高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題練習(xí)-集合與函數(shù)

精誠(chéng)凝聚=〔"=成就夢(mèng)想—精誠(chéng)凝聚=〔"=成就夢(mèng)想—■■??■■■■■■??■■■■鬻點(diǎn)亮心燈~(yú)~~///「/)\\\~~~照亮人生■■??■■■■鬻44■44■■??■■■■鬻點(diǎn)亮心燈~(yú)~~///「v')\\\~~~照亮人生■■??■■■■鬻競(jìng)賽試題選講之集合與函數(shù)姓名：得分:1.(06北卷)已知f(x)J"—a)X—4a，X<b是(-,+Q上的增函數(shù)，那么a的取Ilogx,x>1a值范圍是(A)(1,+g)(B)(-g,3)193(C)[5，3](D)(1,3)()2.(06全國(guó)II)函數(shù)f(x)=X|x—川的最小值為()i=1(A)190(B)171(C)90(D)45(山東卷)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=—f(x),貝則f(6)的值為(A)—1(B)0(C)1(D)2(06天津卷)已知函數(shù)y二/(X)的圖象與函數(shù)y二ax(a>0且a豐1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，記g(x)二/(x)[/(x)+2/⑵一1].若y二g(x)在區(qū)間[：,2]上是增函數(shù)，2則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[2,+^)B.(0,1)(1,2)C.[2,1)D.(0,2]22(06天津卷)如果函數(shù)f(x)二ax(ax-3a2-1)(a>0且a豐1)在區(qū)間[0,)上是增函A.:0,2]A.:0,2]B.甲JC.(1,0I3」3丿-數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是D.「3)一,+00L2丿Iaa>bIaa>b6.(06浙江卷)對(duì)a,bwR,記max{a,b}={'，函數(shù)f(x)Ib,aVb小值是1(A)0(B)-()3(C)-=max{|x+1|,|x-2|}(xeR)的最(D)3(2006安徽初賽)若關(guān)于x的方程<1-x2=kx+2恰有一個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍TOC\o"1-5"\h\z是.(2006陜西賽區(qū)預(yù)賽)設(shè)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，且f(-5)-3，若6a=^5則f(4cos2a)的值abc(2006吉林預(yù)賽)已知函數(shù)f(x)=logx，設(shè)x=，y=，z=，其f(a)f(b)f(c)2中0〈c〈b〈a〈1,那么x、y、z的大小順序?yàn)椤?2006吉林預(yù)賽)若關(guān)于x的方程v'1-x2=log(x-a)有正數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范2圍為。(集訓(xùn)試題)對(duì)每一實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，函數(shù)f(t)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，試求滿足f(a)=a的所有整數(shù)a=.(集訓(xùn)試題)設(shè)n是正整數(shù)，集合M={1,2,…，2n}.求最小的正整數(shù)k,使得對(duì)于M的任何一個(gè)k元子集，其中必有4個(gè)互不相同的元素之和等于(集訓(xùn)試題).若log(x+2y)+log(x-2y)=1，貝|x|-|y|的最小值是.(06重慶卷)設(shè)a>0,a豐1,函數(shù)f(x)=aigxZx?有最大值，則不等式log(x2-5x+7)>0的解集為。a15、(2006陜西賽區(qū)預(yù)賽)(20分)設(shè)P(x+a,y)、Q(x,y)、r(2+a,y)是函數(shù)123f(x)=2+啲反函數(shù)圖象上三個(gè)不同點(diǎn)，且滿足y+y=2y的實(shí)數(shù)x有且只有一個(gè)，132試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.—2x+b16.(06重慶卷)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù)。(I)求a,b的值；(II)2x+i+a若對(duì)任意的twR，不等式f(t2—2t)+f(2t2—k)<0恒成立，求k的取值范圍；17.(2006天津)已知a、0是關(guān)于x的二次方程2x2—tx—2=0的兩個(gè)根，且a<卩，”、4x—tf(a)—f(卩)若函數(shù)f(x)=.(I)求的值；(II)對(duì)任意的正數(shù)x、x，求證：x2+1a—012xa+x0x0+xalf(2)—J一)1<21a—0I.x+xx+x1212精誠(chéng)凝聚=〔"=成就夢(mèng)想—精誠(chéng)凝聚=〔"=成就夢(mèng)想—精誠(chéng)凝聚=〔八=成就夢(mèng)想—精誠(chéng)凝聚=〔八=成就夢(mèng)想—■■■??■■■■鬻點(diǎn)亮心燈~(yú)~~///「v')\\\~~~照亮人生■■??■■■■鬻.■??■■■■.■??■■■■覆點(diǎn)亮心燈~(yú)~~///「/)\\\~~~照亮人生■■??■■■■覆競(jìng)賽試題選講之《集合與函數(shù)練習(xí)》答案1.解：依題意，有a>1且3—a>0,解得1<a<3，又當(dāng)x<1時(shí)，(3—a)x—4a<3—5a,3當(dāng)x>1時(shí)，logx>0,所以3—5a<0解得a>，所以1<a<3故選Dx—nx—n-|x—1|+|x—2+|x—3+|x—19|表示數(shù)軸上一點(diǎn)到2.解析:f(x)=蘭|n=1123...19的距離之和，可知x在1—19最中間時(shí)f(x)取最小?值:即x=10時(shí)f(x)有最小值90,故選C本題主要考察求和符號(hào)的意義和絕對(duì)值的幾何意義,難度稍大,且求和符號(hào)不在高中要求范圍內(nèi),只在線性回歸中簡(jiǎn)單提到過(guò).3解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0,又f(x+4)=—f(x+2)=f(x),故函數(shù)，f(x)的周期為4,所以f(6)=f(2)=—f(0)=0,選B解析：已知函數(shù)y=f(X)的圖象與函數(shù)y=ax(a>0且a豐1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),則f(x)=logx，記ag(x)=f(x)［f(x)+f⑵—1］=(logx)2+(log2-1)logx.當(dāng)a>1時(shí)，若y=g(x)在TOC\o"1-5"\h\zaaa區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，y=logx為增函數(shù)，令t=logx，te［log1,log2］，要求2aaa2alog2—111對(duì)稱(chēng)軸—aWlog，矛盾；當(dāng)0<a<1時(shí)，若y=g(x)在區(qū)間U，2］上是增函數(shù)，2a221log2—11y=logx為減函數(shù)，令t=logx,tw［log2,log］,要求對(duì)稱(chēng)軸—一a三log怎，aaaa22a2解得aW2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2］，選D.解析：函數(shù)y=ax(ax—3a2—1)(a>0且a豐1)可以看作是關(guān)于ax的二次函數(shù)，若3a2+1a>1,則y=ax是增函數(shù)，原函數(shù)在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù)，則要求對(duì)稱(chēng)軸W0，矛盾；若0<a<1，則y=ax是減函數(shù)，原函數(shù)在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù)，則要求當(dāng)3a2+1t=ax(0<t<1)時(shí)，y=t2—(3a2+1)t在te(0,1)上為減函數(shù)，即對(duì)稱(chēng)軸一-—上1，?:2a2三3，?:實(shí)數(shù)a的取值范圍是［￡,1)，選B.6.解：當(dāng)x<—1時(shí)，|x+l|=—x—1,|x—2|=2—x,因?yàn)?一x—1)—(2—x)=—13<0,所以2—x>—x—1；當(dāng)一1<x<—時(shí)，|x+l|=x+l,|x—2|=2—x,因?yàn)?x+1)—(22—x)=2x—1<0,x+l<2—x；當(dāng)—<x<2時(shí)，x+l>2—x；當(dāng)x>2時(shí)，|x+l|=x+l,|x—2|2=x—2,顯然x+l>x—2；

故f(x)故f(x)=<2-x(xw[-i,^))x+1(xw[2,2))2據(jù)此求得最小值為3。選c8?！?x+1(xw[2,+g))11.1或-2;解：令x=y=0得f(O)=-l；令x=y=—1，由f(-2)=-2得，f(-l)=-2，又令x=l,y=-1可得f(1)=1，再令x=l,得f(y+l)=f(y)+y+2①，所以f(y+l)-f(y)=y+2,即y為正整數(shù)時(shí),f(y+l)-f(y)〉O,由f(1)=1可知對(duì)一切正整數(shù)y，f(y)〉O,因此yGN*時(shí)，f(y+l)=f(y)+y+2〉y+l，即對(duì)一切大于1的正整數(shù)t,恒有f(t)〉t,由①得f(-3)=-1,f(-4)=1。下面證明：當(dāng)整數(shù)tW-4時(shí)，f(t)〉0,因tW-4,故-(t+2)>0,由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)〉0，即f(-5)-f(-4)〉0,f(-6)-f(-5)〉0,……,f(t+l)-f(t+2)〉0,f(t)-f(t+l)〉O相加得：f(t)-f(-4)〉0，因?yàn)椋簍W4,故f(t)〉t。綜上所述：滿足f(t)=t的整數(shù)只有t=1或t=2。12.解：考慮M的n+2元子集P={n-l,n,n+1,…，2n}.P中任何4個(gè)不同元素之和不小于(nT)+n+(n+l)+(n+2)=4n+2，所以k三n+3.將M的元配為n對(duì)，B=(i,2n+1-i),ilWiWn.對(duì)M的任一n+3元子集A,必有三對(duì)B,B,B同屬于A(i、i、i兩兩不同).又i1i2i3123將M的元配為n-1對(duì)，C(i,2n-i),lWiWn-l.對(duì)M的任一n+3元子集A,必有一對(duì)Cii4同屬于A,這一對(duì)C必與B,B,B中至少一個(gè)無(wú)公共元素，這4個(gè)元素互不相同，且和i4i1i2i3為2n+1+2n=4n+1,最小的正整數(shù)k=n+310．x>2|y|x2一4yx>2|y|x2一4y2=413.解：<x一2y>013.解：(x+2y)(x—2y)二4由對(duì)稱(chēng)性只考慮y±0，因?yàn)閤〉0,.：只須求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0,這個(gè)關(guān)于y的二次方程顯然有實(shí)根，故△=16(u2-3)三0。14.解析：設(shè)a>0a球,函數(shù)f(x)=aig(x'2x+3)有最大值，lg(x2-2x+3)三lg2()\x2—5x+7>0有最小值，???0<a<1,則不等式logx2—5x+7丿〉0的解為\「解得2<x<3,aIx2—5x+7<1所以不等式的解集為(所以不等式的解集為(2,3).115.(a=——或a>0)2TOC\o"1-5"\h\zb—11—2x16.解析：(I)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0,即=0nb=1—fx=a+2a+2x+11—11-212c又由f(1)=-f(-1)知=—2na=2.a+4a+11—2x11(II)解法一：由(I)知f(x)==—牙+，易知f(x)在(—g,+g)上2+2x+122x+1為減函數(shù)。又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式：f(t2—2t)+f⑵2-k)<0等價(jià)于f(t2—2t)<—f(2t2—k)=f(k—2t2)，因f(x)為減函數(shù)，由上式推得：t2—2t>k—2t2.即對(duì)一切twR有：3t2—2t—k>0,從而判別式A二4+12k<0nk1<一一3解法1-2x2+2x+i又由題設(shè)條件得：1—2t2—212+2t2—2t+1

1—22t2—k2+22t2—k+1即：(22t2—k+1+2)(1—2t2—2t)+(2t2—2t+1+2)(1—22t2—k)<0，整理得23t2—2t—k>1,因底數(shù)2>1,故：3t2—2t—k>01上式對(duì)一切teR均成立，從而判別式A二4+12k<0nk<—3.17.【解】（I）由書(shū)籍，根據(jù)韋達(dá)定理得有a+卩f(a)—巴二—4a-2(a+Pf(a)—巴二—4a-2(a+P)—2——2P

a2+1a2—aPaa2—aPf(p)=4卩-1_4卩-2(a+P)_P2+1P2—aP?f(a)-f(卩)_-2卩+2a_2a-P|=—2a,5分4x—t（ii）已知函數(shù)f（x）二刁,???/'(x)二-2(2x2-tx一2)(x2+1)2而且對(duì)xe[a,p],2x2—tx—2二2(x—a)(x—p)<0，于是fr(x)>0,4x—t??函數(shù)f(x)—在[a,卩]上是增函數(shù)x2+110分注意到對(duì)于任意的正數(shù)x、xa+P—12—P_+

12PP+a+P—12—P_+

12PP+a<P，同理a<—2<P.+12x(a—P)/nt<0x+x12TOC\o"1-5"\h\z12—a——2>0，\o"CurrentDocument"x+xx+x1212x