高中數(shù)學(xué)：直線恒過定點(diǎn)的問題

高中數(shù)學(xué)：直線恒過定點(diǎn)的問題直線恒過定點(diǎn)問題的多種解法。求證：直線（2m+l）x+（m+l）y=7m+4（msR）恒^某一定點(diǎn)P，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解法一：特殊引路法分析：因直線（2垃十康十血十宙=加+4隨m取不同的值而變化，但是由題意分析可知應(yīng)該是圍繞某一定點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)，而這一定點(diǎn)我們只需兩條相交直線即可求得，但是需要我們將點(diǎn)代入原直線方程來證明該點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線上，這樣就使得解法更為完備。證明：直線（2m+1）^+（m+l）y=7m+4，取=°^m=-1（1]此時直線方程為2y=7n_2?4^y=1o①取m+l=Onm=-1，此時方程為7=*（-1）+4nzC②聯(lián)立①②解得點(diǎn)P（3，1）o將點(diǎn)P（3，1）代入直線方程?（2m十1捱十曲十ljy=（徂十1卜1=7m十卻。故直線（加十眾十血十內(nèi)=加十4恒過定點(diǎn)P（3，1）o解法二：換元法分析：眾所周知，直線方程中的點(diǎn)斜式y(tǒng)=k（x-x0）+y0可以表明直線過點(diǎn)P（衍，％）,因此我們可以將直線伽十（m-nl）y=7m+4的一般式通過換兀法轉(zhuǎn)化為直線方程的點(diǎn)斜式，從而證明該直線恒過定點(diǎn)，并且可直接求得該定點(diǎn)。證明：（2m十康十血十助=7m十4，當(dāng)m+0=>m^-l時,f寸__2m十17m+4（2m十lk十（垃十1）7=7皿十4Y_m+1+rn+1°2ni十1i一-1-k盡--—-=k=>m=TOC\o"1-5"\h\zPm+1k+2\o"CurrentDocument"7m+4.由此可得-°即原直線方程可化為y=總-3k十I=嶺-3）十I由直線的點(diǎn)斜式方程可知該直線過點(diǎn)P（3，1）o當(dāng)m-n1=0即》一1時，原直線可化為-簽=7X（_1）十4=簽=3，此時點(diǎn)p（3，1）仍然在直線上。綜上，直線十十血十i）y=7m+4恒過定點(diǎn)P（3，1）。解法三：參數(shù)分離法分析：對于直線方程（2m+l）x+（m+l）y=7m+4來說，如果我們將其中的m看作參數(shù)，并將其分離得（2.x+y-7）m+蠢+y_4=0，此時我們令y-7=0，孚+y-4=D，則這兩條直線的交點(diǎn)P（心，兀）一定滿足直線方程（2^十y—了如十蠢十y-4=0，即P（亂，九）在直線II（2m+l）x+価+"滄+4上，這樣就將直線恒過定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩條直線的交點(diǎn)了。證明：（如+眾+血+中=九+4^卩盜+廠了如+整十了一國二口蠱十亍一7=U,fz=X令她斗y-7=U,蟲斗y-4=0,解方程組得令點(diǎn)P為（3，1），因點(diǎn)P（3，1）滿足2x+y-7=Cl?x-Hy-4=0o所以也滿足（2^+y-7）ni-bz+y-4=0進(jìn)一步得點(diǎn)P（3,1