新教材高中物理圓周運(yùn)動(dòng)3向心加速度學(xué)案新人教版必修

08/807/8/3.向心加速度學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.[物理觀念]通過(guò)實(shí)例，理解向心加速度的概念。2.[科學(xué)思維]知道勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度大小的表達(dá)式，理解向心加速度與半徑的關(guān)系，并會(huì)用來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。3.[科學(xué)思維]了解分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)速度變化量時(shí)用到的極限思想。4.[科學(xué)態(tài)度與責(zé)任]能根據(jù)問(wèn)題情景選擇合適的向心加速度公式。閱讀本節(jié)教材，回答第31頁(yè)“問(wèn)題”并梳理必要知識(shí)點(diǎn)。教材第31頁(yè)“問(wèn)題”提示：天宮二號(hào)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受合力指向軌道圓的圓心，由牛頓第二定律可知，加速度的方向指向圓心，加速度大小為合力大小與天宮二號(hào)質(zhì)量的比值。勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向和大小1．向心加速度定義：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度總指向圓心，我們把它叫作向心加速度。2．向心加速度方向：總沿半徑指向圓心，并且與線速度方向垂直。3．向心加速度的物理意義：描述線速度方向改變快慢的物理量。4．向心加速度的大?。?1)基本公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r。(2)拓展公式an＝eq\f(4π2,T2)·r＝ωv。1．思考判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)。 (×)(2)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的方向指向圓心，大小不變。 (√)(3)根據(jù)an＝eq\f(v2,r)知加速度an與半徑r成反比。 (×)(4)根據(jù)an＝ω2r知加速度an與半徑r成正比。 (×)2．下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法中正確的是()A．向心加速度的方向始終指向圓心B．向心加速度的方向保持不變C．在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度是恒定的D．在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的大小不斷變化A[向心加速度的方向時(shí)刻指向圓心，A正確；向心加速度的大小不變，方向時(shí)刻指向圓心，不斷變化，故B、C、D錯(cuò)誤。]3．關(guān)于物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度大小，下列說(shuō)法中正確的是()A．在赤道上最大 B．在兩極上最大C．地球上處處相同 D．隨緯度的增加而增大A[物體隨地球自轉(zhuǎn)角速度相同，但自轉(zhuǎn)的圓心在地軸上，自轉(zhuǎn)的半徑由赤道向兩極逐漸減小，赤道處最大，由公式a＝ω2r知：自轉(zhuǎn)的加速度由赤道向兩極逐漸減小，因此，選項(xiàng)A正確，B、C、D錯(cuò)誤。]勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度方向甲乙問(wèn)題1：圖甲中的小球與圖乙中的運(yùn)動(dòng)員正在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，是否具有加速度？問(wèn)題2：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度方向如何確定？你的依據(jù)是什么？問(wèn)題3：除了用牛頓第二定律確定向心加速度的方向外，你還有什么方法可確定向心加速度的方向？提示：(1)具有加速度。(2)從動(dòng)力學(xué)角度，由牛頓第二定律確定；加速度的方向與合外力方向一致。(3)從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度，利用加速度的方向與速度變化量的方向一致確定加速度方向。對(duì)向心加速度的理解方向向心加速度的方向總是沿著半徑指向圓心與該點(diǎn)的線速度方向垂直。向心加速度的方向時(shí)刻在改變。作用只改變速度的方向，不改變速度的大小。意義向心加速度是描述線速度方向改變快慢的物理量，線速度方向變化的快慢體現(xiàn)了向心加速度的大小。[特別提醒]向心加速度方向的推導(dǎo)如圖甲所示，一物體沿著圓周運(yùn)動(dòng)，在A、B兩點(diǎn)的速度分別為vA、vB，可以分四步確定物體運(yùn)動(dòng)的加速度方向。甲乙丙丁第一步，根據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向沿著切線方向，畫(huà)出物體經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)時(shí)的速度方向，分別用vA、vB表示，如圖甲所示。第二步，平移vA至B點(diǎn)，如圖乙所示。第三步，根據(jù)矢量運(yùn)算法則，作出物體由A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度變化量Δv，其方向由vA的箭頭位置指向vB的箭頭位置，如圖丙所示。由于物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，vA、vB的大小相等，所以Δv與vA、vB構(gòu)成等腰三角形。第四步，假設(shè)由A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間極短，在勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小一定的情況下，A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離將非常小，作出此時(shí)的Δv，如圖丁所示。仔細(xì)觀察圖丁，可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)，Δv與vA、vB都幾乎垂直，因此Δv的方向幾乎沿著圓周的半徑，指向圓心。由于加速度a與Δv的方向是一致的，所以從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析也可以發(fā)現(xiàn)：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度指向圓心?！纠?】下列關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度的說(shuō)法正確的是()A．向心加速度表示做圓周運(yùn)動(dòng)的物體速率改變的快慢B．向心加速度表示角速度變化的快慢C．向心加速度描述線速度方向變化的快慢D．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度不變C[勻速圓周運(yùn)動(dòng)中速率不變，向心加速度只改變速度的方向，顯然A項(xiàng)錯(cuò)誤；勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度是不變的，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；勻速圓周運(yùn)動(dòng)中速度的變化只表現(xiàn)為速度方向的變化，加速度作為反映速度變化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向變化的快慢，所以C項(xiàng)正確；向心加速度的方向是變化的，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤。][跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(向心加速度的物理意義)關(guān)于向心加速度的物理意義，下列說(shuō)法中正確的是()A．描述速率變化的快慢B．描述角速度變化的快慢C．描述線速度的大小變化的快慢D．描述線速度的方向變化的快慢D[向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，故D正確。]2．(對(duì)向心加速度的理解)如圖所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點(diǎn)的過(guò)程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么()A．加速度為零B．加速度恒定C．加速度大小不變，方向時(shí)刻改變，但不一定指向圓心D．加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心D[由題意知，木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木塊的加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心，D正確，A、B、C錯(cuò)誤。]勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小(教師用書(shū)獨(dú)具)教材第32頁(yè)“思考與討論”答案提示：B、C兩點(diǎn)的向心加速度與半徑成正比，因?yàn)锽、C兩點(diǎn)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度ω相同，由an＝ω2r知，an與r成正比；A、B兩點(diǎn)的向心加速度與半徑成反比，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)線速度v大小一樣，由an＝eq\f(v2,r)知，an與r成反比。如圖所示，兩個(gè)嚙合的齒輪，其中A點(diǎn)為小齒輪邊緣上的點(diǎn)，B點(diǎn)為大齒輪邊緣上的點(diǎn)，C點(diǎn)為大齒輪中間的點(diǎn)。討論：A和B、B和C兩個(gè)點(diǎn)的向心加速度與半徑有什么關(guān)系？提示：(1)A、B兩個(gè)點(diǎn)的線速度相同，由an＝eq\f(v2,r)知向心加速度與半徑成反比。(2)B、C兩個(gè)點(diǎn)的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度與半徑成正比。1．向心加速度的大小根據(jù)牛頓第二定律F＝ma和向心力表達(dá)式Fn＝meq\f(v2,r)，可得向心加速度的大小an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r。[特別提示]1.表達(dá)式an＝eq\f(v2,r)、an＝ω2r中各物理量是同一時(shí)刻的量，即它們是瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系。2．表達(dá)式an＝eq\f(v2,r)、an＝ω2r不僅適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于變速圓周運(yùn)動(dòng)。2．對(duì)向心加速度表達(dá)式的理解(1)向心加速度的幾種表達(dá)式(2)向心加速度的大小與半徑的關(guān)系①當(dāng)半徑一定時(shí)，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比。隨頻率的增大或周期的減小而增大。②當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度與運(yùn)動(dòng)半徑成正比。③當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度與運(yùn)動(dòng)半徑成反比。④an與r的關(guān)系圖像：如圖所示，由an-r圖像可以看出，an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。【例2】如圖所示，一個(gè)大輪通過(guò)皮帶拉著小輪轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶和兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，大輪的半徑是小輪半徑的2倍，大輪上的一點(diǎn)S離轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離是大輪半徑的eq\f(1,3)。當(dāng)大輪邊緣上的P點(diǎn)的向心加速度是12m/s2時(shí)，大輪上的S點(diǎn)和小輪邊緣上的Q點(diǎn)的向心加速度各為多少？[思路點(diǎn)撥]①P和S在同一輪上，角速度相同，選用an＝ω2r計(jì)算向心加速度。②P和Q為皮帶傳動(dòng)的兩個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，線速度相等，選用an＝eq\f(v2,r)計(jì)算向心加速度。[解析]同一輪子上的S點(diǎn)和P點(diǎn)的角速度相同，即ωS＝ωP由向心加速度公式an＝ω2r，得eq\f(aS,aP)＝eq\f(rS,rP)故aS＝eq\f(rS,rP)aP＝eq\f(1,3)×12m/s2＝4m/s2又因?yàn)槠Р淮蚧?，所以皮帶傳?dòng)的兩輪邊緣上各點(diǎn)的線速度大小相等，即vP＝vQ由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(rQ,rP)故aQ＝eq\f(rP,rQ)aP＝2×12m/s2＝24m/s2。[答案]4m/s224m/s2向心加速度公式的應(yīng)用技巧[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(傳動(dòng)裝置中的向心加速度)如圖所示為兩級(jí)皮帶傳動(dòng)裝置，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)皮帶均不打滑，中間兩個(gè)輪子是固定在一起的，輪1的半徑和輪2的半徑相同，輪3的半徑和輪4的半徑相同，且為輪1和輪2半徑的一半，則輪1邊緣的a點(diǎn)與輪4邊緣的c點(diǎn)相比()A．線速度之比為1∶4B．角速度之比為4∶1C．向心加速度之比為8∶1D．向心加速度之比為1∶8D[由題意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3為輪2和輪3邊緣的線速度，所以va∶vc＝1∶2，A錯(cuò)誤；設(shè)輪4的半徑為r，則aa＝eq\f(v\o\al(2,a),ra)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(vc,2)))eq\s\up12(2),2r)＝eq\f(v\o\al(2,c),8r)＝eq\f(1,8)ac，即aa∶ac＝1∶8，C錯(cuò)誤，D正確；eq\f(ωa,ωc)＝eq\f(\f(va,ra),\f(vc,rc))＝eq\f(1,4)，B錯(cuò)誤。]4．(向心加速度的計(jì)算)滑板運(yùn)動(dòng)是深受青少年喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)，如圖所示，某滑板運(yùn)動(dòng)員恰好從B點(diǎn)進(jìn)入半徑為2.0m的eq\f(1,4)圓弧軌道，該圓弧軌道在C點(diǎn)與水平光滑軌道相接，運(yùn)動(dòng)員滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為10m/s。求他到達(dá)C點(diǎn)前、后瞬間的加速度(不計(jì)各種阻力)。[解析]運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)前的瞬間做圓周運(yùn)動(dòng)，加速度大小a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(102,2)m/s2＝50m/s2，方向在該位置指向圓心即豎直向上。運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)后的瞬間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為0。[答案]50m/s2，方向豎直向上01．關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)的概念，以下說(shuō)法中正確的是()A．勻速圓周運(yùn)動(dòng)是速度恒定的運(yùn)動(dòng)B．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心加速度越大，物體的速度增加得越快C．做圓周運(yùn)動(dòng)物體的加速度方向一定指向圓心D．物體做半徑一定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其線速度與角速度成正比D[勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向是軌跡切線方向，時(shí)刻改變，故A錯(cuò)誤；做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，速度大小不變，方向改變，向心加速度越大，速度方向改變的越快，故B錯(cuò)誤；只有勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度始終指向圓心，變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度不指向圓心，故C錯(cuò)誤；物體做半徑一定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)v＝rω，其線速度與角速度成正比，故D正確。]2．如圖所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω旋轉(zhuǎn)，A、B為球體上兩點(diǎn)。下列說(shuō)法中正確的是()A．A、B兩點(diǎn)具有相同的角速度B．A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度C．A、B兩點(diǎn)具有相同的向心加速度D．A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向都指向球心A[A、B都隨球體一起繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周所用時(shí)間相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，A正確；A做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面與軸垂直，交點(diǎn)為圓心，設(shè)球半徑為R，故A的軌道半徑rA＝Rsin60°，B的軌道半徑rB＝Rsin30°，所以兩者的線速度vA＝rAω＝eq\f(\r(3),2)Rω，vB＝rBω＝eq\f(1,2)Rω，顯然，vA>vB，B錯(cuò)誤；兩者的向心加速度aA＝rAω2＝eq\f(\r(3),2)Rω2，aB＝rBω2＝eq\f(1,2)Rω2，顯然，兩者的向心加速度也不相等，C錯(cuò)誤；又兩者的向心加速度指向各自的圓心，并不指向球心，所以D錯(cuò)誤。]3．A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在相同時(shí)間內(nèi)，它們通過(guò)的路程之比是4∶3，運(yùn)動(dòng)方向改變的角度之比是3∶2，則它們()A．線速度大小之比為4∶3B．角速度大小之比為3∶4C．圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為2∶1D．向心加速度大小之比為1∶2A[因?yàn)橄嗤瑫r(shí)間內(nèi)他們通過(guò)的路程之比是4∶3，根據(jù)v＝eq\f(s,t)，則它們的線速度之比為4∶3，故A正確；運(yùn)動(dòng)方向改變的角度之比為3∶2，根據(jù)ω＝eq\f(Δθ,t)，則角速度之比為3∶2，故B錯(cuò)誤；根據(jù)v＝ωr可得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為eq\f(r1,r2)＝eq\f(4,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,9)，故C錯(cuò)誤；根據(jù)a＝vω得，向心加速度之比為eq\f(a1,a2)＝eq\f(v1ω1,v2ω2)＝eq\f(4,3)×eq\f(3,2)＝eq\f(2,1)，故D錯(cuò)誤，故A正確。]4．(多選)如圖所示，皮帶傳動(dòng)裝置中，右邊兩輪連在一起共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圖中三輪半徑分別為r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三點(diǎn)為三個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，皮帶不打滑。向心加速度分別為a1、a2、a3，則下列比例關(guān)系正確的是()A．eq\f(a1,a2)＝eq\f(3,2) B．eq\f(a1,a2)＝eq\f(2,3)C．eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,1) D．eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)BD[由于皮帶不打滑，v1＝v2，a＝eq\f(v2,r)，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，A錯(cuò)誤，B正確；由于右邊兩輪共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，ω2＝ω3，a＝rω2，eq\f(a2,a3)＝eq\f(r2,r3)＝eq