高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和方法歸納1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)疋乂：a—a=d(d為常數(shù))，a=a+(n—l)dn+1nn1等差中項(xiàng)：x,A,y成等差數(shù)列o2A二x+y前n項(xiàng)和S=(T訃=na+◎dn212性質(zhì)：｛a｝是等差數(shù)列n若m+n二p+q，貝Ua+a=a+a；mnpqS-S3n2n仍為等差數(shù)列，數(shù)列{S-S3n2n仍為等差數(shù)列，2n—l2n2n+l公差為n2d；若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d，a，a+d若a，b是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為S，T，則=亠nnnnbTm2m—l｛a｝為等差數(shù)列oS=an2+bn(a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函nn數(shù))S的最值可求二次函數(shù)S=an2+bn的最值；或者求出｛a｝中的正、負(fù)分界項(xiàng)，nnn即：當(dāng)a>0，d<0，解不等式組°可得S達(dá)到最大值時(shí)的n值.ila<0nn+l當(dāng)a<0,d>0，由°可得S達(dá)到最小值時(shí)的n值.ila>0nn+l項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列｛a｝有n，S—S—S=nd，偶奇Sa偶n+i(7)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n—1的等差數(shù)列｛a｝有n，S=(2n—1)a(a為中間項(xiàng))，2n—1nn

S—S=a,―奇=奇偶nSn—1偶2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：=q（q為常數(shù)，q豐0）,a=aqn-ian1.n等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列nG2=xy，或G=±、.：'xyna（q=1）前n項(xiàng)和：S=<a（1—qn）（要注意?。﹏-J（q主1）〔1-q性質(zhì)：｛a｝是等比數(shù)列n（1）若m+n=p+q，貝Ua?a=a?amnpq（2）S,S—S,S—S……仍為等比數(shù)列，公比為qn.n2nn3n2n注意：由S求a時(shí)應(yīng)注意什么？nnn=1時(shí)，a=S；11n>2時(shí)，a=S—Snnn—13．求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法1）求差（商）法如：數(shù)列｛a｝，—a+a++丄a=2n+5，求an212222nnn解n=1時(shí)，丄a=2x1+5，?:a=14211n>2時(shí)，丄a+a++-——a=2n—1+514(n=1)??a=<nI2n+114(n=1)??a=<nI2n+1(n>2)①—②得：丄a=2，?:a=2n+1,TOC\o"1-5"\h\z2nnn［練習(xí)］數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足S+S=-a，a=4，求annn+13n+11n注意到a=S-S，代入得"n11=4又S=4，?:｛S｝是等比數(shù)列，S=4nn+1n+1nS1nnn；n>2時(shí)，a=S—S==3?4n—1nnn—12）疊乘法==322如：數(shù)列｛a｝中,n2a

a—3,—n+1

1anaa解aa12an—an-112—?___23??仝—又a—3,aan1n13）等差型遞推公式由a一a—f(n),a—a,nn-110用迭加法a-a=f(2)21a-a=f(3)n>2時(shí),32>兩邊相加得a-a—f⑵+f(3)+n1+f(n)a-a=f(n)nn-1?an=a0+f(2)+f(3)++f(n)［練習(xí)］數(shù)列｛a｝中，a—1,n1a—3n-1+a(n>2),nn-1求a(ann(n-1))4）等比型遞推公式a=ca+d(c、nn-1d為常數(shù)，c豐0,c豐1,d豐0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)a+x=c（an-1+x)na=cann-1+(c-1)x令(c一1)x=d,?=d??x―,?c一1a+n占｝是首項(xiàng)為a1+占,c為公比的等比數(shù)列d(d)(d)a+—a+?cn-1,?a=a+nc-111c-1JnI1c-1丿5）倒數(shù)法dCn-1—c-1如：a=1,1n+12a—n—,a+2n由已知得：an+1a+2—―n2an11——+,2aan+1n為等差數(shù)列，-公差為2,?a=1+（n一叫=n2(n+J，??a—nn+1+qna=｛?(n=i)+qn公式法、利用ns-SJn>2)、累加法、累乘法?構(gòu)造等差或等比a二nn-1n+1或a二pa+f(n)、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法n+1n)4.求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法(1)裂項(xiàng)法把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng).如：｛a｝是公差為d的等差數(shù)列，求Y丄naak=1kk+1解：由一-1=1，a?aa(a+d)d［kk+1kk丄-丄1aa丿解：由一-1=1，a?aa(a+d)d［kk+1kk丄-丄1aa丿

kk+1(d豐0)???aak=1kk+1k=1aa丿

kk+1［練習(xí)］求和：1+丄+1+1+21+2+3111)

,,,,.aa)121111,,,,、aa丿231r丄一丄1、aa丿

nn+1+n2)錯(cuò)位相減法若｛a｝為等差數(shù)列，｛b｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛ab｝nnnn差比數(shù)列)前n項(xiàng)和，可由-qS，求S，其中q為｛b｝的公比.nnn如：S=1+2x+3x2+4x3+n+nxn-ix?S=x+2x2+3x3+4x4+n+(n一1)xn-i+nxn①一②(1-x)S=1+x+x2+n(1xn)x豐1時(shí)，S=n(1x)21x+xn-1一nxnnxnx=1時(shí)，S=1+2+3+nn(n+1)(3)倒序相加法把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫(xiě)，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加.相力口2S=(a+a)+(a相力口2S=(a+a)+(a+a)+…+(a+a)???n1n2n11nn12n1nS=a+a+……+a+annn121［練習(xí)］已知f(x)=缶，則

(1\由f(x)+f-IX丿(-、21+-IXIX丿(-、21+-IX丿???原式=f(1)+(17(17(1屮f(2)+f—+f(3)+f一+f(4)+f—k2丿k3丿k4丿=-+1+1+1=3122(附：用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和如果一個(gè)數(shù)列｛an｝，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱(chēng)為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)的得出過(guò)程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類(lèi)知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和S可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列｛an?bj中，｛an｝成等差數(shù)列，｛bn｝成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前n項(xiàng)和。。用迭加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個(gè)式子變成a1-a=f(n)，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一n+1n''起，經(jīng)過(guò)整理，可求出a，從而求出S。nn用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和所謂