數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章 小結(jié)與復(fù)習(xí)

小結(jié)與復(fù)習(xí)第十七章勾股定理回顧整個(gè)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，補(bǔ)充知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：

直角三角形

性質(zhì)

判定

角

邊

角

邊

勾股定理

知識(shí)結(jié)構(gòu)圖勾股定理的逆定理

互逆定理知識(shí)回顧1.如果直角三角形兩直角邊分別為

a，b，斜邊為

c，那么_____________.a2

+b2=c2在直角三角形中才可以運(yùn)用2.勾股定理的應(yīng)用條件：___________________________一、勾股定理3.勾股定理表達(dá)式的常見變形：

a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，ABCcab二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長

a，b，c滿足a2+b2=c2

，那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足

a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).2.勾股數(shù)3.原命題與逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么把其中一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)叫做它的逆命題.ABCcab考點(diǎn)一勾股定理及其應(yīng)用考點(diǎn)講練例1Rt△ABC

中，斜邊

BC

=

2，則

AB2

+

AC2

+BC2

的值為()

A.8B.4C.6D.無法計(jì)算A分析：在

Rt△ABC

中，BC2

=AB2

+

AC2AB2

+

AC2

+BC2

=2BC2

=8ABC例2

一直角三角形的三邊分別為

2、3、x，那么以

x

為邊長的正方形的面積為___________.5

或13

分析：題目沒有告訴斜邊長，則需要分兩種情況討論：當(dāng)斜邊長為3時(shí)，以

x

為邊長的正方形的面積=x2，

x2=32-22=5；當(dāng)斜邊長為

x

時(shí)，以

x

為邊長的正方形的面積=x2，

x2=32+22=13.例3在

O

處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東

60°

方向相距

1000

米的

A

處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時(shí)后快艇到達(dá)哨所東南方向的

B

處.(1)此時(shí)快艇航行了多少米？分析：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題已知：

OA

=

1000米，∠AOC=30°，∠COB=45°

，AB⊥OC.求解：

AB

的長.北東OAB60°45°C30°解：根據(jù)題意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC.在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=(米).北東OAB60°45°C已知：

OA

=

1000米，∠AOC=30°，∠COB=45°

，AB⊥OC.求解：

AB

的長.30°∴

AB

=AC+

BC=(米).(2)此時(shí)快艇距離哨所多少米？解：在Rt△BOC中，由勾股定理得北東OAB60°45°C分析：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，即求

OB

的長.練一練1.已知

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，若

a+

b

=

14

cm，

c

=

10

cm，求△ABC

的面積.解：∵

a

+

b

=

14，∴(a

+

b)2

=

196.又∵

a2+

b2=

c2=100，∴

2ab

=

196

-

(a2

+

b2)=

96，∴ab

=

24，即△ABC

的面積為24cm2．2.

如圖，在△ABC

中，AB∶BC∶CA

=

3∶4∶5，且周長為

36

cm，點(diǎn)

P

從點(diǎn)

A

開始沿

AB

邊向

B

點(diǎn)以每秒

2

cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)

Q

從點(diǎn)

C

沿

CB

邊向點(diǎn)

B

以每秒1

cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過

3s時(shí)，求

PQ的長．解：設(shè)

AB

為

3x

cm，BC

為

4x

cm，AC

為

5x

cm，∵

周長為

36

cm，即

AB

+

BC

+

AC

=

36

cm，∴

3x

+

4x

+

5x

=

36，解得

x

=

3.∴

AB

=

9

cm，BC

=

12

cm，AC

=

15

cm.∵

AB2

+

BC2

=

AC2，∴

△ABC

是直角三角形，過

3

秒時(shí)，BP

=

9

-

3×2

=

3(cm)，BQ

=12-1×3

=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得解：當(dāng)高

AD

在△ABC

內(nèi)部時(shí)，如圖①.在

Rt△ABD

中，由勾股定理，得

BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在

Rt△ACD

中，由勾股定理，得

CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴

CD＝9.

∴

BC＝BD＋CD＝25，∴

△ABC

的周長為

25＋20＋15＝60.3.

在△ABC

中，AB＝20，AC＝15，AD

為

BC

邊上的高，且AD＝12，求

△ABC

的周長．

題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時(shí)，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高

AD

在△ABC

內(nèi)的情形，忽視高

AD

在△ABC

外的情形.當(dāng)高

AD

在△ABC

外部時(shí)，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為

7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為

42

或

60.注意例1

判斷：滿足下列條件的△ABC

是否一定是直角三角形？(一定是的打“√”，不確定的打“×”)()(2)∠A=35°，∠B=

55°；()(3)∠A=45°，BC=

5；()(4)AB=8，AC=17，BC=15.()×√√×考點(diǎn)二勾股定理的逆定理及其應(yīng)用例2

如圖，在四邊形

ABCD

中，AB

=

20

cm，BC

=

15

cm，CD

=

7

cm，AD

=

24

cm，∠ABC

=

90°．猜想∠BAD與∠BCD的關(guān)系，并加以證明．分析：連接

AC.201572425AB

=

20

，BC

=

15

，∠ABC

=

90°∠ABC

=

90°勾股定理AC

=

25AD=

24CD=7△ADC

是直角三角形

201572425解：猜想∠BAD+

∠BCD=

180°．證明如下：連接AC.在

Rt△ABC

中，由勾股定理得

∴AD2

+

DC2

=

625

=

252

=

AC2．∴△ADC

是直角三角形，且∠D

=

90°．∵∠DAB

+∠B

+∠BCD

+∠D

=360°，∴∠BAD

+

∠BCD

=

180°．例3B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°

方向以每小時(shí)8nmile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15nmile的速度前進(jìn)，2h后，甲船到

M島，乙船到

P島，兩島相距34nmile，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？北東OAB60°45°C30°解：甲船航行的距離為

BM=16(nmile)，乙船航行的距離為

BP=30(nmile)．∵162+302=1156，342=1156，∴BM2+BP2=MP2，∴△MBP為直角三角形，∴∠MBP=90°

，∴乙船是沿著南偏東30°

方向航行的．1.已知

a，b，

c是△ABC

的三邊長，如果，那么△ABC

()A.是以

a為斜邊的直角三角形

B.是以

b為斜邊的直角三角形C.是以

c為斜邊的直角三角形

D.不是直角三角形練一練C

2.如圖，在△ABC

中，已知∠A為鈍角，邊

AB

，AC的垂直平分線分別交

BC

于點(diǎn)

D，E.如果

DE2

=

BD2

+

EC2

，那么∠A的度數(shù)是_________.135°

3.寫出下列命題的逆命題，并指出這些逆命題的真假.

(1)如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；解：如果兩個(gè)角相等，那么它們是直角.假命題解：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么它們就相等.假命題

4.如圖，在四邊形

ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=，求四邊形

ABCD

的面積.∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角.∴△ADC是直角三角形，且∠D是直角.∴S四邊形ABCD=1.如圖，已知等腰直角三角形

ABC，∠ABC＝90°，AB＝1，以

Rt△ABC的斜邊

AC為腰向外作等腰三角形

ACD.依次作下去，則第4個(gè)等腰直角三角形的面積

S4=_________；

第10個(gè)等腰直角三角形的面積

S10=_________；第

n

個(gè)等腰直角三角形的面積

Sn

=_________.