00340°+V3sin40°-00340°sin40°73sin40Q_sin40°分析4：從以上路徑可以看出tan20°+4sin20°=73，而亦是一個(gè)特殊的三角函數(shù)值，考慮它等于什么呢？囪60。=擊，因而考慮可否會(huì)有tan20°+4sm20o=tan60°，這樣問題就轉(zhuǎn)化為等式的驗(yàn)證。解法4：?tan60°-tan20°=sm60Qsm20Qcos600cos20000560°00320°sin(60°-20°)2sin40°00360°cos20°cos20°=色竺竺竺“麗2000360°cos20°cos20°=色竺竺竺“麗20。cos20°.?.有tan20°+4sm20°=tan60°=J5點(diǎn)評(píng)：本路徑采用了綜合法，只進(jìn)行等式tan20°+4sm20°=tan60°的驗(yàn)證，問題就得以解決。分析5：利用倍角公式可得到sin4Oo=2S1n2O°c0S2Oo,能否再對(duì)角進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，出現(xiàn)特殊角，我們發(fā)現(xiàn)40°=60°—20°，這樣變角后利用兩角差的正弦公式展開化簡(jiǎn)，也能求值。解法5：?sin40°=2sin20°cos20°將等式可寫成sin(60o-20°)=2sm20°cos20°sin60°cos200-cosSO0sin20°=2sin20°cos20°sm20°+4sin20°00320°=-J3cos20°兩邊同除以C0S2O°得tan20°+4sm20o=^/3點(diǎn)評(píng)：本題利用綜合法求得了涵測(cè)+4池狩的值，在這里首先進(jìn)行角的變換，然后利用兩角差的正弦公式展開，合并同類項(xiàng)后，再進(jìn)行弦化切割，從而得到所要求的值。以上我們探尋了不查表求非特珠角的三角函數(shù)的值的問題，對(duì)于這類問題，要從多方面考慮解決的方法，在這里我們是從三角函數(shù)的“變名”“變角”“變式”“切割化弦”弦化切割”等方面而進(jìn)行了三角恒等變形，這在以后的學(xué)習(xí)訓(xùn)練中要逐步體會(huì)掌握。典型例題】我+13^-1例1.化簡(jiǎn)cos^3n+a)+cos^3n—a)，其中k^Z。解析：解法一：

ITTIT7T…--耳+a)]+cos[kn—O+a)]=coskncosO+a)—TLTLTLTLsink(k兀當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，原式=2cos(3+a)=cosa一屈sina7T當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，原式=—2cosO+a)=忑sina—cosansinOsink(k兀當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，原式=2cos(3+a)=cosa一屈sina7T當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，原式=—2cosO+a)=忑sina—cosacoscos，[kn總之，原式=(—1)k(cosa—屁sina),keZTOC\o"1-5"\h\z7[7[解法二：由(kn+3+a)+(kn—3—a)=2kn，知TT7T7TW—a)=cos[2kn—O+a+kn)]=cos[—(kn+3+a)]7T(kn+3+a)TT7T…-3+a)=2X(—1)kcos(3+a)=(—1)k(cosa一巒sina其中keZTT7T7T…-3+d)+cos(kn—3—a)=cos[kn+O+a)]+cosIT—(W+d)］這就啟發(fā)我們用余弦的和(差)角公式。1tana,例2.已知sin(a+0)=3cos(a例2.已知sin(a+0)=3解析：解法一：由已知條件及正弦的和(差角公式，

2sinorcos8+cosorsin8=—3sinSeosp-cosorsin21總3+51330.'.sinarcos=三二3021357cosssin3二30tanesinSeostanPcosorsinp30133013—x—=—77tana解法二：（設(shè)未知數(shù)）令x=tan0sin(^+_2530tanesinSeostanPcosorsinp30133013—x—=—77tana解法二：（設(shè)未知數(shù)）令x=tan0sin(^+_2510tanaJ+1coscrcostana+tanj3tanQ￡in〔e—Q)tan氐一tangtan①_〔x-1coscrcos0tana13=X=—解之得曲/例3.在注中，宀+心弓皿皿心求t如山的值和MBC的面積。解析：解法一：解方程組sin山+匚恥衛(wèi)二豐sin2yl+cos2A=}得，故^c=^AC.AB8mA=^.2.3^^=^/2+46}sinj4+cosA=解法二：由：2及衛(wèi)+匚。￡貝）'=1+2￡in衛(wèi)匚?！晷l(wèi)得2sinj4cosA=-—,(sinA-cosj412=—可得因?yàn)閟in71+cosA<\，所以90°<A<180°，故sin71-cos?1>0，即罷+岳smA=42-、區(qū)cosA=廠解方程組，故t如/解方程組以下同解法一）解法三因?yàn)殄?“宀辰噸沖畔,所以又0口吃川＜180°,故川—4乎=6代貝=10乎，t心-朽以下同解法一）例4.sinJ20°+cosJ50°+sin20°cos50°解析：解法一：此題可利用降冪、積化和差、和差化積等公式進(jìn)行恒等變形化簡(jiǎn)。原式=原式=（如20°+匚恥50°)2-sin20°cos50°sin70°+sin(-30°)]二(sin2O°+c0s5O°)2-|[；sin70°+sin(-30°)]=[2sin30°cos(-10°)f-|sm70°+i二cos210°-lsin70°+l24l+cos20°1“c1=cos20+—24解法二：利用“整體配對(duì)”思想，構(gòu)造對(duì)偶式來解題解法二：利用“整體配對(duì)”思想，構(gòu)造對(duì)偶式來解題設(shè)山二設(shè)山二sin20°+cos50°+sin20°cos50°B-cos20°+sin50°+cos20°sin50°貝yj4+5=2+sin70°J4-5=-sm70°-|兩式相加得"冷

7Tcos—一cos例5.（第5屆IMO試題）證明112tt3tt7Tcos—一cos例5.（第5屆IMO試題）證明112tt3tt1

——+cos——=—72A=解析：設(shè)兀2tf3ttcos—-cos——+cos77E=siny-sin2tt.3tt——+sin——77A2=cos2y+cos開2就「、兀5,、cos—cos+2cos—cos——一2cos7772jf3jt——cos—n2?2打-2.2c.7F.2ttc?5=sin—+sin——+sin——-2sin—sin——+2sin77777才+護(hù)=3_4cos^+2c0s—777T.3tTysin2tt.3tt

——sin——

77A2-B2=-cosy+3cos2tt=3tf——-Deos——77.??2A2=3-5A舍去）模擬試題】、選擇題：1.已知勺旺，貝lbine+cosa的值為1.已知勺旺，貝lbine+cosa的值為A.2C.D.2.*cos54^的值為A.0B.2C.D.A.0B.2C.D.3.t如20*+t加40*+苗tan2CTtan4CT的值為（A.1B.3C.則此三角形的形狀為（）則此三角形的形狀為（）4.山1呂C的兩內(nèi)角A,B滿足sm?lsinBccos^lcos^,A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定5已知t如（筒+Q）二3,tan（氐_￡）二5,則t如的值為（A.1D.6.叱h?吒*:則現(xiàn)+血的值為（）A.2B.－1C.7T則的值為A.cossin&B.A.cossin&B.smcos3D.8.函數(shù).y^smS+cosS的值域是（A.B.71C.132?A.B.71C.132?2D.9.已知等腰三角形頂角的余弦值等于則這個(gè)三角形底角的正弦值為（）A.10B.C.D.10A.10B.C.D.101°t如70lo￡10*（＞/5tan2CT-1）等于（）A.－1B.A.－1B.1C.2D.－2二、填空題在O5C中，已知tanA,tanB是方程3x2-7x+2=0的兩個(gè)實(shí)根，則tanC=3sm2x+2cos2x已知tanx=2，貝廿咖2疋-張疋的值為sin220^+cos250*+sin20*cos50^二—觀察下列各等式：罰亍+曲"+通“心』宀2。+小5『+曲2仏討=|，根據(jù)其共同特點(diǎn)，寫出能反映一般規(guī)律的等式

已知直線A是之間的一定點(diǎn)，并且A點(diǎn)到的距離分別為血1曲2,B是直線上一動(dòng)點(diǎn)，作AC丄AB,且使AC與直線勺交于點(diǎn)C,則^ABC面積的最小值為三、解答題：1+sin2^-cos2315.化簡(jiǎn)1+sin2^+cos2&cos16.已知=-，求t曲cos16.已知=-，求t曲gtanp的值17.證明：2-231!!^+—^r真、cose+—I4丿cossin撫1+tanCd1-tan◎18.知函數(shù)畀=￡山2兀+￡血敢+孔?！骸盖蠛瘮?shù)的最小值及此時(shí)的疋的集合2)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間此函數(shù)的圖像可以由函數(shù)y=^^2x的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到19.已知向量(1)當(dāng)總=0,且詼〃"時(shí)，求如20的值(2)當(dāng)◎二零，且；丄；時(shí)，求匚加2日的值【試題答案】一、選擇題：1.C2.B6.C7.B二、填空題：3.D4.C5.A8.D9.C10.A11.－712.sin2or+cos2(or+30°)+sinorcos(or+30°)=—13.14.應(yīng)也2三、解答題15.解：_l+sm2^-(l-2sm2^)_2smcos^+2sm2原式15.解：2sin^(cos^+sin&):=tan82cos^[cossin&)16.解：2）2）17.略18.解：(◎+0)=cosorcos0—sinorsin0=￡cosfs-0)=cosarcosQ+sinorsinfi=~cos(1)

⑵+（）嚴(yán)2匚恥航0=￡■⑶2sinorsmg=—(1)得2（4）一tanortan(3)得由加=2-旋,時(shí),此時(shí)，由1）當(dāng)2出=2"務(wù)得2）由穌+彳心+尹切乎得減區(qū)間為33）7T其圖像可由八忑沁2x的圖像向左平移耳個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位而得到。TW..19.(1)由，得⑵由Ifl}■—；C0^>/7=-sm—-—cGs^~0而sm+cos3=上￡,艮卩得_2所以cos2&關(guān)于簡(jiǎn)單三角變換的問題1、同角的三角函數(shù)有三種關(guān)系：平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1；商式關(guān)系：■^^-=tana；cosa倒數(shù)關(guān)系：tanacota=1．它們的主要應(yīng)用有：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)，求其他兩個(gè)；（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；（3）證明簡(jiǎn)單三角恒等式等．同角三角函數(shù)變換，要突出弦、切互化，同時(shí)要注意各種變換技巧，如'T可以用“sin2a+cos2a”代換等．2、誘導(dǎo)公式有兩組，可概括為對(duì)k?90°土a（awz）的各三角函數(shù)值滿足規(guī)律“奇變偶不變,符號(hào)看象限”，即當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得a的同名函數(shù)；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得a的余名函數(shù)；然后在前面加一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)的符號(hào)?在利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值時(shí)，不必拘泥于課本上列出的幾個(gè)步驟，可以結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，靈活使用．3、三角函數(shù)的恒等變換中最基本、最常見的變換有：（1）公式變換：要注意正確理解公式中和、差、倍的相對(duì)性，抓住公式中角、函數(shù)、結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，靈活地對(duì)公式進(jìn)行正向、逆向及變形使用；2)角度變換：要善于分析角之間的和、差、倍、半的關(guān)系，要特別注意能否產(chǎn)生特殊角，正確使用誘導(dǎo)公式及輔助角公式；(3)函數(shù)變換：弦切互化；1=sin—=cosO=tan—1的變換：如1=sin2a+cos2a,1=tanacota,24等；21+cos2a.21-cos2acosa=和sina=冪的變換：用公式22來升、降冪.4、三角恒等變換的基本題型有三種．(1)求值：給角求值，其關(guān)鍵是正確分析角間的關(guān)系，準(zhǔn)確地選用公式，將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或?qū)⒎翘厥饨堑娜呛瘮?shù)值相約或相消；給值求值，其關(guān)鍵是分析已知和待求式之間的角、函數(shù)、結(jié)構(gòu)的差異，有目的地消化;給值求角，其關(guān)鍵是先求出該角某一三角函數(shù)值，在對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解.(2)化簡(jiǎn)：未指明答案的恒等變形，應(yīng)把結(jié)果化為最簡(jiǎn)形式；根據(jù)解題需要將三角函數(shù)式化為某種特定的形式，如一角一函數(shù)形式，以便研究函數(shù)的各種性質(zhì)．(3)證明：主要有兩種：無條件恒等式證明和條件恒等式證明．5、在求值、化簡(jiǎn)、證明中應(yīng)注意的問題有：(1)三角式化簡(jiǎn)的目標(biāo)．

項(xiàng)數(shù)盡可能少；三角函數(shù)種類盡可能少；角盡可能少、??；次數(shù)盡可能低；分母盡可能不含三角式；盡可能不帶根號(hào)；能求出值的要求出值．（2）三角運(yùn)算的基本原則切割化弦；］切割化弦；］異名化同名;j（名稱分析法）異角化同角；（角分析法）高次降昇；'分式通分；>結(jié)構(gòu)分析法）無理化有連;.常數(shù)的處理（特別注意“1”的代換）.（3）幾個(gè)重要的三角變換思想sina?cosaf湊倍角公式；1土cosaf升冪公式；1土sinaf配方或化為1土cos（n/2—a）再升冪;asina+bcosaf輔助角公式；⑤tga土tgpf兩角和與差的正切公式逆用.

三、例題講解：例1、求證：tan3A—tan2A—tanA二tan3A?tan2A?tanA.證明：欲證等式即為tan3A(1—tan2A?tanA)二tan2A+tanA,即1-tan2A*tanA.根據(jù)正切的和角公式，tan2A+tsn.A結(jié)論成立．1-tan2A*tanA結(jié)論成立．小結(jié)：1、分析法“執(zhí)果索因”，便于尋找解題途徑，也是三角恒等式證明中的一種常用方法；2、本題可以推廣如下：若a=p+y,則tana—tan0—tany=tana?tanp?tany.特殊地，若△ABC是非直角三角形，則（1）tanA+tanB+tanC二tanA?tanB?tanC,（2）tannA+tannB+tannC二tannA?tannB?tannC.二］,值域?yàn)椋邸?,1］,例2、已知/?=^an2x-2^3^inxco汶+E幺工。）的定義域?yàn)椋?,二］,值域?yàn)椋邸?,1］,分析：觀察函數(shù)的特征，需將它化歸為形如y=Asin（3x+屮）+B型三角函數(shù)求值域，特別注意此時(shí)xG［0，2］，故首先要求出3x+屮的范圍并進(jìn)而求出sin（3x+屮）的取值范圍,同時(shí)注意系數(shù)A的符號(hào).解：fix)解：fix)=2少_；-羽住sin+a+b=-fl(cos2x+-^3sin2x)+2a+b=-2(jsin(2x+y)+2a+b.ClWxW二ClWZxW兀—2x+——2666-*Wsiii(2x+彳)W1.當(dāng)^>0時(shí)，則當(dāng)sm(2x+-)=一丄時(shí),(1)&2產(chǎn)(對(duì)晦=力+方=1；當(dāng)sin(2x+—)=1H^?Z(^)miii=-^=-5-求得a=2，b=－5．當(dāng)^<0時(shí)，則當(dāng)sm（2x+蘭）=1時(shí)，（2）&fWtnax=&=1；當(dāng)亂心+彳）=-*時(shí)，了述血=3a+b=-5.求得a=－2，b=1．例3、已知sina是sinB和cos0的等差中項(xiàng)，sin0是sin0和cos0的等比中項(xiàng)，求證：cos4p—4cos4a=3.證明：由已知條件得：2sina二sinB+cos0，①sin2p二sinB?cos0.②式平方得：4sin2a=1+2sin0cos0，③式代入③得：4sin2a=1＋2sin2p，即2cos2a=cos2p.④④式平方得：4cos22a=cos22p，

再降冪：2(l+cos4a)二2(l+cos40),?°?cos40—4cos4a=3.小結(jié)：在三角變換中，為了達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，降冪應(yīng)該是最主要的手段，但在某些情況下，升冪也是必要的.例4、已知山9，求：x2+2xy+y2的最大值與最小值；求3x+4y的最大值與最小值.分析：由已知條件的結(jié)構(gòu)特征：兩數(shù)的平方和為1,聯(lián)想到sin20+cos20=1,由此可作三角代換，將上述問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的最值問題.因而本題考查三角函數(shù)作為工具被應(yīng)用的能力.■I—1-h—TL-UiY—_■i解：応9(1)2xy+y2=(4cos^)2+2*4匚皿日門sm日+(3sin2=16cos224sin^cos^+9sin2&=7cos2+12sin2&+9=12sm2^+—cos2^+——SLn(2a+^)+—(^中tan護(hù)=盲).|sin(23+軸|W1,當(dāng)sm(28+1時(shí)，x2+y2+攝大值25;當(dāng)sm(23+=-1Ht,”+^耶+護(hù)有最小值Cl.3x+4y=12sin12cos12^2sin(^+—)

I誠(chéng)日+￡）|W1,■■■當(dāng)?shù)希?+彳）=1時(shí)，3x+4y有攝大值12^2;

當(dāng)?shù)希ㄈ?彳）=—1時(shí)，3x+4y有盤小值-12^2.例5、如圖所示，一條河寬1千米，兩岸各有一座城市A和B，A和B的直線距離是4千米，今需鋪設(shè)一條電纜線連結(jié)A與B已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/千米，水下電纜的修建費(fèi)是4萬元/千米．假定河兩岸是平行直線，問應(yīng)如何鋪設(shè)電纜方可使總施工費(fèi)用最少．分析：解決實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．此處有兩種選擇：一是建立函數(shù)模型，可以考慮以AD或DB為自變量，函數(shù)式易立，但最值難求；二是建立三角模型，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值，處理稍容易些．解：設(shè)ZCAD二0,由AC=1，AB=4，則依題意，設(shè)由A到B鋪設(shè)電纜的總費(fèi)用為y,則y=4>^—-2tan^+2^/15=4~2smg+2-7B(fl<&<-).cas3cqs&24-2sin日問題轉(zhuǎn)化為求*=